Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 6

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề đảo của mệnh đề $P$ là: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng và có một cặp cạnh tương ứng bằng nhau”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Câu “$x > 3$” là câu có tính đúng sai phụ thuộc vào biến. Do đó đây là mệnh đề chứa biến không phải mệnh đề. Do đó A đúng.

+) Câu “Tam giác cân có một góc bằng $45^\circ$ là tam giác vuông cân” là khẳng định đúng nên đây là mệnh đề đúng. Do đó B sai.

+) Câu “Trong một tam giác tổng hai cạnh lớn hơn cạnh còn lại” là khẳng định đúng nên đây là mệnh đề đúng. Do đó C sai.

+) Câu “$135$ là một số nguyên tố” là khẳng định sai nên đây là mệnh đề sai. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Câu “Môn xác suất thật khó!” là câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề.

Câu “Số một nghìn tỉ là số rất lớn” là câu khẳng định nhưng không xác định được tính đúng sai vì không có khái niệm số rất lớn nên không là mệnh đề.

Câu “Phú Quốc là thành phố thuộc tỉnh Kiên Giang” là câu khẳng định đúng nên đây là mệnh đề đúng.

Câu “Việt Nam có 54 dân tộc anh em” là câu khẳng định đúng có nên đây là mệnh đề đúng.

Vì vậy có 2 mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bằng cách sử dụng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, ta có thể phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ như sau:

“Điều kiện cần để tứ giác $ABCD$ là hình thoi là$ABCD$có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”;

“Điều kiện đủ để tứ giác $ABCD$có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là tứ giác $ABCD$ là hình thoi”.

Do đó B đúng; A, C, D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phần không bị gạch trên trục số biểu diễn tập hợp $\left( { - 1;\,\,7} \right]$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Các tập con của $M$ gồm $4$ phần tử và luôn chứa các phần tử $1;\,\,3;\,\,a$ là:

$\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,4} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,b} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,d} \right\}$.

Vậy có tất cả $3$ tập hợp thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét ${x^2} - 3x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.$

Khi đó $H = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x > 0} \right\} = \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)$.

Ta có: $\mathbb{N} = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,...} \right\}$

$\Rightarrow \mathbb{N}\backslash H = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập $A \cup B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số học sinh của lớp 10A2 là:

$21 + 24 - 15 + 11 = 41$ (học sinh).

Vậy lớp 10A2 có $41$ học sinh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by > c$ là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $d:ax + by = c$ chứa điểm $M({x_0};\,\,{y_0})$ thỏa mãn $a{x_0} + b{y_0} > c$ và kể cả đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi đường thẳng biên của miền nghiệm là $d:y = mx + n$

Ta thấy đường thẳng $d$ đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (2; 0). Khi thay lần lượt tọa độ các điêm này vào đường thẳng $d$ ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3 = m.0 + n\\0 = m.2 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{3}{2}\\n = 0\end{array} \right.$.

Khi đó đường thẳng $d:y = - \frac{3}{2}x + 3$ hay $d:3x + 2y = 6$

Lấy điểm $O(0;\,\,0)$ ta có: $3.0 + 2.0 = 0 < 6$, mà điểm $O$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên từ đó ta có bất phương trình cần tìm là: $3x + 2y \ge 6$.

Suy ra $a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 6$ nên $a\,\, - \,\,b\,\, + \,\,c = 3 - 2 + 6 = 7$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì cặp $\left( {5;\,\, - 4} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho nên thay $x = 5,y = - 4$ vào bất phương trình, ta được:

$\left( {m - 1} \right).5 - 2m.\left( { - 4} \right) \ge 9$

$\Leftrightarrow 5m - 5 + 8m \ge 9$

$\Leftrightarrow 13m \ge 14$

$\Leftrightarrow m \ge \frac{{14}}{{13}}$

Vậy $m \ge \frac{{14}}{{13}}$ thì cặp $\left( {5;\,\, - 4} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: $\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền trong tứ giác $OABC$ với $O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {0;\,\,5} \right),\,B\left( {2;\,\,4} \right),\,C\left( {4;\,\,0} \right)$.

Tính giá trị biểu thức $F\left( {x;\,\,y} \right)$ tại các điểm $O,\,\,A,\,\,B,\,\,C$, ta được:

Tại $O\left( {0;\,\,0} \right)\,$ta có $F\left( {0;\,\,0} \right) = 3.0 - 2.0 + 1 = 1$;

Tại $A\left( {0;\,\,5} \right)$ ta có $F\left( {0;\,\,5} \right) = 3.0 - 2.5 + 1 = - 9$;

Tại $B\left( {2;\,\,4} \right)$ ta có $F\left( {2;\,\,4} \right) = 3.2 - 2.4 + 1 = - 1$;

Tại $C\left( {4;\,\,0} \right)$ ta có $F\left( {4;\,\,0} \right) = 3.4 - 2.0 + 1 = 13$.

Vậy giá trị lớn nhất của $F\left( {x;\,\,y} \right)$ là 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Thay $x = 0$ và $y = 3$ vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn bất phương trình $x - y \ge - 1$ vì $0 - 3 \ge - 1 \Leftrightarrow - 3 \ge - 1$ là mệnh đề sai. Do đó cặp $\left( {0;\,\,3} \right)$ không thỏa mãn.

+) Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Do đó cặp $\left( {1;\,\,1} \right)$ thỏa mãn.

+) Thay $x = - 1$ và $y = 0$ vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn bất phương trình $x \ge 0$ vì $- 1 \ge 0$ là mệnh đề sai. Do đó cặp $\left( { - 1;\,\,0} \right)$ không thỏa mãn.

+) Thay $x = - 2$ và $y = 1$ vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn hai bất phương trình $x \ge 0$ và $x - y \ge 1$ vì $- 2 \ge 0$ và $- 2 - 1 \ge 1$ là các mệnh đề sai. Do đó cặp $\left( { - 2;\,\,1} \right)$ không thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\cos 120^\circ = - \frac{1}{2}$ và $\sin 120^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$. Do đó C sai và D đúng.

$\tan 120^\circ = - \sqrt 3$ và $\cot 120^\circ = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$. Do đó A và B sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$M = \sin 45^\circ .\cos 135^\circ + \cos 60^\circ .\sin 150^\circ - \cos 30^\circ .\sin 120^\circ$

$= \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) + \frac{1}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}$

$= - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$= - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha = \frac{3}{4}$

$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2}$$

$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{5}{{16}}$$

$\Leftrightarrow \sin \alpha = \frac{{\sqrt 5 }}{4}$ (vì $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ nên $\sin \alpha > 0$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)$

$= \sin A.\sin \left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right] - \cos A.cos\left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right]$

$= \sin A.\sin A - \cos A.\left( { - \cos A} \right)$

$= {\sin ^2}A + {\cos ^2}A$

$= 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\tan \alpha = 2$ nên ${\rm{cos}}\alpha \ne 0$

Chia cả tử và mẫu của $\cos \alpha$ ta được:

$P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha - 2}}{{2 + 3\tan \alpha }} = \frac{{2.2 - 2}}{{2 + 3.2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $67^\circ + 113^\circ = 180^\circ$

Khi đó: ${\rm{cos67}}^\circ = - {\rm{cos}}113^\circ$. Do đó A và B sai.

Ta lại có: $67^\circ + 23^\circ = 90^\circ$

Khi đó: ${\rm{cos67}}^\circ = \sin 23^\circ$. Do đó C đúng và D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$, ta có:

${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2a.b.{\rm{cos}}\widehat C$

$= {8^2} + {5^2} - 2.8.5.{\rm{cos175}}^\circ$

$\approx 168{,}7$

$\Leftrightarrow c \approx 13$.

Chu vi của tam giác ABC là: $K \approx 5 + 8 + 13 = 26$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3$ (đvdt).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{5.7.8}}{{4.10\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác $ABC$, có:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

$\Leftrightarrow \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$, có: $\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 75^\circ } \right) = 45^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta được:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{\sin 75^\circ }} = \frac{2}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow BC = \frac{{2\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 1 + \sqrt 3$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 60^\circ \approx 2{,}37\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 6 < 2x \le 8} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 3 < x \le 4} \right\} = \left( { - 3;\,\,4} \right]$.

$\Rightarrow {C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left( {4; + \infty } \right)$

Xét $\left| {x + 1} \right| \le 2 \Leftrightarrow - 3 \le x \le 1$

$\Rightarrow B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|\left| {x + 1} \right| \le 2} \right\} = \left[ { - 3;\,\,1} \right]$.

$\Rightarrow {C_\mathbb{R}}B = \left( { - \infty ;\,\, - 3} \right) \cup \left( {1;\,\, + \infty } \right)$.

Vì vậy $\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash \left( {{C_\mathbb{R}}B} \right) = \left\{ { - 3} \right\}$.

b) Tập $B$ có đúng $2$ tập con khi và chỉ khi tập $B$ có đúng $1$ phần tử, hay phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)$ có duy nhất $1$ nghiệm thực. Do $B \subset A$ nên $1$ nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn $\left[ {1;8} \right]$.

Xét phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)$

TH1: Nếu $m = 0$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \in \left[ {1;8} \right]$.

Vì vậy $m = 0$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

TH2: Nếu $m \ne 0$ thì để $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc $\left[ {1;8} \right]$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {3m + 3} \right) = - 2{m^2} - m + 1 = 0\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m = - 1\end{array} \right.\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.$

Với $m = \frac{1}{2}$ ta có $\frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3 \in \left[ {1;8} \right]$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với $m = 1$ ta có $\frac{{1 + 1}}{1} = \frac{2}{1} = 1 \notin \left[ {1;8} \right]$ không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy với $m = 0$ và $m = \frac{1}{2}$ thì tập $B$ có đúng hai tập con đồng thời $B \subset A$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$, có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}$

$= {100^2} + {150^2} - 2.100.150.{\rm{cos110}}^\circ$

$\approx 42\,\,760{,}6$

$\Rightarrow AC \approx 206{,}8\,\,\left( {km} \right)$.

Thời gian đi tàu thủy từ $A$ đến $C$ là: $206{,}8:30 \approx 7\left( h \right)$.

Tổng quãng đường đi theo cách 2 là: $100 + 150 = 250\,\,\,\left( {km} \right)$.

Thời gian đi theo cách 2 là: $250:50 = 5\left( h \right)$.

Vậy đi theo cách 2 thì An sẽ đến $C$ sớm hơn.

Hướng dẫn giải

Gọi $x$ là số ly thức ăn loại $A$, $y$ là số ly thức ăn loại $B$ $\left( {x;\,y \ge 0} \right)$.

Số protein trong $x$ ly thức ăn loại $A$ và $y$ ly thức ăn loại $B$ là: $20x + 10y\,\,\left( g \right)$.

Vì hỗn hợp chứa ít nhất $50g$ protein nên ta có bất phương trình: $20x + 10y\, \ge 50$.

Số canxi trong $x$ ly thức ăn loại $A$ và $y$ ly thức ăn loại $B$ là: $20x + 50y\,\,\left( {mg} \right)$.

Vì hỗn hợp chứa ít nhất $130mg$ canxi nên ta có bất phương trình: $20x + 50y\, \ge 130$.

Số calo trong $x$ ly thức ăn loại $A$ và $y$ ly thức ăn loại $B$ là: $100x + 150y\,\,\left( {calo} \right)$.

Vì hỗn hợp chứa không quá $550\,calo$ canxi nên ta có bất phương trình: $100x + 150y\, \le 550$.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}20x + 10y\, \ge 50\\20x + 50y \ge 130\\100x + 150y \le 550\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + y\, \ge 5\\2x + 5y \ge 13\\2x + 3y \le 11\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ta được:

Vì vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong tam giác $MNP$ với $M\left( {\frac{3}{2};\,\,2} \right)$, $N\left( {1;\,\,3} \right)$, $P\left( {4;\,\,1} \right)$.

Giá tiền cho $x$ ly thức ăn loại $A$ và $y$ ly thức ăn loại $B$ nên ta có hàm $F\left( {x;\,\,y} \right) = 110x + 60y$ (nghìn đồng).

Ta có:

$F\left( {\frac{3}{2};\,\,2} \right) = 110.\frac{3}{2} + 60.2 = 285$;

$F\left( {1;\,\,3} \right) = 110.1 + 60.3 = 290$;

$F\left( {4;\,\,1} \right) = 110.4 + 60.1 = 500$.

Vậy người ăn kiêng phải sử dụng bao $1$ ly thức ăn loại $A$ và $3$ ly thức ăn loại $B$ để số tiền bỏ ra là ít nhất.