Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo SGK bộ Kết nối tri thức với cuộc sống trang 48 hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$3.0 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0$ là một mệnh đề sai.

$2.0 - 0 > 1 \Leftrightarrow 0 > 1$ là một mệnh đề sai.

Do đó điểm $O(0;\,\,0)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$2.0 + 4.0 < 1 \Leftrightarrow 0 < 1$ là một mệnh đề đúng.

$0 - 3.0 + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le 0$ là một mệnh đề sai.

Do đó điểm $O(0;\,\,0)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$0 - 2.0 + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge 0$ là một mệnh đề đúng.

$3.0 - 4.0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2$ là một mệnh đề đúng.

Do đó điểm $O(0;\,\,0)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$2.0 + 0 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0$ là một mệnh đề sai.

$4.0 - 3.0 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0$ là một mệnh đề đúng.

Do đó điểm $O(0;\,\,0)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đáp án A là đáp án sai vì $x - 3y + 4 = 0$ là phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án B là đáp án sai vì ${x^2} - y < 5$ có chứa ${x^2}$.

Đáp án C là đáp án đúng $x + 2y - 3 > 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án D là đáp án sai vì $x - 3{y^3} + 4 \le 0$ có chứa ${y^3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có tập hợp $A = \left\{ {x \in \mathbb{R},2 \le x \le 5} \right\} = \left[ {2;\,\,5} \right]$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với $\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,180^\circ } \right)$ ta có:

$\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha$. Do đó C đúng.

$\cos \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cos \alpha$. Do đó B sai.

$\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha$. Do đó D đúng.

$\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha$. Do đó A đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đáp án A ta có: $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD}$ (theo quy tắc ba điểm) nên $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CB}$ là mệnh đề sai.

Xét đáp án B ta có: $\overrightarrow {DC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB}$ (theo quy tắc hình bình hành) là mệnh đề đúng.

Xét đáp án C ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD}$ (theo quy tắc ba điểm). Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC}$ nên $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC}$ là một mệnh đề đúng.

Xét đáp án D ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$ (theo quy tắc hình bình hành) là một mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,90^\circ } \right)$ ta có $\sin \alpha > 0,\,\,\cos \alpha > 0,\,\tan \alpha \, > 0,\,\cot \alpha > 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét đáp án A ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \Leftrightarrow a = \frac{{b.\sin A}}{{\sin B}}$ (theo định lí sin) là mệnh đề đúng.

Xét đáp án B ta có: $S = \frac{{abc}}{{4R}}$ nên $S = \frac{{abc}}{{2R}}$ là mệnh đề sai.

Xét đáp án C ta có: ${b^2} = {a^2} + {c^2} - 2ac\cos B \Leftrightarrow \cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}$ (theo định lí côsin) là mệnh đề đúng.

Xét đáp án D ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.cosA$ (theo định lí côsin) là mệnh đề đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tập hợp $A = \left\{ { - 2;\,1;\,3;\,5;\,6} \right\}$ và $B = \left\{ {3;\,5;\,7;\,8} \right\}$ vậy $A \cap B = \left\{ {3;\,5} \right\}$

Suy ra:

$6 \notin A \cap B;\,\,7 \notin A \cap B;\,\,1 \notin A \cap B$ và $3 \in A \cap B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Câu “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là khẳng định đúng. Do đó “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề.

Câu “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là khẳng định sai. Do đó “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là mệnh đề.

Câu “2 là số nguyên tố” là khẳng định đúng. Do đó “2 là số nguyên tố” là mệnh đề.

Câu “Hôm nay là thứ mấy?” là câu hỏi nên không là mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét đáp án A: $B$ thuộc đoạn thẳng $AC$

Ta có $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ cùng hướng

Vậy đáp án A đúng.

Xét đáp án B: Điểm $A$ nằm ngoài đoạn thẳng $BC$

Ta có $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ ngược hướng

Vậy đáp án B sai.

Xét đáp án C: Điểm $A$ thuộc đoạn thẳng $BC$

Ta có $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ ngược hướng

Vậy đáp án C sai.

Xét đáp án D: Điểm $C$ thuộc đoạn thẳng $AB$

Ta có $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ ngược hướng

Vậy đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

Phủ định của $\forall$ là $\exists$;

Phủ định của $<$ là $\ge$.

Khi đó phủ định của mệnh đề $A$ là: $\overline{A}:"\exists x\in ℝ,{x}^{2}-x+7\ge 0"$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử đường thẳng a có phương trình: $y = ax + b$

Ta có đường thẳng a đi qua điểm $\left( {2;\,0} \right)$ và $\left( {0;\,4} \right)$ ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}0 = a.2 + b\\4 = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = 4\end{array} \right.$$

Suy ra đường thẳng a có phương trình: $y = - 2x + 4 \Leftrightarrow 2x + y = 4$.

Xét điểm $O\left( {0;\,0} \right)$ ta có $2.0 + 0 < 4$ mà điểm $O\left( {0;\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng a). Do đó bất phương trình có dạng $2x + y \le 4$.

Giả sử đường thẳng b có phương trình: $y = a'x + b'$

Ta có đường thẳng b đi qua điểm $\left( {1;\,0} \right)$ và $\left( {0;\,\frac{1}{2}} \right)$ ta có:

$$\left\{ \begin{array}{l}0 = a'.1 + b'\\\frac{1}{2} = a'.0 + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = - \frac{1}{2}\\b' = \frac{1}{2}\end{array} \right.$$

Vậy đường thẳng a có phương trình: $y = - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \Leftrightarrow x + 2y = 1$

Xét điểm $O\left( {0;\,0} \right)$ ta có $0 + 2.0 < 1$ mà điểm $O\left( {0;\,0} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng b). Do đó bất phương trình có dạng $x + 2y \ge 1$.

Vậy phần không bị gạch trong hình biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y \ge 1\\2x + y \le 4\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

A là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.

B là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.

C là mệnh đề sai: Ví dụ: 2.3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ.

D là mệnh đề đúng: Ví dụ: 1.3 = 3 là số lẻ và 1, 3 đều là số lẻ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vẽ đường thẳng $d:x - 2y + 4 = 0$.

Đường thẳng $d$ là đường thẳng đi qua $A(0;\,2)$ và $B( - 4;\,0)$.

Xét điểm $O(0;\,0)$ ta có $0 - 2.0 + 4 > 0$ vì vậy điểm $O(0;\,0)$ không là nghiệm của bất phương trình.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng $x - 2y + 4 = 0$ và không chứa điểm $O$ và không kể đường thẳng $d$.

Vì vậy hình vẽ ở đáp án D biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y + 4 < 0$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $A = \left( { - \infty ;\,5} \right)$ và $B = \left[ { - 1;\, + \infty } \right)$

Suy ra $A \cap B = \left[ { - 1;\,5} \right)$

Vì vậy $\left[ { - 1;\,4} \right]$ là tập con của tập $A \cap B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}$ $\Leftrightarrow$ $A = \frac{{3\sin \alpha + 4\sin \alpha .\cot \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\sin \alpha .\cot \alpha }}$

$\Leftrightarrow A = \frac{{\sin \alpha \left( {3 + 4\cot \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {2 - 5\cot \alpha } \right)}} = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }}$

$\Leftrightarrow A = \frac{{3 + 4.\frac{1}{3}}}{{2 - 5.\frac{1}{3}}} = 13$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có tập con có $2$ phần tử của tập $A$ là: $\left\{ {a;\,b} \right\},\,\left\{ {a;\,c} \right\},\,\left\{ {b;\,c} \right\}$.

Vậy có $3$ tập con có hai phần tử của tập hợp $A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC}$

Mà $\overrightarrow {DC} = - \overrightarrow {CD}$, $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA}$

Vậy $\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$. Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$ ta có:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.cosC$

$\Leftrightarrow A{B^2} = {200^2} + {180^2} - 2.200.180.cos{60^o}$

$\Leftrightarrow A{B^2} = 36400$

$\Leftrightarrow AB = 20\sqrt {91}$.

Vậy $AB = 20\sqrt {91} \,\,\left( m \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi $A$ là tập hợp học sinh lớp 10A; $B$ là tập học sinh được xếp loại học lực giỏi; $C$ là tập học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt. Khi đó tập hợp cần tìm là tập $B \cup C$. Được thể hiện trong biểu đồ Ven như sau:

Khi đó $\left| {B \cup C} \right| = \left| B \right| + \left| C \right| - \left| {B \cap C} \right| = 15 + 20 - 10 = 25$

Vậy có 25 học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt.

Hướng dẫn giải

Tập hợp $A = \left( { - \infty ;\,m + 1} \right]$ và $B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)$

a) Với $m = 2$ ta có $A = \left( { - \infty ;\,3} \right]$ và $B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)$

Ta có:

Vậy tập $A \cap B = \left( { - 2;\,3} \right]$.

b) Để $A \cap B = \emptyset$ thì $m + 1 \le - 2 \Leftrightarrow m \le - 3$

Vậy $m \le - 3$ thì $A \cap B = \emptyset$.

Hướng dẫn giải

Gọi số bánh trưng được gói là $x$ (bánh), số bánh ống được gói là $y$ (bánh) $\left( {x,y \ge 0} \right)$.

Khi đó số điểm thưởng là $f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 6y$.

Số $kg$ gạo nếp cần dùng là: $0{,}4x + 0{,}6y\,\left( {kg} \right)$.

Số $kg$thịt ba chỉ cần dùng là: $0{,}05x + 0{,}075y\,\,\left( {kg} \right)$.

Số $kg$ đậu xanh cần dúng là: $0{,}1x + 0{,}15y\,\left( {kg} \right)$.

Vì yêu cầu cuộc thi là sử dụng tối đa $20kg$ gạo nếp, $2kg$ thịt ba chỉ và $5kg$ đậu xanh nên ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}0{,}4x + 0{,}6y \le 20\\0{,}05x + 0{,}075y \le 2\\0{,}1x + 0{,}15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$

Vậy miền nghiệm là phần miền trong tam giác $OAB$ với $O\left( {0;\,0} \right),A\left( {0;\,\,\frac{{80}}{3}} \right),B\left( {40;\,\,0} \right)$ như hình vẽ sau:

Biểu thức $f\left( {x;\,y} \right) = 5x + 7y$ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình khi $\left( {x;\,y} \right)$ là toạ độ một trong các đỉnh $O\left( {0;\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right),\,\,B\left( {40;\,0} \right)$.

Ta có:

Tại $O\left( {0;\,\,0} \right)$ có $f\left( {0;\,0} \right) = 5.0 + 6.0 = 0$;

Tại $A\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right)$ có $f\left( {0;\,\frac{{80}}{3}} \right) = 5.0 + 6.\frac{{80}}{3} = 160$;

Tại $B\left( {40;\,\,0} \right)$ có $f\left( {40;\,0} \right) = 5.40 + 7.0 = 200$.

Suy ra $f\left( {x;\,y} \right)$ lớn nhất bằng $200$ khi $x = 40$ và $y = 0$.

Vậy để được điểm thưởng lớn nhất thì cần gói $40$ cái bánh trưng và $0$ cái bánh ống.

Hướng dẫn giải

Ta có $A{M^2} = \frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} - \frac{{B{C^2}}}{4}$

$\Leftrightarrow B{C^2} = 4\left( {\frac{{A{C^2} + A{B^2}}}{2} - A{M^2}} \right)$

$\Leftrightarrow B{C^2} = 4\left( {\frac{{{{10}^2} + {4^2}}}{2} - {6^2}} \right) = 88$

$\Rightarrow BC = 2\sqrt {22}$.

Ta có nửa chu vi $P = \frac{{10 + 4 + 2\sqrt {22} }}{2} = 7 + \sqrt {22}$

Theo công thức Heron ta có:

$S = \sqrt {\left( {7 + \sqrt {22} } \right)\left( {7 + \sqrt {22} - 4} \right)\left( {7 + \sqrt {22} - 10} \right)\left( {7 + \sqrt {22} - 2\sqrt {22} } \right)} = 3\sqrt {39}$.