Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 9

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề “Nếu $a + b < 2$ thì một trong hai số $a$ hoặc $b$ nhỏ hơn 1” được phát biểu dưới dạng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” như sau:

Điều kiện đủ để một trong hai số a hoặc b nhỏ hơn 1 là $a + b < 2$.

Điều kiện cần để $a + b < 2$ là một trong hai số a hoặc b nhỏ hơn 1 là.

Ta có mệnh đề đảo:

Nếu một trong hai số $a$ hoặc $b$ nhỏ hơn 1 thì $a + b < 2$ là chưa đúng với $a = 0 < 1$ và $b = 2$ thì $a + b = 0 + 2 < 2$ là sai. Do đó ta không có mệnh đề điều kiện cần và đủ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P:"\forall x\in ℝ:{x}^{2}=x"$ là $\overline{P}:"\forall x\in ℝ:{x}^{2}\ne x"$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Nếu tam giác $ABC$ đều thì $AB = AC = BC$. Do đó $\left( I \right)$ là mệnh đề đúng.

+) Ta có nếu $a = 3,b = 5$ là các số lẻ vẫn thỏa mãn $a + b = 3 + 5 = 8$ chẵn. Do đó $\left( {II} \right)$ là mệnh đề sai.

+) Nếu tam giác $ABC$ có tổng hai góc bằng $90^\circ$ thì tam giác $ABC$ vuông. Do đó $\left( {III} \right)$ là mệnh đề sai.

Vậy có duy nhất một mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Câu “Trái Đất là một hành tinh trong hệ mặt trời” là một khẳng định đúng. Do đó đây là một mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}\left| { - 2 \le x < 11} \right.} \right\} = \left[ { - 2;\,\,11} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $x$ là một phần tử của tập hợp $A$ nên ta viết $x \in A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình $\left| {x - 1} \right| - 5 \le 1 \Leftrightarrow \left| {x - 1} \right| \le 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 \ge - 6\\x - 1 \le 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge - 5\\x \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 \le x \le 7$.

Khi đó $M = \left\{ { - 5;\, - 4;\, - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6;\,7} \right\}$.

Vì vậy có tất cả 7 số nguyên thuộc vào tập hợp $M$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác $ABC$ với $A\left( { - 2;\,\,5} \right)$, $B\left( {10;\,\,5} \right)$, $C\left( {4;\,\, - 1} \right)$.

Ta có:

Tại $A\left( { - 2;\,\,5} \right)$ có $F\left( { - 2;\,5} \right) = 4.\left( { - 2} \right) - 3.5 = - 23$;

Tại $B\left( {10;\,\,5} \right)$ có $F\left( {10;\,5} \right) = 4.10 - 3.5 = 25$;

Tại $C\left( {4;\,\, - 1} \right)$ có $F\left( {4;\, - 1} \right) = 4.4 - 3.\left( { - 1} \right) = 19$.

Suy ra $M = 25,m = - 23$.

Vì vậy $M - m = 25 - \left( { - 23} \right) = 48$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Ta có:

Khi đó $\left( {A \cap B} \right) \subset B$. Do đó A đúng.

+) Ta có:

Khi đó $\left( {A\backslash B} \right) \subset A$. Do đó B sai.

+) Ta có:

Khi đó $B \subset \left( {A \cup B} \right)$. Do đó C đúng.

+) Ta có:

Khi đó: $\left( {B\backslash A} \right) \subset B$. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x - {12^2}y > 7 \Leftrightarrow x - 144y > 7$ có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vẽ đường thẳng $d:\frac{1}{2}x - 3y = - 3$

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( { - 6;\,0} \right)$ và $B\left( {0;\,1} \right)$

Lấy điểm $O\left( {0;\,\,0} \right) \notin d$ có: $\frac{1}{2}.0 - 3.0 = 0 > - 3$ nên điểm $O$ thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d$ và chứa điểm $O$ (kể cả đường thẳng $d$) được biểu diễn như hình vẽ sau:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay $x = 0$ và $y = - 2$ vào bất phương trình $3mx - y < m + 1$, ta được:

$3m.0 - \left( { - 2} \right) < m + 1$

$\Leftrightarrow m + 1 < 2$

$\Leftrightarrow m < 1$

Vậy với $m = - \frac{1}{2} < 1$ thì cặp $\left( {0;\,\, - 2} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để $A \cap B = \emptyset$ thì $\left[ \begin{array}{l}m > 3\\m + 5 \le - m + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m \le - \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch chéo trong hình vẽ không kể đường thẳng ${d_1}$ và kể cả đường thẳng ${d_2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là C

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 1\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2x - y > - 2\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

+) Thay $x = 0$ và $y = 0$ lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0 - 2.0 \le 1 \Leftrightarrow 0 \le 1$ (luôn đúng);

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.0 - 0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2$ (luôn đúng).

Do đó cặp số $\left( {0;\,0} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = - 1$ và $y = 1$ lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 1 - 2.1 \le 1 \Leftrightarrow - 3 \le 1$ (luôn đúng);

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 1} \right) - 1 > - 2 \Leftrightarrow - 3 > - 2$ (vô lí).

Do đó cặp số $\left( { - 1;\,1} \right)$không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = - 2$ và $y = 3$ lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2 - 2.3 \le 1 \Leftrightarrow - 8 \le 1$ (luôn đúng);

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.\left( { - 2} \right) - 3 > - 2 \Leftrightarrow - 7 > - 2$ (vô lí).

Do đó cặp số $\left( { - 2;\,3} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = 4$ và $y = 1$ lần lượt vào các bất phương trình (1) và (2) trong hệ, ta được:

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4 - 2.1 \le 1 \Leftrightarrow 2 \le 1$ (vô lí);

$\left( 2 \right) \Leftrightarrow 2.4 - 1 > - 2 \Leftrightarrow 7 > - 2$ (luôn đúng).

Do đó cặp số $\left( {4;\,1} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cot \alpha = \frac{1}{2}$ nên ${\rm{sin}}\alpha \ne 0$

Chia cả tử và mẫu của $\sin \alpha$ ta được:

$P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha }}}} = \frac{{2 - 2\cot \alpha }}{{2\cot \alpha + 3}} = \frac{{2 - 2.\frac{1}{2}}}{{2.\frac{1}{2} + 3}} = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì điểm $M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)$ là điểm thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên nên ta có:

${x_0} + {y_0} < 0$. Do đó A sai.

${x_0} \ge - 1$. Do đó B sai.

${y_0} \ge 0 > - 1$ nên ${y_0} \ge - 1$ là mệnh đề đúng. Do đó C đúng.

${x_0} - {y_0} > - 1$ là chưa đủ điều kiện để khẳng định được tính đúng sai. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nếu $\alpha + \beta = 90^\circ$ thì:

${\rm{cos}}\alpha = \sin \beta$. Do đó B sai.

$\sin \alpha = {\rm{cos}}\beta$. Do đó C sai.

$\tan \alpha = {\rm{cot}}\beta$. Do đó A sai.

$\cot \alpha = \tan \beta$. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$M = \tan \left( { - 10^\circ } \right).\tan 20^\circ .\tan \left( { - 30^\circ } \right).\tan 40^\circ .\tan \left( { - 50^\circ } \right).\tan 60^\circ .\tan \left( { - 70^\circ } \right).\tan 80^\circ$

$= \left( { - \tan 10^\circ } \right).\tan 20^\circ .\left( { - \tan 30^\circ } \right).\tan 40^\circ .\left( { - \tan 50^\circ } \right).\tan 60^\circ .\left( { - \tan 70^\circ } \right).\tan 80^\circ$

$= \tan 10^\circ .\tan 20^\circ .\tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\tan 50^\circ .\tan 60^\circ .\tan 70^\circ .\tan 80^\circ$

$= \tan 10^\circ .\tan 20^\circ \tan 30^\circ .\tan 40^\circ .\cot 40^\circ .\cot 30^\circ .\cot 20^\circ .\cot 10^\circ$

$$= \left( {\tan 10^\circ .\cot 10^\circ } \right).\left( {\tan 20^\circ .\cot 20^\circ } \right).\left( {\tan 30^\circ .\cot 30^\circ } \right).\left( {\tan 40^\circ .\cot 40^\circ } \right)$$

$= 1.1.1.1 = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2$

$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + 2.\sin \alpha .\cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = 2$$

$$\Leftrightarrow \sin \alpha .\cos \alpha = \frac{1}{2}$$

Với $0^\circ < \alpha < 90^\circ$ ta có: $\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} + \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha .\sin \alpha }} = \frac{1}{{{\rm{cos}}\alpha .\sin \alpha }}$

$\Rightarrow \tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$, có:

$\widehat C = 180^\circ - 110^\circ - 35^\circ = 35^\circ$

$\Rightarrow ABC$ là tam giác cân

$\Rightarrow AB = AC = 4\,\,cm$

Áp dụng định lí cos trong tam giác $ABC$, ta được:

$$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}\widehat A$$

$$= {4^2} + {4^2} - 2.4.4.{\rm{cos110}}^\circ$$

$$= 42{,}9$$

$\Leftrightarrow BC \approx 6{,}6\,\,\left( {cm} \right)$

Vì vậy $6{,}6 \in \left( {5;\,\,7} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lí tổng ba góc trong tam giác)

$\Rightarrow \sin \left( {B + C} \right) = \sin A$. Do đó A đúng.

Ta lại có: $\frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 90^\circ$

$\Rightarrow \sin \left( {\frac{{B + C}}{2}} \right) = {\rm{cos}}\frac{A}{2}$. Do đó D sai.

Tại có: $\widehat B + \widehat C = 90^\circ$(hai góc phụ nhau)

$\Rightarrow \sin B = {\rm{cos}}C$

$\Rightarrow \tan B = \cot C$

Do đó B và C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích tam giác $ABC$ ban đầu là: $S = \frac{1}{2}.CA.BC.\sin C$.

Tăng cạnh $BC$ lên $2$ lần đồng thời tăng cạnh $CA$ lên $3$ lần và giữ nguyên độ lớn của góc $C$ thì diện tích tam giác $ABC$ mới là:

$S' = \frac{1}{2}.3CA.2BC.\sin C = 6.\frac{1}{2}CA.BC.\sin C = 6S$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kẻ $AH \bot BC$

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3$ (đvdt).

Mặt khác, ta có:

$S = \frac{1}{2}BC.AH = \frac{1}{2}.7.AH = \frac{7}{2}AH = 10\sqrt 3$

$\Rightarrow AH = \frac{{20\sqrt 3 }}{7}$.

Vậy độ dài chiều cao xuất phát từ đỉnh $A$ là: $\frac{{20\sqrt 3 }}{7}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S = pr$

Mà $p$ là nửa chu vi của tam giác $ABC$ nên $p = \frac{{a + b + c}}{2}$

Khi đó: $S = \frac{{a + b + c}}{2}r \Leftrightarrow r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vì vậy $M \cap N = \left[ { - 3;2} \right)$.

b) Số học sinh đoạt giải ít nhất một trong hai môn thi đó là: 20 – 7 = 13 (học sinh).

Số học sinh đoạt giải cả hai môn thi đó là: 9 + 8 – 13 = 4 học sinh.

Vậy có 4 học sinh đạt giải cả hai môn thi đó.

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ sau:

Khi đó: $\widehat {MHN} = 34^\circ$

$\Rightarrow \widehat {PMN} = 90^\circ - \widehat {MHN} = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $MNP$, có:

$N{P^2} = M{N^2} + M{P^2} - 2.MN.MP.{\rm{cos}}\widehat {NMP}$

$= {33^2} + {42^2} - 2.33.42.{\rm{cos56}}^\circ$

$\approx 1302{,}9$

$\Leftrightarrow NP \approx 36{,}1$.

Vậy chiều dài của sợi dây cáp khoảng $36{,}1\,\,m$.

Hướng dẫn giải

Gọi số xe loại $A$ cần thuê là $x$ (xe) $\left( {0 \le x \le 9} \right)$.

Số xe loại $B$ cần thuê là $y$ (xe) $\left( {0 \le y \le 8} \right)$.

Xe loại $A$ có thể chở tối đa $20$ người và xe loại $B$ có thể chở tối đa $10$ người, cần chở $120$ người nên tổng số tấn hàng hai xe cần trở tối thiểu là 120. Do đó ta có:

$20x + 10y \ge 120$ hay $2x + y \ge 12$.

Xe loại $A$ có thể chở tối đa $0{,}5$ tấn hàng và xe loại $B$ có thể chở tối đa $2$ tấn hàng, cần chở $6{,}5$ tấn hàng nên tổng số tấn hàng hai xe cần trở tối thiểu là $6{,}5$. Do đó ta có:

$0{,}5x + 2y \ge 6{,}5$ hay $x + 4y \ge 13$.

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 9\\0 \le y \le 8\\2x + y \ge 12\\x + 4y \ge 13\end{array} \right.$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền trong của tứ giác $ABCD$ với $A\left( {2;8} \right)$, $B\left( {9;8} \right)$, $C\left( {9;1} \right)$, $D\left( {5;\,2} \right)$ như hình vẽ dưới đây:

Chi phí thuê xe là: $F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y$ (triệu đồng).

Ta có:

Tại $A\left( {2;8} \right)$ có $F\left( {2;8} \right) = 4.2 + 3.8 = 32$;

Tại $B\left( {9;8} \right)$ có $F\left( {9;8} \right) = 4.9 + 3.8 = 60$;

Tại $C\left( {9;1} \right)$có $F\left( {9;1} \right) = 4.9 + 3.1 = 39$;

Tại $D\left( {5;\,2} \right)$ có $F\left( {5;2} \right) = 4.5 + 3.2 = 26$

Để chi phí bỏ ra là thấp nhất thì cần thuê 5 loại xe $A$ và 2 loại xe $B$.