Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Câu “Làm ơn hãy im lặng!” là một câu cảm thán nên không phải mệnh đề. Do đó A sai.

Câu “Tháp Eiffel nằm ở Anh” là một câu khẳng định sai nên là mệnh đề sai. Do đó B sai.

Câu “Biển ở Phú Quốc thật đẹp” là một câu khẳng định nhưng chưa thể khẳng định được tính đúng sai nên không là mệnh đề. Do đó C sai.

Câu “$11$ là số nguyên tố” là một câu khẳng định đúng nên là mệnh đề đúng. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Lấy điểm (0; 1) thuộc vào miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm.

Xét đường thẳng d$_{1}$: $x + 3y + 2 = 0 \Leftrightarrow x + 3y = - 2$

Tại điểm (0; 1) có: $0 + 3.1 = 3 > - 2$, miền nghiệm D$_{1}$ của bất phương trình có bờ là đường thẳng d$_{1}$ là nửa mặt phẳng chứa điểm (0; 1) và kể biên nên biểu diễn cho bất phương trình $x + 3y \ge - 2$. (1)

Xét đường thẳng d$_{2}$: $x - 2y = 0$

Tại điểm (0; 1) có: $0 - 2.1 = - 2 < 0$, miền nghiệm D$_{2}$ của bất phương trình có bờ là đường thẳng d$_{2}$ là nửa mặt phẳng chứa điểm (0; 1) và kể biên nên biểu diễn cho bất phương trình $x - 2y \le 0$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình cần tìm là: $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y \ge - 2\\x - 2y \le 0\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

Điều kiện đủ để tứ giác $ABCD$ có $AB\parallel CD$ là tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Điều kiện cần để tứ giác $ABCD$ là hình bình hành là tứ giác $ABCD$ có $AB\parallel CD$.

Do đó A sai, D sai và B đúng.

Vì tứ giác $ABCD$ có $AB\parallel CD$ chưa đủ điều kiện để khẳng định tứ giác $ABCD$ là hình bình hành nên đáp án C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left| x \right| < 2 \Leftrightarrow - 2 < x < 2$.

Khi đó $A = \left\{ {x \in \mathbb{R},|x|\, < 2} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}, - 2 < x\, < 2} \right\} = ( - 2;\,\,2)$.

Biểu diễn tập hợp A trên trục số ta được:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A\backslash B = \left\{ { - 1;\,\,2;\,\,3;\,\,5;\,\,7} \right\}$.

Khi đó:

0 ∉ A\B. Do đó A sai.

8 ∉ A\B. Do đó B sai.

– 2 ∉ A\B. Do đó C sai.

3 ∈ A\B. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Câu “∃x ∈ ℝ, x$^{2}$ = – 2”: là một khẳng định sai vì không có giá trị của x nào thỏa mãn x$^{2}$ = – 2. Do đó câu A là một mệnh đề.

+) Câu “$- \frac{1}{2}$x + 3 = 0”: có tính đúng sai phụ thuộc vào giá trị của x nên câu này là một mệnh đề chứa biến.

+) Câu “|x| ≥ 0 với mọi giá trị thực của x”: là một khẳng định đúng vì giá trị tuyệt đối của một số thực luôn luôn không âm. Do đó câu này là một mệnh đề.

+) Câu “∀x ∈ ℕ*, x$^{2}$ + x > 0”: là một khẳng định đúng vì với số tự nhiên x khác 0 thì x$^{2}$ + x luôn dương. Do đó câu này là một mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $X \cap Y = \left\{ {5;\,\,8;\,\,17} \right\}$.

Vậy số phần tử của tập $X \cap Y$ là $3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Thay $x = 1$ và $y = 5$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: $- 2.1 + 5 < 1 \Leftrightarrow 3 < 1$ là một mệnh đề sai.

$1 - 5 \ge 0 \Leftrightarrow - 4 \ge 0$ là một mệnh đề sai.

Do đó cặp $\left( {1;\,\,5} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = - 1$ và $y = 3$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: $- 2.\left( { - 1} \right) + 3 < 1 \Leftrightarrow 5 < 1$ là một mệnh đề sai.

$- 1 - 3 \ge 0 \Leftrightarrow - 4 \ge 0$ là một mệnh đề sai.

Do đó cặp $\left( { - 1;\,\,3} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: $- 2.0 + 1 < 1 \Leftrightarrow 1 < 1$ là một mệnh đề sai.

$0 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \ge 0$ là một mệnh đề sai.

Do đó cặp $\left( {0;\,\,1} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được: $- 2.1 + 1 < 1 \Leftrightarrow - 1 < 1$ là một mệnh đề đúng.

$1 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0$ là một mệnh đề đúng.

Do đó cặp $\left( {1;\,\,1} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét biểu thức $A = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha - 3\cos \alpha }}$

Ta có $\tan \alpha = 4$ nên $cos\alpha \ne 0$.

Chia cả tử và mẫu của biểu thức A cho $cos\alpha \ne 0$, ta được:

$A = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{\tan \alpha + 1}}{{\tan \alpha - 3}}$.

Thay $\tan \alpha = 4$vào biểu thức trên ta được $A = \frac{{4 + 1}}{{4 - 3}} = \frac{5}{1} = 5$.

Vậy giá trị biểu thức A là 5 khi $\tan \alpha = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,180^\circ } \right)$ thì $\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét đường thẳng $3x - 2y = - 6$

Chọn $x = 0 \Rightarrow y = 3$

Chọn $y = 0 \Rightarrow x = - 2$

Suy ra đường thẳng $3x - 2y = - 6$ đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (– 2; 0).

Lấy O(0; 0) có 3.0 – 2.0 = 0 > 0 – 6 nên điểm O thuộc miền nghiệm của bất phương trình đã cho do đó miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $3x - 2y = - 6$ chứa điểm O và không kể đường thẳng.

Vì vậy hình vẽ C là hình biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

Tập con có $2$ phần tử: $\left\{ {m;\,\,n} \right\}$;

Tập con có $3$ phần tử: $\left\{ {m;\,\,n;\,\,1} \right\},\left\{ {m;\,\,n;\,\,5} \right\}$.

Tập con có $4$ phần tử: $\left\{ {m;\,\,n;\,\,1;\,\,5} \right\}$.

Vậy có $4$ tập con của $M$ thỏa mãn yêu cầu.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình $x + y \le 3$ có vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC, có: $\widehat A = 90^\circ$ nên $\sin A = 1$

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Leftrightarrow \widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)$ (tổng 3 góc trong tam giác)

Do đó $\sin A = \sin \left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = \sin \left( {B + C} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$, có:

$K$ là trung điểm $AB$,

$N$ là trung điểm $AC$

Suy ra $KN$ là đường trung bình của tam giác $ABC$

$\Rightarrow KN\parallel BC$

Do đó vectơ $\overrightarrow {KN}$ cùng phương với $\overrightarrow {CB}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Giả sử sau $1{,}2$ giờ thì tàu thứ nhất đến vị trí $B$, tàu thứ hai đến được vị trí $C$.

Sau $1{,}2$ giờ:

Tàu thứ nhất đi được quãng đường $AB$ dài: $25\,\,.\,\,1{,}2 = 30\,\,\left( {km} \right)$.

Tàu thứ hai đi được quãng đường $AC$ dài: $35\,\,.\,\,1{,}2 = 42\,\,\left( {km} \right)$.

Xét tam giác ABC:

Áp dụng định lí cos trong tam giác ABC, ta được:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A$

$\Leftrightarrow B{C^2} = {30^2} + {42^2} - 2.30.42.\cos \left( {50^\circ 35'} \right)$

$\Leftrightarrow B{C^2} \approx 1\,\,063{,}91$

$\Leftrightarrow BC \approx 32{,}62$.

Vậy sau 1,2 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu khoảng $32{,}62\,\,km$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $ABC$, có:

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta được:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R \Leftrightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{b}{{2\sin B}} = \frac{c}{{2\sin C}}$.

Do đó A đúng, B sai.

Diện tích tam giác ABC là:

$S = pr = \frac{{abc}}{{4R}} \Leftrightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{abc}}{{4pr}}$.

Do đó C và D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng quy tắc ba điểm, ta có:

$\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {CA}$. Do đó A đúng.

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC}$. Do đó B sai.

Áp dụng quy tắc hiệu hai vectơ:

$\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \ne \overrightarrow {BC}$. Do đó C sai.

Áp dụng quy tắc hình bình hành:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} \ne \overrightarrow {BC}$(với D là điểm thỏa mãn ABDC là hình bình hành). Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hai vectơ cùng phương thì có giá song song hoặc trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là A

Ta có: $\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR}$

$= \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } \right) + \overrightarrow {RN}$

$= \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN}$

$= \overrightarrow {MR} + \overrightarrow {RN}$

$= \overrightarrow {MN}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Ta có: $\left[ {2\,\,007;2\,\,022} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R},2\,\,007 \le x \le 2\,\,022} \right\}$.

$\Rightarrow 2\,\,007 \in \left[ {2\,\,007;2\,\,022} \right]$ và $2\,\,022 \in \left[ {2\,\,007;2\,\,022} \right]$

Vì vậy $\left\{ {2\,\,007;2\,\,022} \right\} \subset \left[ {2\,\,007;2\,\,022} \right]$. Do đó A đúng.

+) Tập $\emptyset$ là tập con của mọi tập hợp nên $\emptyset \subset \mathbb{Z}$. Do đó B đúng.

+) Ta có: $\mathbb{N} = \left\{ {0;\,1;2;3;4;...} \right\}$

$\left[ {0; + \infty } \right) = \left\{ {x \in \mathbb{R},x > 0} \right\}$

Vì vậy $\mathbb{N} \subset \left[ {0;\,\, + \infty } \right)$. Do đó C đúng.

+) Ta có: $\left[ {2;\,\,6} \right] = \left\{ {x \in \mathbb{R},2 \le x \le 6} \right\}$

$\Rightarrow 2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}5;{\rm{ }}6 \in \left[ {2;6} \right]$

$\Rightarrow \left\{ {2;3;4;5;6} \right\} \subset \left[ {2;\,\,6} \right]$

Ta lại có $\frac{5}{2} \in \left[ {2;6} \right]$ nhưng $\frac{5}{2} \notin \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}$.

$\Rightarrow \left[ {2;\,\,6} \right] \not\subset \left\{ {2;3;4;5;6} \right\}$

Vì vậy $\left\{ {2;3;4;5;6} \right\} \ne \left[ {2;\,\,6} \right]$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 1 < x \le 4} \right\} = \left( { - 1;4} \right]$.

Khi đó, ta có:

Vì vậy $\mathbb{R}\backslash A = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left( {4; + \infty } \right)$.

b) Để $A \cap B \ne \emptyset$ thì m – 2 > – 1 ⇔ m > 1.

Vậy m > 1 thì $A \cap B \ne \emptyset$.

Hướng dẫn giải

Gọi số sản phẩm A là $x$ (sản phẩm) và số sản phẩm B là $y$ (sản phẩm) $\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)$.

Tổng thời gian lắp ráp $x$ sản phẩm A và $y$ sản phẩm B là: $3x + 3y$ (giờ).

Vì thời gian để lắp ráp không quá $360$ giờ nên ta có: $3x + 3y \le 360$ hay $x + y \le 120$.

Tổng thời gian đóng gói $x$ sản phẩm A và $y$ sản phẩm B là: $x + 2y$ (giờ).

Vì thời gian để lắp ráp không quá 200 giờ nên ta có: $x + 2y \le 200$.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 120\\x + 2y \le 200\end{array} \right.$.

Biểu diễn miền nghiệm với ${d_1}:x + y = 120$ và ${d_2}:x + 2y = 200$, ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác OABC với O(0; 0), A(0; 100), B(40; 80), C(120; 0).

Goi F(x; y) là lợi nhuận thu được khi bán x sản phẩm A và y sản phẩm B.

Khi đó $F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y$

Tại O(0; 0), có $F\left( {0;0} \right) = 2.0 + 3.0 = 0$.

Tại A(0; 100), có: $F\left( {0;100} \right) = 2.0 + 3.100 = 300$.

Tại B(40; 80), có: $F\left( {40;80} \right) = 2.40 + 3.80 = 320$.

Tại C(120; 0), có: $F\left( {120;0} \right) = 2.120 + 3.0 = 240$.

Vậy để thu được lợi nhuận lớn nhất là 320 triệu đồng thì cần sản xuất 40 sản phẩm A và 80 sản phẩm B.

Hướng dẫn giải

+) Xét tam giác ABC, có AB = AC = a nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - \widehat {BAC}} \right) = \frac{1}{2}\left( {180^\circ - 120^\circ } \right) = 30^\circ$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABC, ta được:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.c{\rm{os}}\widehat {BAC}$

$\Leftrightarrow B{C^2} = {a^2} + {a^2} - 2.a.a.c{\rm{os120}}^\circ$

$\Leftrightarrow B{C^2} = 3{a^2}$

$\Leftrightarrow BC = \sqrt 3 a$

$\Rightarrow BM = \frac{{2BC}}{5} = \frac{{2\sqrt 3 a}}{5}$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác ABM, ta được:

$A{M^2} = A{B^2} + B{M^2} - 2.AB.BM.c{\rm{os}}\widehat {ABM}$

$\Leftrightarrow A{M^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}} \right)^2} - 2.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.c{\rm{os30}}^\circ$

$\Leftrightarrow A{M^2} = \frac{7}{{25}}{a^2}$

$\Leftrightarrow AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a$.

Vậy $AM = \frac{{\sqrt 7 }}{5}a$.

+) Diện tích tam giác $ABM$ là:

${S_{ABM}} = \frac{1}{2}.AB.BM.\sin \widehat {ABM} = \frac{1}{2}.a.\frac{{2\sqrt 3 a}}{5}.\sin 30^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{{10}}$ (đvdt).

Chu vi tam giác $ABM$ là:

$p = AB + AM + BM = a + \frac{{\sqrt 7 }}{5}a + \frac{{2\sqrt 3 }}{5}a = \frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a$ (đvđd).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

$r = \frac{S}{p} = \left( {\frac{{\sqrt 3 }}{{10}}{a^2}} \right):\left( {\frac{{1 + \sqrt 7 + 2\sqrt 3 }}{5}a} \right) \approx 0{,}12a$.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là $0{,}12a$.