Bộ 10 đề thi giữa kì 1 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03

Chọn C

Thay lần lượt các cặp số $\left( {x;y} \right)$ở các đáp án vào bất phương trình $2x - y + 1 < 0$, chỉ có cặp số $\left( {1;4} \right)$thỏa mãn.

Chọn C

Lần lượt thay các bộ số vào hệ bất phương trình ta được một nghiệm của hệ bất phương trình trên là $\left( {1;2} \right)$.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 > 0\\2x + y > 3\end{array} \right.$ là phần mặt phẳng chứa điểm $\left( {1;2} \right)$.

Chọn A

Ta thấy $O\left( {0;\,0} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên loại A và.

Xét điểm $M\left( { - 2;\,3} \right)$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên loại.

Chọn A

Ta có $P = 3{\sin ^2}x + 4{\cos ^2}x = 3(1 - {\cos ^2}x) + 4{\cos ^2}x = 3 + {\cos ^2}x$

Thay $\cos x = \frac{1}{2}$ ta được $P = \frac{{13}}{4}$.

Chọn A

Theo định lý $\sin$ trong tam giác $ABC$ ta có $\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}}$ $\Leftrightarrow \frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{BC}}{{\sin 60^\circ }}$

$\Rightarrow BC = \frac{{4\sin 60^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 2\sqrt 6$.

Chọn D

Ta có $1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {a^2}}} \Leftrightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{{1 + {a^2}}} = \frac{{{a^2}}}{{1 + {a^2}}}$.

Do $\cot \alpha < 0$ và $0^\circ < \alpha < 180^\circ \Rightarrow \cos \alpha < 0$ nên $\cos \alpha = - \frac{a}{{\sqrt {1 + {a^2}} }}$.

Chọn D

Ta có: $(2x - {x^2})(x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - {x^2} = 0\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0;x = 2\\x = 1\end{array} \right.$ $\Rightarrow A = \left\{ {0\,;1\,;2} \right\}$.

$B = \left\{ {1\,;2\,;\,3} \right\}$.

Suy ra $A \cap B = \left\{ {1\,;2} \right\}$.

Chọn D

Miền nghiệm là ngũ giác $ABCOE$ với $A\left( {4\,;\,3} \right),\,B\left( {2\,;\,4} \right),\,C\left( {0\,;\,4} \right),\,E\left( {1\,;\,0} \right),O\left( {0\,;\,0} \right)$.

Tại $A\left( {4\,;\,3} \right)$ thì $F = 1.$

Tại $B\left( {2\,;\,4} \right)$ thì $F = - 2.$

Tại $C\left( {0\,;\,4} \right)$thì $F = - 4.$

Tại $E\left( {1;\,0} \right)$thì $F = 1.$

Tại $O\left( {0\,;\,0} \right)$thì $F = 0.$

Vậy $\min F = - 4$

Chọn A

Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ trên mặt đất, $M$ là hình chiếu của $B$ trên $CH$. Chiều cao của ngọn núi là $h = CH$. Xét điều kiện trong thực tế đỉnh núi cao hơn nóc tòa nhà thì $h > 70$ và $M$ nằm giữa hai điểm $C$ và $H$.

$\Delta ACH$ vuông tại $H,{\rm{ }}\widehat {CAH} = 30^\circ \Rightarrow h = AH.\tan 30^\circ$ (1)

$\Delta BCM$ vuông tại $M,{\rm{ }}\widehat {CBM} = 15^\circ 30' \Rightarrow CM = BM.\tan \left( {15^\circ 30'} \right) = AH.\tan \left( {15^\circ 30'} \right)$

$$\Rightarrow AH = \frac{{h - 70}}{{\tan \left( {15^\circ 30'} \right)}}{\rm{ }}\left( 2 \right)$$

Từ (1) và (2) suy ra $h = \frac{{h - 70}}{{\tan \left( {15^\circ 30'} \right)}}.\tan 30^\circ \Leftrightarrow h = \frac{{70.\tan 30^\circ }}{{\tan 30^\circ - \tan \left( {15^\circ 30'} \right)}} \approx 134{,}70(m)$.

a)

S

b)

S

c)

S

d)

Đ

a) Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

Thời gian để máy cắt vải CNC làm việc: $2x + y - 8 \le 0$.Khẳng định đã cho là khẳng định đúng.

Thời gian để máy may công nghiệp làm việc: $x + 3y - 9 \le 0$.Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số cái áo sơ mi nam và quần tây nữ cần sản xuất ($x,y \ge 0$).

Thời gian để máy cắt vải CNC làm việc: $2x + y \le 8$.

Thời gian để máy may công nghiệp làm việc: $x + 3y \le 9$.

Ta có hệ điều kiện:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2x + y \le 8}\\{x + 3y \le 9}\\{x \ge 0}\\{y \ge 0}\end{array}} \right.$.

Lợi nhuận thu được: $T = 83x + 87y$.

Lợi nhuận tại các đỉnh của miền nghiệm:

$T(3{,}2) = 423$

$T(4{,}0) = 332$

$T(0{,}3) = 261$

$T(0{,}0) = 0$

Điểm thỏa mãn lợi nhuận lớn nhất: $x = 3,y = 2$Khẳng định đã cho là khẳng định sai.

Lợi nhuận lớn nhất đạt được là $F(3{,}2) = 423$ ngàn đồng.

(Sai) $2x + y - 8 \ge 0$

(Đúng) $x + 3y - 9 \le 0$

(Sai) Với $x = 4,y = 4$ thì lợi nhuận thu được là lớn nhất

(Sai) Lợi nhuận lớn nhất đạt được là 428 ngàn đồng

a)

Đ

b)

Đ

c)

S

d)

S

Đúng: Ta có: $D = \left\{ {1\,;\,2} \right\}$.Sai: $E = \left\{ {0;3;6;9} \right\}$Đúng: Vậy tập hợp $D$ là tập con của tập hợp $C$.Sai: Tập hợp $E$ không là tập con của tập hợp $C$.

Trả lời

4

1

Gọi vị trí ngọn hải đăng là điểm $C$, $H$ là hình chiếu của $C$ trên đường thẳng $AB.$

Ta có: $\widehat {ACB} = 75^\circ - 45^\circ = 30^\circ$ (tính chất góc ngoài tam giác). Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} \Rightarrow BC = \frac{{30\sin 45^\circ }}{{\sin 30^\circ }} = 30\sqrt 2 .$

Xét tam giác vuông $BCH$, ta có: $CH = BC\sin 75^\circ = 30\sqrt 2 \sin 75^\circ \approx 41{\rm{ (m)}}.$

Vậy ngọn hải đăng cách bờ biển khoảng $41{\rm{ m}}.$

Trả lời

7

Để hai tập hợp $A$ và $B$ giao nhau khác rỗng $\Leftrightarrow m > \frac{4}{m}$

$\Leftrightarrow {m^2} > 4$(do$m > 0$) $\Rightarrow m > 2$. Vậy các giá trị nguyên của $m$ là: $3;4;...;9$.

Trả lời

0

,

6

Gọi $x,y$ lần lượt là số ki-lô-gam thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua trong một ngày với $0 \le x \le 1{,}6{,}0 \le y \le 1{,}1$.

Số đơn vị protein gia đình có là: $800x + 600y$.

Số đơn vị lipit gia đình có là: $200x + 400y$. Theo bài ra, ta có:

$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}0 \le x \le 1{,}6\\0 \le y \le 1{,}1\\800x + 600y \ge 900\\200x + 400y \ge 400\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}\begin{array}{l}0 \le x \le 1{,}6\\0 \le y \le 1{,}1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array}\end{array}} \right.} \right.\left( {IV} \right)$

Số tiền gia đình đã dùng để mua thịt bò và thịt lợn là:

$T = 200000{\rm{ }}x + 160000{\rm{ }}y$(đồng).

Bài toán đưa về tìm $x,y$ là nghiệm của hệ bất phương trình (IV) để $T = 200000x + 160000y$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV) là miền tứ giác $ABCD$ với $A(0{,}3;1{,}1),$$B(0{,}6;0{,}7),$$C(1{,}6;0{,}2)$, $D(1{,}6;1{,}1)$(hình)

Tính giá trị của $T$ tại các cặp số $(x;y)$ là tọa độ của các đỉnh tứ giác $ABCD$ rồi so sánh các giá trị đó, ta được $T$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 232000 đồng tại $x = 0{,}6;y = 0{,}7$

Vậy để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất thì gia đình đó cần mua thêm $0{,}6kg$ thịt bò và $0{,}7kg$thịt lợn

Trả lời

5

Số ngày có mưa hoặc nắng là $12 + 24 - 10 = 26$ ngày

Tháng 8 có 31 ngày. Do đó số ngày không có mưa và cũng không có nắng là $31 - 26 = 5$ ngày.

Gọi $A,B$ lần lượt là vị trí của người quan sát tại tầng trệt và sân thượng của tòa nhà.

$C,D$ lần lượt là đỉnh núi và chân núi.

Bài toán được mô phỏng lại như hình vẽ: $AB = 60m\,,\,\widehat {CAD} = 35^\circ \,,\,\widehat {CBE} = 15^\circ$. Tính độ dài $CD?$

Cách 1. Ta có

$\begin{array}{l}\widehat {CBA} = \widehat {CBE} + \widehat {EBA} = 105^\circ \\\widehat {BAC} = \widehat {BAD} - \widehat {CAD} = 55^\circ \\ \Rightarrow \widehat {BCA} = 180^\circ - (\widehat {CBA} + \widehat {BAC}) = 20^\circ \end{array}$

Áp dụng định lí hàm số sin vào tam giác $ABC$ ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{AC}}{{\sin \widehat {CBA}}} \Leftrightarrow AC = \frac{{AB.\sin \widehat {CBA}}}{{\sin \widehat {BCA}}} = \frac{{60.\sin 105^\circ }}{{\sin 20^\circ }} \Rightarrow AC \approx 169{,}451\,(m\,)$

Xét tam giác $ACD$ vuông tại $D$ ta có

$CD = AC.\sin \widehat {CAD} = AC.\sin 35^\circ \Rightarrow CD \approx 97{,}193\,(m\,)$

Cách 2. Đặt $AD = x$$\Rightarrow BE = x$

Xét tam giác $BCE$ vuông tại $E$ ta có

$CE = BE.\tan 15^\circ = x.\tan 15^\circ \Rightarrow CD = CE + ED = x.\tan 15^\circ + 60$

Xét tam giác $ACD$ vuông tại $D$ ta có

$\begin{array}{l}CD = AD.\tan 35^\circ \\ \Leftrightarrow x.\tan 15^\circ + 60 = x.\tan 35^\circ \\ \Leftrightarrow x.(\tan 35^\circ - \tan 15^\circ ) = 60\\ \Leftrightarrow x = \frac{{60}}{{\tan 35^\circ - \tan 15^\circ }}\\ \Leftrightarrow x \approx 138{,}806\,(m\,)\end{array}$

Do đó $CD \approx 97{,}193\,(m\,)$.

Gọi $x$, $y$ lần lượt là số loại nước A và nước B mà đội chơi cần pha chế.

Vì mỗi đội chơi được sử dụng tối đa $15$ gam hương liệu hòa tan nên ta có $0{,}6x + 1{,}5y \le 15$.

Mỗi đội chơi được sử dụng tối đa $10$ lít nước nên ta có $x + y \le 10$.

Mỗi đội được sử dụng tối đa $450$ gam đường nên ta có bất phương trình $50x + 20y \le 450$.

Từ đó ta có $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{0{,}6x + 1{,}5y \le 15}\\{x + y \le 10}\\{50x + 20y \le 450}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x + 7{,}5y \le 75}\\{x + y \le 10}\\{5x + 2y \le 45.}\end{array}} \right.(1)$

Số điểm thưởng là $f(x;y) = 70x + 90y$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $(1)$ là ngũ giác $OABCD$ với $A(0;7)$; $O(0;0)$; $B(4;6)$, $C(6;4)$, $D(8;0)$.

Vì giá trị lớn nhất của $f(x;y) = 70x + 90y$ đạt được tại đỉnh của miền nghiệm.

Ta có $f(0;0) = 0$, $f(0;7) = 630$, $f(4;6) = 600$, $f(6;4) = 580$, $f(8;0) = 560$.

Suy ra $f(x;y)$ đạt giá trị lớn nhất tại $A(0;7)$.

Vậy để đạt số điểm thưởng lớn nhất đội chơi cần pha chế $7$ lít nước.