Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 10

Chọn A

Với $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$, khi đó góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, suy ra : $\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha > 0\\\cos \alpha < 0\\\tan \alpha < 0\\\cot \alpha < 0\end{array} \right.$

Chọn D

Đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {\pi ; - 1} \right)$, thay điểm $\left( {\pi ; - 1} \right)$ vào đáp án D được : $- 1 = \cos \left( \pi \right)$ (đúng)

Vậy đồ thị đã cho là đồ thị của hàm số $y = \cos x$.

Chọn B

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $BC \cap AD = E$

Suy ra: $BC \cap \left( {SAD} \right) = E$.

Chọn A

Ta có: $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ $\Rightarrow EF\parallel BC$ mà $BC \subset \left( {BCD} \right)$.

Suy ra:$EF\parallel (BCD)$

Chọn A

Ta có : ${u_2} = {u_1} + d = 2 + 3 = 5$

Chọn D

*) $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ $\Rightarrow \frac{{MG}}{{MC}} = \frac{1}{3}$ (1)

*) $H$ là trọng tâm tam giác $SAB$ $\Rightarrow \frac{{MH}}{{MS}} = \frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra : $\frac{{MG}}{{MC}} = \frac{{MH}}{{MS}} = \frac{1}{3} \Rightarrow HG{\rm{ // }}SC$ mà $SC \subset \left( {SAC} \right)$ và $SC \subset \left( {SBC} \right)$

Suy ra : $GH//\left( {SAC} \right)$và $\left( {SBC} \right).$

Chọn D

Với $k = 0$, góc $\alpha = - \frac{\pi }{6}$, điểm biểu diễn góc $\alpha$ là điểm $F$

Với $k = 1$, góc $\alpha = \frac{{5\pi }}{6}$, điểm biểu diễn góc $\alpha$ là điểm $D$

Vậy điểm biểu diễn góc lượng giác của góc $\alpha$ là hai điểm $D$ và $F$.

Chọn B

Ta có : $EF$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ $\Rightarrow EF//BC$

Chọn B

$$\cos x = \cos \frac{\pi }{6} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$$

Chọn B

Điều kiện: $sin\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \ne 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{3} + k\pi ,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Chọn A

Ta có: ${u_{n - 1}} = {2^{n - 1}} = \frac{{{2^n}}}{2} = \frac{1}{2}{.2^n}$

Chọn A

Hàm số $y = \cos x$ tuần hoàn với chu kì $2\pi$.

Chọn B

$MN$ là đường trung bình của tam giác $ACD$ $\Rightarrow MN//CD$

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}\left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = G\\MN//CD\\MN \subset \left( {GMN} \right),CD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow$ qua $G$ kẻ đường thẳng $d$ song song với CD

Suy ra : $\left( {GMN} \right) \cap \left( {BCD} \right) = d$

Chọn B

Ta có :

${u_2} = \frac{1}{3}\left( {{u_1} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {2 + 1} \right) = 1$

${u_3} = \frac{1}{3}\left( {{u_2} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {1 + 1} \right) = \frac{2}{3}$

$${u_4} = \frac{1}{3}\left( {{u_3} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{2}{3} + 1} \right) = \frac{5}{9}$$

$${u_5} = \frac{1}{3}\left( {{u_4} + 1} \right) = \frac{1}{3}\left( {\frac{5}{9} + 1} \right) = \frac{{14}}{{27}}$$

Chọn C

Với $\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$, suy ra $\cos \alpha < 0$

Ta có: $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Leftrightarrow 1 + 5 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{6} \Leftrightarrow \cos \alpha = - \frac{{\sqrt 6 }}{6}$

Chọn D

Gọi $N$ là trung điểm $AD$.

$G$ là trọng tâm $\Delta ABD$ $\Rightarrow \frac{{BG}}{{BN}} = \frac{2}{3}$ (1)

Theo giả thiết : $BM = 2MC \Rightarrow \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra : $\frac{{BG}}{{BN}} = \frac{{BM}}{{BC}} = \frac{2}{3} \Rightarrow MG//CN$ mà $CN \subset \left( {ACD} \right)$ nên $MG//\left( {ACD} \right)$

Chọn B

Ta có: $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$ $\Rightarrow MN//AB$

Ta có : $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right) = P\\MN//AB\\MN \subset \left( {MNP} \right),AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right.$$\Rightarrow$ qua $P$ kẻ đường thẳng $d$ song song với AB

Suy ra : $\left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right) = d$

Chọn D

$$\begin{array}{l}A = \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) - \sin \left( {\alpha - \pi } \right) = \cos \left( { - \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)} \right) - \sin \left( { - \left( {\pi - \alpha } \right)} \right)\\{\rm{ }} = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) + \sin \left( {\pi - \alpha } \right)\\{\rm{ }} = \sin \alpha + \sin \alpha \\{\rm{ }} = 2\sin \alpha \end{array}$$

Chọn D

Ta có: $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})$

Chọn C

Ta có: $ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow BC//AD$

Mà $AD \subset \left( {SAD} \right)$, suy ra $BC//\left( {SAD} \right)$

Chọn D

$\sin 2x - \cos x = 0 \Leftrightarrow \sin 2x = \cos x \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - x + k2\pi \\2x = \pi - \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.$

Do $x \in \left[ {0\,;\,2\pi } \right] \Rightarrow x = \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{5\pi }}{6};\frac{{3\pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right\} \Rightarrow T = \frac{\pi }{6} + \frac{{5\pi }}{6} + \frac{{3\pi }}{2} + \frac{\pi }{2} = 3\pi$

Chọn C

Đặt $\sin x = t$, $x \in \left[ { - \pi \,;\,\frac{{3\pi }}{2}} \right] \Rightarrow t \in \left[ { - 1;1} \right]$

Phương trình trở thành: $f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - 1 \Leftrightarrow \sin x = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{2}\\x = \frac{{3\pi }}{2}\end{array} \right.$

Chọn C

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với ${u_1} = 1$ và $d = 1$

Ta có : ${S_n} = \frac{{n\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {2.1 + \left( {n - 1} \right).1} \right)}}{2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}$

Suy ra : ${S_n} = 3160 \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} = 3160 \Leftrightarrow {n^2} + n - 6320 = 0 \Leftrightarrow n = 79$

Vậy có 79 hàng cây.

Chọn C

$$M = \frac{{\sin x - 3{{\cos }^3}x}}{{5{{\sin }^3}x - 2\cos x}} = \frac{{\frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}} - \frac{{3{{\cos }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}}}}{{\frac{{5{{\sin }^3}x}}{{{{\cos }^3}x}} - \frac{{2\cos x}}{{{{\cos }^3}x}}}} = \frac{{\tan x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 3}}{{5{{\tan }^3}x - 2.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}$$

$$= \frac{{\tan x.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) - 3}}{{5{{\tan }^3}x - 2.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}} = \frac{{2.\left( {1 + 4} \right) - 3}}{{{{5.2}^3} - 2.\left( {1 + 4} \right)}} = \frac{7}{{30}}$$

Chọn C

Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng đã cho.

Ta có : ${u_2} + {u_{29}} = 96 \Leftrightarrow {u_1} + d + {u_1} + 28d = 96 \Leftrightarrow 2{u_1} + 29d = 96$

${S_{30}} = \frac{n}{2}\left( {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right) = \frac{{30}}{2}.\left( {2{u_1} + 29d} \right) = 15.96 = 1440$

a) Vì $\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \alpha$ nên $\cos \alpha > 0$.

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1$.

Suy ra: $\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \frac{5}{{13}}$.

Vậy $cos\left( {\frac{\pi }{3} + \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha - \sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha = \frac{{5 + 12\sqrt 3 }}{{26}}$.

b) Ta có

$$\begin{array}{l}x\left( t \right) = {x_1}\left( t \right) + {x_2}\left( t \right) = 2\sqrt 3 \sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right) + 2\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)\\{\rm{ }} = 4\left[ {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right) + \frac{1}{2}\cos \left( {4\pi t + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]\\{\rm{ }} = 4\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}$$

$x\left( t \right) = 4\sin \left( {4\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ có dạng $x\left( t \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)$ do đó $A = 4,\omega = 4\pi ,\varphi = \frac{\pi }{3}$

Ta có: $- 1 \le \sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] \le 1,\,\,\forall t \in \mathbb{Z}\,\,v\`a \,\,\;0 < t \le 365$

$\Leftrightarrow 7 \le 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] + 10 \le 13,\,\,\forall t \in \mathbb{Z}\,\,v\`a \,\,\;0 < t \le 365$

Theo đề bài ta có:

$\begin{array}{l}d(t) = 7 \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right)} \right] = - 1\\{\rm{ }} \Leftrightarrow \frac{\pi }{{162}}\left( {t - 60} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow t = - 21 + k324\end{array}$.

Do $k,t \in \mathbb{Z}$ và $0 < t \le 365$ suy ra $t = 303$.

Vậy vào ngày thứ $303$, thành phố $X$ có ít giờ ánh sáng mặt trời nhất.

a)

Ta có: $O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC,AC \subset (SAC)\\O \in BD,BD \subset (SBD)\end{array} \right. \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD){\rm{ (1)}}$

$S \in (SAC) \cap (SBD){\rm{ (2)}}$

Từ $(1)$và $(2)$ta có $SO = (SAC) \cap (SBD)$

b) Trong $\left( {SAC} \right)$ gọi $I = SO \cap MN$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in MN;MN \subset \left( {BMN} \right)\\I \in SO;SO \subset (SBD)\end{array} \right.$, suy ra $I = (SDB) \cap \left( {BMN} \right)$.
Trong $\left( {SBD} \right)$. Kẻ $BI \cap SD = E$. Suy ra $E = (SCD) \cap \left( {BMN} \right)$.

Lại có $N = (SCD) \cap \left( {BMN} \right)$

Suy ra $NE = (SCD) \cap \left( {BMN} \right)$. Trong $(SCD)$kẻ $NE \cap CD = K$

$\Rightarrow K = CD \cap (BMN)$