Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 7

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Ta có: ${x^2} > 1 \Rightarrow \left| x \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\ - x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.$. Do đó mệnh đề A, B sai.

+) Ta có: $x > - 1 \Rightarrow {x^2} > 1$ là mệnh đề sai vì với $x = - \frac{1}{2} > - 1$ nhưng ${\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} < 1$. Do đó C sai và D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “số 12 chia hết cho 4 và 3” là “Số 12 không chia hết cho 4 hoặc không chia hết cho 3”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $a = - 2$ ta có mệnh đề là mệnh đề sai. Do đó A đúng.

Với $a = 7$ ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó B sai.

Với $a = - 1$ ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó C sai.

Với $a = 1$ ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các câu ở đáp án A, B, C là các câu khẳng định nhưng chưa xác định được tính đúng sai. Do đó các câu này không phải mệnh đề.

Câu “Bắc Giang là tỉnh thuộc miền Trung Việt Nam” là câu khẳng định sai nên là mệnh đề. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Ta có: ${x^2} - 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 4\end{array} \right.$

Vì $- 4 \notin \mathbb{N}$ nên $M = \left\{ 4 \right\} \ne \emptyset$. Do đó A sai.

+) Ta có: ${x^2} + 2x - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1 + \sqrt 6 \\x = - 1 - \sqrt 6 \end{array} \right.$

Cả hai giá trị $- 1 + \sqrt 6$ và $- 1 - \sqrt 6$ đều là số thực nên $N = \left\{ { - 1 - \sqrt 6 ; - 1 + \sqrt 6 } \right\} \ne \emptyset$.

Do đó B sai.

+) Ta có: ${x^2} - 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {15} \\x = - \sqrt {15} \end{array} \right.$

Mà $- \sqrt {15} ;\,\,\sqrt {15} \notin \mathbb{Z}$ nên $P = \emptyset$. Do đó C đúng.

+) Ta có: ${x^2} + 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 4\end{array} \right.$

Mà $- 4;\,\,1 \in \mathbb{Q}$ nên $Q = \left\{ { - 4;\,\,1} \right\} \ne \emptyset$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét $2{x^2} - x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M = \left\{ {0;\,\,\frac{1}{2}} \right\}$.

Để $M = N$ thì $a = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có:

Khi đó: $E \cup F = \left( {0;\,\,4} \right]$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Ta có: $B \cap C =${$x|x$ vừa là hình chữ nhật và $x$ vừa là hình thoi} = {$x|x$ là hình vuông} = $D$. Do đó A sai.

+) Ta có: $C \cap D =${$x|x$ vừa là hình thoi và $x$ vừa là hình vuông} = {$x|x$ là hình vuông} = $D$. Do đó B sai.

+) Ta có: $B \cup C =${$x|x$ là hình chữ nhật hoặc $x$ vừa là hình thoi} $\ne$ $D$. Do đó C đúng.

+) Ta có: $B \cap D = D${$x|x$ là hình chữ nhật và $x$ là hình vuông} = {$x|x$ là hình vuông} = $D$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $18 = {2.3^2},\,\,12 = {2^2}.3$. Khi đó ƯCLN$\left( {18{,}12} \right) = 2.3 = 6$.

$\Rightarrow$Ư$\left( 6 \right) = \left\{ { - 6;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}$.

Ta lại có $x$ là ước của $18$ và $12$ nên $x \in$Ư$\left( 6 \right)$.

Mà $x \in \mathbb{N}$ nên $x \in \left\{ {1;\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}$.

Số tập con khác rỗng của tập $X$ là ${2^4} - 1 = 15$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số tiền mà Lan bỏ ra để mua $x$ hộp kẹo hương dâu và $y$hộp kẹo hương cam là:

$32\,\,000x + 36\,\,000y$ (đồng).

Vì số tiền tiết kiệm của Lan chỉ có $350\,\,000$đồng nên ta có bất phương trình:

$32\,\,000x + 36\,\,000y \le 350\,\,000$ hay $32x + 36\,y \le 350$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Thay $x = - 7$ và $y = - 8$ vào bất phương trình đã cho ta được: $- 7 - 4.\left( { - 8} \right) \ge 23 \Leftrightarrow 25 \ge 23$ là mệnh đề đúng. Do đó $\left( { - 7;\,\, - 8} \right)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Do đó A sai.

+) Thay $x = - 5$ và $y = 6$ vào bất phương trình đã cho ta được: $- 5 - 4.6 \ge 23 \Leftrightarrow - 29 \ge 23$ là mệnh đề sai. Do đó $\left( { - 5;\,\,6} \right)$ không là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Do đó B đúng.

+) Thay $x = 30$ và $y = 1$ vào bất phương trình đã cho ta được: $30 - 4.1 \ge 23 \Leftrightarrow 26 \ge 23$ là mệnh đề đúng. Do đó $\left( {30;\,\,1} \right)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Do đó C sai.

+) Thay $x = 25$ và $y = - 1$ vào bất phương trình đã cho ta được: $25 - 4.\left( { - 1} \right) \ge 23 \Leftrightarrow 29 \ge 23$ là mệnh đề đúng. Do đó $\left( {25; - 1} \right)$ là một nghiệm của bất phương trình đã cho. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by < c$ là tập hợp các cặp $\left( {x;y} \right)$ thỏa mãn điều kiện $ax + by < c$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Thay $x = - 1$ và $y = 4$ vào lần lượt từng bất phương trình của hệ ta được:

$2.\left( { - 1} \right) + 3.4 - 1 > 0 \Leftrightarrow 9 > 0$ là mệnh đề đúng;

$5.\left( { - 1} \right) - 4 + 4 < 0 \Leftrightarrow - 5 < 0$ là mệnh đề đúng.

Suy ra cặp số $\left( { - 1;4} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Do đó A đúng.

+) Thay $x = - 11$ và $y = 4$ vào lần lượt từng bất phương trình của hệ ta được:

$2.\left( { - 11} \right) + 3.4 - 1 > 0 \Leftrightarrow - 11 > 0$ là mệnh đề sai;

$5.\left( { - 11} \right) - 4 + 4 < 0 \Leftrightarrow - 55 < 0$ là mệnh đề đúng.

Suy ra cặp số $\left( { - 11;4} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Do đó B sai.

+) Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào lần lượt từng bất phương trình của hệ ta được:

$2.0 + 3.0 - 1 > 0 \Leftrightarrow - 1 > 0$ là mệnh đề sai;

$5.0 - 0 + 4 < 0 \Leftrightarrow 4 < 0$ là mệnh đề sai.

Suy ra cặp số $\left( {0;0} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Do đó C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt 7 .x - y{.3^2} > 0\\x + y \le 0\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác $OABC$ với $O\left( {0;\,\,0} \right)$, $A\left( {0;\,\,5} \right)$, $B\left( {2;\,\,4} \right)$, $C\left( {4;\,\,0} \right)$.

Giá trị của biểu thức $F\left( {x;\,\,y} \right)$ tại các điểm $O,\,A,\,B,\,C$ là:

Tại $O\left( {0;\,\,0} \right)$: $F\left( {0;\,\,0} \right) = 0 - 2.0 + 1 = 1$;

Tại $A\left( {0;\,\,5} \right)$: $F\left( {0;\,\,5} \right) = 0 - 2.5 + 1 = - 9$;

Tại $B\left( {2;\,\,4} \right)$: $F\left( {2;\,\,4} \right) = 2 - 2.4 + 1 = - 5$;

Tại $C\left( {4;\,\,0} \right)$: $F\left( {4;\,\,0} \right) = 4 - 2.0 + 1 = 5$.

Vậy Biểu thức $F\left( {x;\,\,y} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp $\left( {0;\,\,5} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\alpha$ và $\beta$ là hai góc bù nhau. Khi đó:

$\alpha + \beta = 180^\circ$. Do đó C là khẳng định đúng.

$\cos \alpha = - \cos \beta$. Do đó A là khẳng định sai.

$\sin \alpha = \sin \beta$. Do đó B là khẳng định đúng.

$\tan \alpha = - \tan \beta \left( {\alpha ,\beta \ne 90^\circ } \right)$. Do đó D là khẳng định đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$M = {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\tan 23^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}143^\circ$

$= {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\cot 67^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}37^\circ$

$= \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}37^\circ } \right) + \tan 67^\circ .\cot 67^\circ$

$= 1 + 1$

$= 2$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được: $\cot 87^\circ 6' \approx 0{,}1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

${\sin ^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1$. Do đó A sai.

$1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. Do đó B sai.

${\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. Do đó C đúng.

$\tan x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,x}}{{{\rm{cos}}\,x}}$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Với $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ và ${\rm{cos}}\alpha \ne {\rm{0}}$ ta có $\tan \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Chia cả tử và mẫu của biểu thức $P$ cho ${\rm{cos}}\alpha$ ta được:

$P = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\tan \alpha - 1}}{{1 + 3\tan \alpha }} = \frac{{ - \frac{1}{{\sqrt 3 }} - 1}}{{1 + 3.\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}} = \frac{{3 + 2\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sin x + {\rm{cos}}x = m$

$$\Leftrightarrow {\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right)^2} = {m^2}$$

$$\Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.{\rm{cos}}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = {m^2}$$

$$\Leftrightarrow 1 + 2\sin x.{\rm{cos}}x = {m^2}$$

$\Leftrightarrow \sin x.{\rm{cos}}x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}$.

Vậy $M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Độ dài đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ là:

$m_a^2 = \frac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \frac{{{a^2}}}{4} = \frac{{{{12}^2} + {9^2}}}{2} - \frac{{{{15}^2}}}{4} = \frac{{225}}{4}$

$\Rightarrow {m_a} = \frac{{15}}{2} = 7{,}5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABE$ vuông tại $B$, có:

$A{E^2} = A{B^2} + B{E^2}$ (định lí Py – ta – go)

$\Leftrightarrow A{E^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}$

$\Leftrightarrow AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}$

$\Rightarrow AF = \frac{1}{2}AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{4}$

Ta lại có: $\sin \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AE}} \Leftrightarrow \sin \widehat {BAE} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 a}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

$\Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {DAF} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ (vì $\widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 90^\circ$).

Xét tam giác $ADF$, có:

$D{F^2} = A{D^2} + A{F^2} - 2.AD.AF\cos \widehat {DAF}$ (Áp dụng định lí cosin)

$\Leftrightarrow D{F^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 5 a}}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{{\sqrt 5 a}}{4}.\frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{13}}{{16}}a$

$\Leftrightarrow DF = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Công thức heron tính diện tích tam giác $ABC$ là $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$ với $p$ là nửa chu vi tam giác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác $ABC$, có:

$\widehat {ABC} + \widehat {BAC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$

$\Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ - \left( {30^\circ + 85^\circ } \right) = 55^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Leftrightarrow \frac{2}{{\sin 55^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 85^\circ }} \Leftrightarrow BC = \frac{{2\sin 85^\circ }}{{\sin 55^\circ }} \approx 2{,}4 \in \left( {1;\,\,4} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$T \cup G$ là tập hợp số học sinh của lớp 10A1 hay $T \cup G = H$.

$T \cap G = \emptyset$.

$H\backslash T$ là tập hợp học sinh của lớp 10A1 không chứa học sinh nam nên $H\backslash T = G$.

b) Xét phương trình: $\left( {x + 2} \right)\left( {5{x^2} - 6x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\5{x^2} - 6x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ mà $\frac{1}{5} \notin \mathbb{Z}$ nên $A = \left\{ { - 2;\,\,1} \right\}$.

Khi đó tập hợp $A$ có $2$ phần tử vậy để $A \cup B$ có đúng 3 phần tử thì một phần tử nữa phải lấy từ tập hợp $B$ và giả sử đó là phần tử $b\left( {b \ne - 2;b \ne 1} \right)$.

Theo đầu bài ta có: ${\left[ {b + \left( { - 2} \right) + 1} \right]^2} = 9$

$\Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} = 9$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - 1 = 3\\b - 1 = - 3\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4\\b = - 2\end{array} \right.$

Do đó chỉ có $b = 4$ là thỏa mãn yêu cầu.

Vì $b = 4 \in B$ nên ta có ${4^2} - \left( {2m + 1} \right)4 + 2m = 0$

$\Leftrightarrow 16 - 8m - 4 + 2m = 0$

$\Leftrightarrow 12 - 6m = 0$

$\Leftrightarrow m = 2$.

Vậy với $m = 2$ thì$A \cup B$ có đúng 3 phần tử và tổng bình phương của chúng bằng 9.

Hướng dẫn giải

Gọi diện tích trồng Thược dược là $x$ (ha), diện tích trồng Cúc là $y$ (ha), $\left( {x,y \ge 0} \right)$.

Khi đó ta có:

Tổng diện tích trồng Thược dược và trồng cúc trên diện tích 12 ha nên $x + y \le 12$(1).

Số công trồng hai loại cây trên là $10x + 15y$ (công)

Mà tổng số công không quá 150 nên ta có $10x + 15y \le 150$ hay $2x + 3y \le 30$(2).

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 12\\2x + 3y \le 30\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác $OABC$ với $O\left( {0;\,\,0} \right)$, $A\left( {0;\,\,10} \right)$, $B\left( {6;\,\,6} \right)$, $C\left( {12;\,\,0} \right)$.

Số tiền thu bác nông dân thu được khi trồng $x$ (ha) Thược dược và $y$ (ha) Cúc là: $F\left( {x;\,\,y} \right) = 11x + 14y$ (triệu đồng).

Ta có:

Tại $O\left( {0;\,\,0} \right)$, $F\left( {0;\,\,0} \right) = 11.0 + 14.0 = 0$;

Tại $A\left( {0;\,\,10} \right)$, $F\left( {0;\,\,10} \right) = 11.0 + 14.10 = 140$;

Tại $B\left( {6;\,\,6} \right)$, $F\left( {6;\,\,6} \right) = 11.6 + 14.6 = 150$;

Tại $C\left( {12;\,\,0} \right)$, $F\left( {12;\,\,0} \right) = 11.12 + 14.0 = 132$.

Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất thì hộ nông dân cần trồng 6 ha Thược dược và 6 ha trồng Cúc.

Hướng dẫn giải

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{4{,}3 + 7{,}5 + 3{,}7}}{2} = 7{,}75\,\left( {cm} \right)$.

Khi đó diện tích tam giác $ABC$ là:

${S_{ABC}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {7{,}75\left( {7{,}75 - 4{,}3} \right)\left( {7{,}75 - 7{,}5} \right)\left( {7{,}75 - 3{,}7} \right)}$

$\approx 5{,}2\,\,\left( {cm} \right)$.

Vành ngoài chiếc đĩa chính là đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên bán kính chiếc đĩa chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ và bằng:

$R = \frac{{abc}}{{4{S_{abc}}}} \approx \frac{{4{,}3.7{,}5.3{,}7}}{{4.5{,}2}} \approx 5{,}7\,\left( {cm} \right)$.

Vì vậy bán kính chiếc đĩa khoảng $5{,}7\,\,cm$.