Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 3

Chọn B

Vì $- 1 \le \sin \alpha \le 1$ nên phương trình $\sin x = 2023$ vô nghiệm.

Chọn D

$\left\{ \begin{array}{l}MN//\,BC\\BC \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//\left( {BCD} \right)$

a) Tìm $\cos \alpha$ biết $\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{1}{3}$.

$$\cos \alpha = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \frac{1}{3}$$

b) Tìm các giá trị lượng giác còn lại của góc $\alpha$ biết $\cos \alpha = \frac{{ - 4}}{5}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$.

$${\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{ - 4}}{5}} \right)^2} = \frac{9}{{25}}$$

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin \alpha = \frac{3}{5}$

$$\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = - \frac{3}{4}$$

$$\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = - \frac{4}{3}$$

TXĐ: $\mathbb{R}$

$\forall x \in \mathbb{R}$, ta có $- x \in \mathbb{R}$

$f\left( { - x} \right) = {\sin ^2}\left( { - x} \right) = {\sin ^2}x = f\left( x \right)$. Vậy hàm số chẵn.

a) $2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2}$

$$x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi$$

b) $\sin 3x = \cos 2x \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = \pi - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$

a) Chứng minh $MN$ song song với $BC$.

$\frac{{SM}}{{SB}} = \frac{{SN}}{{SC}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow MN\parallel BC$

Tìm giao tuyến của $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

Xét $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$ có $S$ chung, $AB\parallel CD;AB \subset \left( {SAB} \right);CD \subset \left( {SCD} \right)$

Giao tuyến là đường thẳng qua $S$ và song song với $AB$

b) Tìm giao tuyến của $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

$$S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$$

$$O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)$$

$$\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO$$

Tìm giao điểm của $AN$ và mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$

Gọi $E = AN \cap SO$thì $E \in SO \subset \left( {SBD} \right)$

$$E = AN \cap \left( {SBD} \right)$$

c) Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng chứa $DM$ và song song với $AC$, cắt $BC,\,SC$ lần lượt tại $P,\,K$. Chứng minh $K$ là trọng tâm tam giác $SBP$

Xét $\left( \alpha \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ có $D$ chung, $AC$ nằm trong $\left( {ABCD} \right)$ và $AC\parallel \left( \alpha \right)$

nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng qua $D$ và song song với $AC$, cắt $BC$ tại $P$

Tứ giác $ACPD$ là hình bình hành nên $CP = AD = BC$

Vì $M,P,K$ đều là điểm chung của $\left( \alpha \right)$ và $\left( {SBC} \right)$ nên $M,P,K$ thẳng hàng

Tam giác $SBP$ có 2 trung tuyến $SC,\,MP$ nên $K$ là trọng tâm tam giác $SBP$.

$$\widehat {AMH} = x\,\,\left( {0 < x < 90^\circ } \right) \Rightarrow \widehat {BMH} = 2x$$

$$\tan 2x = \frac{{2\tan x}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \frac{{BH}}{{MH}} = \frac{{3AH}}{{MH}} = 3\tan x$$

$$\tan x = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow x = 30^\circ$$

(HS tính ra góc $\frac{\pi }{6}$ rad được chấp nhận)