Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 2

Chọn C

Vì $\left\{ \begin{array}{l}S \in SA\\S \in \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow SA\parallel \left( {SCD} \right)$ là sai.

Chọn A

Ta có: $\frac{{5\pi }}{4}.\frac{{180^\circ }}{\pi } = 225^\circ$

Chọn A

Trong không gian, hai đường thẳng $a$ và $b$ có các vị trí tương đối:

- Song song

- Trùng nhau

- Cắt nhau

- Chéo nhau

Chọn B

Bốn điểm có thể tạo thành tứ diện

Một điểm và một đường thẳng chưa đủ tạo một mặt phẳng (trường hợp điểm nằm trên đường thẳng)

Ba điểm chưa đủ tạo một mặt phẳng (trường hợp ba điểm thẳng hàng).

Chọn D

Ta có: $- 1 \le \sin x \le 1$

$$3 \ge - 3\sin x \ge - 3$$

$$8 \ge 5 - 3\sin x \ge 2$$

Vậy $8 \ge y \ge 2 \Leftrightarrow y \in \left[ {2;88} \right]$

Chọn C

Ta có $AD\parallel BC$ nên $\left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right) \equiv Sx\parallel AD\parallel BC$.

Chọn A

Ta có: $\sin x = 1$$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi$

Với $k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{2}$.

a) (0,75 điểm) Tìm tập xác định của hàm số: $y = \frac{{\tan x + 1}}{{\sin x}} + \cos (x + \frac{\pi }{3})$

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne k\pi \\x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.$

Vậy TXĐ: $D = \left\{ {x \in \mathbb{R};x \ne \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}} \right\}$

b) (0,75điểm) Tính giá trị lượng giác $\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right)$ biết $\sin \alpha = - \frac{{12}}{{13}},\,\,\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi$.

Ta có:

$${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{{25}}{{169}}$$

$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \frac{5}{{13}}\\\cos \alpha = - \frac{5}{{13}}\end{array} \right.$$

Vì $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \cos \alpha > 0$ nên $\cos \alpha = \frac{5}{{13}}$.

Lại có$\cos \left( {\frac{\pi }{3} - \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha$

$$= \frac{5}{{13}}\cos \frac{\pi }{3} + \left( { - \frac{{12}}{{13}}} \right)\sin \frac{\pi }{3}$$

$$= \frac{{5 - 12\sqrt 3 }}{{26}}$$

c) (0,5 điểm) Rút gọn biểu thức: $A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}$

Ta có $A = \frac{{\sin x + \sin 2x + \sin 3x}}{{\cos x + \cos 2x + \cos 3x}}$

$= \frac{{2\sin 2x\cos x + \sin 2x}}{{2\cos 2x.\cos x + \cos {\rm{2}}x}}$

$= \frac{{\sin 2x(2\cos x + 1)}}{{\cos 2x(2\cos x + 1)}}$

$= \tan 2x$

a) $\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\\frac{x}{2} = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k4\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{6} + k4\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy tập nghiệm $T = \left\{ {x = - \frac{\pi }{6} + k4\pi ;x = - \frac{{5\pi }}{6} + k4\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$

b) $\sin x = \cos 3x$.

$\Leftrightarrow \sin x = \sin (\frac{\pi }{2} - 3x) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2}\\x = - \frac{\pi }{4} - k\pi \end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm $T = \left\{ {x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{2};x = - \frac{\pi }{4} - k\pi ;k \in \mathbb{Z}} \right\}$

a) (1,0 điểm) Chứng minh $MN//\left( {ABCD} \right).$

Ta có $MN$ là đường trung bình tam giác $SAC$.

Suy ra $MN//AC$.

Do đó: $\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\MN \not\subset \left( {ABCD} \right);AC \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow MN//\left( {ABCD} \right).$

b) (1,0 điểm) Xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng $\left( {BMN} \right)$và $\left( {ABCD} \right).$

Ta có B là điểm chung của 2 mặt phẳng $\left( {BMN} \right)$và $\left( {ABCD} \right).$

Lại có: $\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\AC \subset \left( {ABCD} \right);MN \subset (BMN).\end{array} \right. \Rightarrow (BMN) \cap \left( {ABCD} \right) = Bx,Bx\,//MN//AC.$

c) (1,0 điểm) Gọi $P$ là trung điểm $BO$. Xác định giao điểm $Q$ của cạnh $SD$ và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$. Tính tỷ số $\frac{{SQ}}{{SD}}$.

Gọi $I$ là giao điểm của $MN$ và $SO$.

$Q$ là giao điểm của $PI$ và $SD$.

Ta có $Q \in PI,PI \subset (MNP) \Rightarrow Q \in (MNP).$

Mà $Q \in SD$. Suy ra $Q$ là giao điểm của $SD$ và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

Vì $I$là trung điểm $SO$ nên $PI$ là đường trung bình tam giác $SBO$. Suy ra $PI//SB$ hay $PQ//SB$.

Xét tam giác SBD có: $\frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{{BP}}{{BD}} \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SD}} = \frac{1}{4}$.

Ta có $- a + b \le h(t) = a\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + b \le a + b,\forall t$.

Theo bài ra: $\left\{ \begin{array}{l}a + b = 114{,}5\\ - a + b = 0{,}5\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 57\\b = 57{,}5\end{array} \right.$

Suy ra $h(t) = 57\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + 57{,}5$

Do đó $h(t) = 57\sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) + 57{,}5 = 86$

$$\Leftrightarrow \sin (\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2}) = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{{2\pi }}{{15}}t - \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 5 + 15k\\t = 10 + 15k\end{array} \right.(k \in \mathbb{Z}).$$

Vậy trong vòng quay đầu tiên cabin $M$ đạt được chiều cao $86$ m tại thời điểm $t = 5$ phút hoặc $t = 10$ phút.