Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $A$ là $\overline A :$ “Có ít nhất một số thập phân không phải là số hữu tỉ”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Câu “$2$ là số nguyên” là một khẳng định đúng nên là một mệnh đề.

Câu “$7x + \frac{1}{2}$ là một đa thức một biến” là một khẳng định đúng nên là một mệnh đề.

Câu “Cố đô Huế được Unesco công nhận là di sản văn hóa thế giới vào năm 1993” là một khẳng định đúng nên là một mệnh đề.

Câu “$x - 1 = \frac{1}{2}$” là một mệnh đề chứa biến, tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của biến $x$ nên đây không là mệnh đề.

Câu “Hoa mười giờ nở vào đúng 10 giờ” là khẳng định sai vì hoa mười giờ nở khoảng từ 8 giờ đến 10 giờ sáng nên đây là mệnh đề.

Vì vậy có 1 câu không là mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho là:

$Q \Rightarrow P$: “Nếu a chia hết cho 4 thì a chia hết cho 2”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Xét cặp số $\left( { - 2;\,\,2} \right)$:

Thay $x = - 2$ và $y = 2$ vào bất phương trình $x - 2y + 5 > 0$, ta được:

$\left( { - 2} \right) - 2.2 + 5 > 0 \Leftrightarrow - 1 > 0$ là mệnh đề sai nên $\left( { - 2;\,\,2} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình. Do đó $\left( { - 2;\,2} \right) \notin S$.

+) Xét cặp số $\left( {2;\,\,2} \right)$:

Thay $x = 2$ và $y = 2$ vào bất phương trình $x - 2y + 5 > 0$, ta được:

$2 - 2.2 + 5 > 0 \Leftrightarrow 3 > 0$ là mệnh đề đúng nên $\left( {2;\,\,2} \right)$ là nghiệm của bất phương trình. Do đó $\left( {2;\,2} \right) \in S$.

+) Xét cặp số $\left( { - 2;\,\,4} \right)$:

Thay $x = - 2$ và $y = 4$ vào bất phương trình $x - 2y + 5 > 0$, ta được:

$\left( { - 2} \right) - 2.4 + 5 > 0 \Leftrightarrow - 5 > 0$ là mệnh đề sai nên $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình. Do đó $\left( { - 2;\,\,4} \right) \notin S$.

+) Xét cặp số $\left( {1;\,\,3} \right)$:

Thay $x = 1$ và $y = 3$ vào bất phương trình $x - 2y + 5 > 0$, ta được:

$1 - 2.3 + 5 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0$ là mệnh đề sai nên $\left( {1;\,\,3} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình. Do đó $\left( {1;\,\,3} \right) \notin S$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phần không tô màu trong hình biểu diễn tập ${C_D}\left( {A \cup B} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét ${x^2} - 2022 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \sqrt {2022} \\x = - \sqrt {2022} \end{array} \right.$

Vì $x \in \mathbb{R},x \ge 0$ nên $x = \sqrt {2022}$

$\Rightarrow X = \left\{ {\sqrt {2022} } \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Xét $x + 2022 \le 2021 + 2x \Leftrightarrow x \ge 1$

$\Rightarrow A = \left[ {1; + \infty } \right)$

+) Xét $3x - 6 \le 2x - 1 \Leftrightarrow x \le 5$

$\Rightarrow B = \left( { - \infty ;5} \right]$

Ta có:

$\Rightarrow A \cap B = \left[ {1;\,\,5} \right]$

Các số tự nhiên thuộc cả hai tập $A$ và $B$ chính là các số tự nhiên thuộc tập $A \cap B$ là: $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$.

Vì vậy có 5 số thuộc cả hai tập $A$ và $B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi $a,\,\,b,\,\,c$ theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, môn Sử, môn Toán $\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}} \right)$.

Gọi $x$ là số học sinh chỉ thích hai môn Toán và Văn.

$y$ là số học sinh chỉ thích hai môn Toán và Sử.

$z$ là số học sinh chỉ thích hai môn Văn và Sử.

Khi đó ta có sơ đồ Venn:

Tổng số học sinh thích môn Văn là: $a + x + y + 5 = 25$ (1).

Tổng số học sinh thích môn Toán là: $b + x + z + 5 = 20$ (2).

Tổng số học sinh thích môn Sử là: $c + y + z + 5 = 18$ (3).

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

$a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) + 15 = 63$

$\Leftrightarrow a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) = 48$

Số học sinh thích ít nhất một trong ba môn Toán, Văn, Sử là: 45 – 6 = 39.

Khi đó ta có: $a + b + c + x + y + z + 5 = 39 \Leftrightarrow a + b + c + x + y + z = 34$

Mà $a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) = 48$

Nên $a + b + c = 20$.

Vậy có $20$ học sinh thích chỉ một môn trong ba môn trên

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng $ax + by \ge c,\,\,ax + by > c,\,\,ax + by \le c,\,\,ax + by < c$ nên chỉ có bất phương trình $2x + 3y < 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có gọi đường thẳng biên có dạng: $d:y = ax + b$

Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $\left( { - 4{,}5;\,0} \right)$ và $\left( {0; - 3} \right)$, khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình $d$ ta được hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}0 = - 4{,}5a + b\\ - 3 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = - 3\end{array} \right.$$

$\Rightarrow d:y = - \frac{2}{3}x - 3$ hay $d:2x + 3y = - 9$

Lấy điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ có $2.0 + 3.0 = 0 > - 9$ và điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình (không kể đường thẳng) nên ta có bất phương trình cần tìm là: $2x + 3y > - 9$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Gọi đường thẳng ${d_1}:y = ax + b$

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua hai điểm $\left( { - 4;\,0} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$, khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình ${d_1}$ ta được hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}0 = - 4a + b\\2 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right.$$

$\Rightarrow {d_1}:y = \frac{1}{2}x + 2$ hay ${d_1}:x - 2y = - 4$

Lấy điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ có $1 - 2.0 = 1 > - 4$ và điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình (không kể đường thẳng ${d_1}$) nên ta có bất phương trình cần tìm là: $x - 2y > - 4$.

+) Gọi đường thẳng ${d_2}:y = a'x + b'$

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua hai điểm $\left( {0;\,0} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$, khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình ${d_2}$ ta được hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}0 = 0.a' + b'\\2 = 1.a' + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = 2\\b' = 0\end{array} \right.$$

$\Rightarrow {d_2}:y = 2x$ hay ${d_1}:2x - y = 0$

Lấy điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ có $2.1 - 0 = 2 > 0$ và điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng ${d_2}$) nên ta có bất phương trình cần tìm là: $2x \ge y$.

Từ đó ta có hệ bất phương trình cần tìm là: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > - 4\\2x \ge y\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào hệ bất phương trình ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}m.1 - 2.1 \le 5\\\left( {m - 1} \right).1 \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 7\\m \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left[ {4;7} \right]$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta được:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

$\Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \,\,\frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \,\,\frac{c}{{2R}}.$

$\Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}$

$\Leftrightarrow {a^2} = b.c$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác $ABC$, ta được:

$${\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}}$$

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương ${b^2} + {c^2}$ ta được:

${b^2} + {c^2} \ge 2bc$

Khi đó: ${\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}} \ge \frac{{2bc - bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\sin 0^\circ + {\rm{cos}}0^\circ = 0 + 1 = 1$. Do đó A đúng.

${\sin ^2}30^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}60^\circ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \ne 1$. Do đó B sai.

$\sin 90^\circ + {\rm{cos9}}0^\circ = 1 + 0 = 1$. Do đó C đúng.

${\sin ^2}120^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}120^\circ = 1$. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1$

$\Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$, có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 60^\circ } \right) = 45^\circ$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta được:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{2.\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 1 + \sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)$.

Diện tích tam giác $ABC$ bằng:

$S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 60^\circ = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} \approx 2{,}37\,\,\left( {c{m^2}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, có:

$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {1^2} + {6^2} = 37$

$\Leftrightarrow AB = \sqrt {37} \,\,cm$

$\tan ABH = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \widehat {ABH} \approx 9{,}5^\circ$.

$\Rightarrow \widehat {ABC} = 90^\circ - 9{,}5^\circ = 80{,}5^\circ$

$\Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - 80{,}5^\circ - 44^\circ = 55{,}5^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, có:

$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sqrt {37} .\sin 44^\circ }}{{\sin 55{,}5^\circ }} \approx 5{,}1\,\,\left( m \right).$

Vậy chiều cao của cây đèn đường khoảng $5{,}1\,\,m$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Các vectơ bằng bằng $\overrightarrow {OC}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác là: $\overrightarrow {BA} ,\,\,\overrightarrow {ED}$.

Vậy có 2 vectơ thỏa mãn điều kiện.

Hướng dẫn giải

Đáon án đúng là: B

Xét tam giác $ABD$, có: $AB = AD = a$ nên $ABD$ cân tại $A$

Mà $\widehat {BAD} = 60^\circ$ suy ra tam giác $ABD$ đều

Khi đó $AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Ta có: $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CA}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 2.AO = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR}$

$= \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } \right) + \overrightarrow {RN}$

$= \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN}$

$= \overrightarrow {MR} + \overrightarrow {RN}$

$= \overrightarrow {MN}$

Hướng dẫn giải

a) Để $A \cap B = \emptyset$ ta có hai trường hợp sau:

TH1: $a + 2 \le b \Leftrightarrow a - b \le - 2$.

TH2: $a - 1 > b + 4 \Leftrightarrow a - b > 5$.

Vậy với $a - b \le - 2$ hoặc $a - b > 5$ thì $A \cap B = \emptyset$.

b) Ta có: $D = \mathbb{R}\backslash \left( { - 3;\,\,3} \right) = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)$

Ta có hình vẽ sau:

Khi đó $C \cup D = \left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ { - 1; + \infty } \right)$.

Để $E \subset \left( {C \cup D} \right)$ ta có hai trường hợp sau:

TH1: $a \le - 3$.

TH2: $a - 2 \ge - 1 \Leftrightarrow a \ge 1$.

Vậy với $a \le - 3$ hoặc $a \ge 1$ thì $E \subset \left( {C \cup D} \right)$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $AG = \frac{2}{3}AM = \frac{2}{3}.15 = 10$, $BG = \frac{2}{3}BN = \frac{2}{3}.12 = 8$.

Xét tam giác $ABC$, có:

$M$ là trung điểm của $BC$

$N$ là trung điểm của $AC$

Suy ra $MN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$.

$\Rightarrow MN = \frac{1}{2}AB$

$\Rightarrow {S_{ABC}} = 2{S_{MNC}} = 30\sqrt 3$.

Ta lại có $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ${S_{GAB}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.30 = 10\sqrt 3$.

Mặt khác: ${S_{GAB}} = \frac{1}{2}GA.GB.\sin \widehat {AGB} = \frac{1}{2}.10.8.\sin \widehat {AGB} = 10\sqrt 3$

$\Rightarrow \sin \widehat {AGB} = \frac{{10\sqrt 3 }}{{40}} = \frac{{\sqrt 3 }}{4}$

$\Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {AGB} = \frac{{\sqrt {13} }}{4}$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$, ta có:

$A{B^2} = A{G^2} + G{B^2} - 2.AG.GB.{\rm{cos}}\widehat {AGB}$

$= {10^2} + {8^2} - 2.10.8.\frac{{\sqrt {13} }}{4}$

$\approx 19{,}8$

$\Rightarrow AB \approx 4{,}4$

$\Rightarrow MN \approx 2{,}2$.

Vậy $MN \approx 2{,}2$.

Hướng dẫn giải

Gọi số xe lớn cần thuê là $x$ (xe), số xe nhỏ cần thuê là $y$ (xe) $\left( {x,y \in \mathbb{N},0 \le x \le 12,\,0 \le y \le 10} \right)$.

Số lợn có thể chở là: $50x + 30y$ (con)

Mà cần vận chuyển ít nhất $450$ con lợn nên ta có $50x + 30y \ge 450$ hay $5x + 3y \ge 45$.

Số tấn cám có thể chở là: $5x + y$ (con)

Mà cần vận chuyển ít nhất $35$ tấn cám nên ta có $5x + y \ge 35$ (tấn).

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 12\\0 \le y \le 10\\5x + 3y \ge 45\\5x + y \ge 35\end{array} \right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của ngũ giác $ABCDE$ (miền không tô đậm trong hình vẽ) với $A\left( {7;\,\,5} \right),B\left( {5;\,\,10} \right),\,\,C\left( {12;\,10} \right),\,D\left( {12;\,\,0} \right),\,\,E\left( {9;\,\,0} \right)$.

Chi phí thuê xe là: $F\left( {x;\,\,y} \right) = 4x + 2y$ (triệu đồng)

Ta có:

Tại $A\left( {7;\,\,5} \right)$ có $F\left( {7;\,\,5} \right) = 4.7 + 2.5 = 38$;

Tại $B\left( {5;\,\,10} \right)$ có $F\left( {5;\,\,10} \right) = 4.5 + 2.10 = 40$;

Tại $C\left( {12;\,10} \right)$ có $F\left( {12;\,\,10} \right) = 4.12 + 2.10 = 68$

Tại $D\left( {12;\,\,0} \right)$ có $F\left( {12;\,\,0} \right) = 4.12 + 2.0 = 48$

Tại $E\left( {9;\,\,0} \right)$ có $F\left( {9;\,\,0} \right) = 4.9 + 2.0 = 36$

Vậy người đó cần thuê 9 xe lớn để chi phí thuê xe là thấp nhất.