Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 11 Cánh diều (2023-2024) có đáp án - Đề 1

Chọn D

w Ta có $\cos 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Chọn C

Khẳng định : “Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết nó đi qua ba điểm không thẳng hàng” là khẳng định đúng.

Chọn C

Hình chóp $S.ABCD$ có 1 mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ và 4 mặt bên $\left( {SAB} \right),\,\left( {SAD} \right),$$\left( {SBC} \right),$$\left( {SCD} \right)$.

Chọn D

Ta có $\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin 60^\circ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 60^\circ + k360^\circ \\x = 120^\circ + k360^\circ \end{array} \right.,\,\,k \in \mathbb{Z}.$

Chọn C

Ta có ${u_2} = {u_1} + d \Rightarrow d = {u_2} - {u_1} = 5 - \left( { - 2} \right) = 7.$

Chọn A

Ta có $1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$

$$\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {2^2}}} = \frac{1}{5}$$

$$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}\\\cos \alpha = - \sqrt {\frac{1}{5}} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array} \right.$$

Vì $0 < \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha > 0$.

Do đó: $\cos \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{5}.$

Chọn C

Ta có số hạng thứ 10 của cấp số cộng đã cho là ${u_{10}} = {u_1} + 9d = 3 + 9.2 = 21.$

Chọn B

w Khẳng định $\sin \left( {a + b} \right) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b$ đúng.

Chọn A

w Khẳng định $\cos \left( { - \alpha } \right) = - \cos \alpha$ sai vì $\cos \left( { - \alpha } \right) = \cos \alpha$.

Chọn A

Ta có $\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

Vì $x \in \left[ {\pi ;5\pi } \right]$ nên $x = \frac{{13\pi }}{6}$, $x = \frac{{25\pi }}{6}$.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn $\left[ {\pi ;5\pi } \right]$.

Chọn D

Xét hàm $y = f\left( x \right) = {\sin ^4}2x$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.

Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có: $- x \in \mathbb{R}$ và $f\left( { - x} \right) = {\left( {\sin \left( {2( - x)} \right)} \right)^4} = {\left( { - \sin 2x} \right)^4} = {\sin ^4}2x = f\left( x \right)$ nên $y = \cos 3x$ là hàm số chẵn trên $\mathbb{R}$.

Chọn C

Phương trình $\cos 2x = m - 1$ có nghiệm khi và chỉ khi $- 1 \le m - 1 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le m \le 2.$

Chọn B

Hàm số $y = \frac{1}{{\sin x}}$ xác định khi và chỉ khi $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}.$

Vậy: Tập xác định của hàm số là $D = R\backslash \left\{ {k\pi \,|k \in Z} \right\}.$

Chọn D

w Dãy số $2\;,\; - 6\;,\;18\;,\; - 54$ có công bội $q = - 3.$

Chọn B

$A$ là điểm chung thứ nhất của $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {ABG} \right)$.

$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$, $I$ là trung điểm $CD$, suy ra $I \in BG$ nên $I$ là điểm chung thứ hai của $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {ABG} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$ và $\left( {ABG} \right)$ là $AI$.

Chọn C

Ta có ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$

Suy ra $- 3072 = - {3.2^{n - 1}} \Leftrightarrow {2^{n - 1}} = 1024 = {2^{10}} \Leftrightarrow n - 1 = 10 \Leftrightarrow n = 11.$

Vây: Số $- 3072$ là số hạng thứ 11 của cấp số nhân đã cho.

Chọn B

Số hạng thứ sáu của dãy số đã cho là ${u_6} = 3.6 - 2 = 16.$

Chọn C

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

$\forall x \in \mathbb{R}$, ta có$- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 2 \Leftrightarrow - 7 \le 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) - 5 \le - 3$.

Do đó $M = - 3;\,n = - 7$. Suy ra : $T = M - m = - 3 - \left( { - 7} \right) = 4.$

Chọn A

Ta có : $P = \frac{{\left( {\sin 3x + \sin x} \right) + \sin 2x}}{{\left( {\cos 3x + \cos x} \right) + \cos 2x}} = \frac{{2\sin 2x.\cos x + \sin 2x}}{{2\cos 2x.\cos x + \cos 2x}} = \frac{{\sin 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}}{{\cos 2x\left( {2\cos x + 1} \right)}} = \tan 2x.$

Chọn C

w Ta có $\cot x = 0 \Leftrightarrow \cot x = \cot 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}.$

a) Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {\frac{\pi }{5} - 2x} \right)$

Điều kiện xác định:$\cos \left( {\frac{\pi }{5} - 2x} \right) \ne 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{\pi }{5} - 2x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \;,\;k \in Z\\ \Leftrightarrow x \ne - \frac{{3\pi }}{{20}} - \frac{{k\pi }}{2}\;,\;k \in Z\end{array}$

Vậy tập xác định của hàm số là: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{3\pi }}{{20}} - \frac{{k\pi }}{2}\;\;|k \in Z} \right\}$.

b) Cho $\cos \alpha = - \frac{3}{4}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$. Tính $\sin 2\alpha$ và $\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)$

Áp dụng công thức ${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$ ta có:

$$\sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}$$

Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ nên $\sin \alpha = \frac{{\sqrt 7 }}{4}$

+) $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha .\cos \alpha = 2.\left( { - \frac{3}{4}} \right).\frac{{\sqrt 7 }}{4} = - \frac{{3\sqrt 7 }}{8}$

+) $\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6} - \sin \alpha .\sin \frac{\pi }{6}$$= - \frac{3}{4}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 7 }}{4}.\frac{1}{2} = - \frac{{3\sqrt 3 + \sqrt 7 }}{8}$

a) $2\sin \left( {\frac{x}{2} - {{15}^0}} \right) - 1 = 0$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{2} - {{15}^0}} \right) = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{x}{2} - {{15}^0}} \right) = \sin {30^0}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} - {15^0} = {30^0} + k{360^0}\\\frac{x}{2} - {15^0} = {180^0} - {30^0} + k{360^0}\end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {90^0} + k{720^0}\\x = {330^0} + k{720^0}\end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $\left[ \begin{array}{l}x = {90^0} + k{720^0}\\x = {330^0} + k{720^0}\end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

b) $2{\cos ^2}x - \sin 3x = 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = \sin 3x\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \sin 3x\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 3x} \right)\end{array}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{2} - 3x + k2\pi \\2x = - \frac{\pi }{2} + 3x + k2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{2} - k2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Vậy phương trình có nghiệm là: $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = \frac{\pi }{2} - k2\pi \end{array} \right.\;\;\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.

a) Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng

$\left\{ \begin{array}{l}2{u_3} + {u_5} = - 18\\{u_6} - 3{u_4} = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3{u_1} + 8d = - 18\\ - 2{u_1} - 4d = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\d = - 3\end{array} \right.$.

b) Ta có: ${S_{15}} = \frac{{15}}{2}.\left[ {2.2 + \left( {15 - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right]$$= - 285$.

Gọi ${u_n}$là số tiền bạn An nợ ngân hàng sau $n$ năm

Ta có: ${u_1} = {u_{n - 1}} + {u_{n - 1}}.0{,}04 = {u_{n - 1}}.1{,}04$

Ta có dãy số: $\left( {{u_n}} \right)$lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu ${u_1} = 40 + 40.0{,}04 = 41{,}6$ (triệu đồng) và công bội $q = 1{,}04$

Vậy số tiền bạn An nợ ngân hàng sau 4 năm là:

${u_4} = {u_1}.{q^3} = 41{,}6.1,{04^3} = 46{,}8$ (triệu đồng).

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau: $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$ ; $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$.

+) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$và $BD$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}O \in AC\\AC \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}O \in BD\\BD \subset \left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)$

Mà: $S \in \left( {SAC} \right)$ và $S \in \left( {SBD} \right)$

Vậy: $\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO$

+) Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, kéo dài $AB$và $CD$ cắt nhau tại $I$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}I \in AB\\AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SAB} \right)$

$\left\{ \begin{array}{l}I \in CD\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {SCD} \right)$

Mà: $S \in \left( {SAB} \right)$ và $S \in \left( {SCD} \right)$

Vậy: $\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = SI$

b) Tìm giao điểm của đường thẳng $MG$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Gọi $N$là trung điểm của $CD$

Trong $\Delta SAN$có: $\frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{2}\;\;;\;\;\frac{{SG}}{{SN}} = \frac{2}{3}\; \Rightarrow \frac{{SM}}{{SA}} \ne \frac{{SG}}{{SN}}$

$\Rightarrow$$MG$ không song song với $AI$

Trong $\left( {SAI} \right)$, kéo dài $MG$ và $AI$ cắt nhau tại $K$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}K \in AI\\AI \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {ABCD} \right)$

Vậy: $K$ là giao điểm của $MG$ và $\left( {ABCD} \right)$

$\begin{array}{l}\left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x + 2\cos x - m} \right) = 3 - 4{\sin ^2}x\;\;\left( 1 \right)\\ \Leftrightarrow \left( {2\cos x + 1} \right).\left( {\sin 2x - m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = - \frac{1}{2}\\\sin 2x = m - 1\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}$

Phương trình $\cos x = - \frac{1}{2}$ có một nghiệm $x = \frac{{2\pi }}{3}$ thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$

Đặt $t = 2x\;,\;x \in \left[ {0;\pi } \right] \Rightarrow t \in \left[ {0;2\pi } \right]$,

Phương trình $\left( 2 \right)$ trở thành $\sin t = m - 1\;\;\left( 3 \right)$

Phương trình $\left( 1 \right)$ có ba nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$ thì phương trình $\left( 2 \right)$phải có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;\pi } \right]$ và khác nghiệm $x = \frac{{2\pi }}{3}$

$\Leftrightarrow$ phương trình $\left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$ và khác nghiệm $x = \frac{{4\pi }}{3}$

Vẽ đồ thị hàm số $y = \sin t$ với $t \in \left[ {0;2\pi } \right]$

Từ đồ thị ta thấy phương trình $\left( 3 \right)$ có hai nghiệm phân biệt thuộc $\left[ {0;2\pi } \right]$ và khác nghiệm $x = \frac{{4\pi }}{3}$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < m - 1 < 1\\\left\{ \begin{array}{l} - 1 < m - 1 < 0\\m - 1 \ne - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 < m < 2\\\left\{ \begin{array}{l}0 < m < 1\\m \ne 1 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right.$.