Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: B

Câu (1) và (4) là các câu khẳng định có tính đúng sai, nên đây là mệnh đề.

Câu (2) phụ thuộc vào biến $x$ nên không xác định tính đúng sai, câu (3) không khẳng định tính đúng sai. Do đó, câu (2), câu (3) không phải mệnh đề.

Vậy trong các câu đã cho, có 2 câu là mệnh đề.

Đáp án đúng là: C

Phủ định của mệnh đề “$\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x > 1$” là mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \le 1$”.

Đáp án đúng là: A

Phần không bị gạch trong hình vẽ đã cho mô tả tập hợp $\left[ { - 8;\,\,4} \right)$.

Đáp án đúng là: B

8 là số nguyên nên $8 \in \mathbb{Z}$, do đó đáp án A đúng.

$\sqrt 7 \approx 2{,}645751311...$ là số vô tỉ nên $\sqrt 7 \notin \mathbb{Q}$, do đó đáp án B sai.

0,567894 là số thực nên $0{,}567894 \in \mathbb{R}$, do đó đáp án C đúng.

$\sqrt {16} = 4$ là số tự nhiên nên $\sqrt {16} \in \mathbb{N}$, do đó đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 2 \le x < 9} \right\} = \left[ { - 2;\,\,9} \right)$.

$A \cap B = \left[ { - 2;\,\,9} \right) \cap \left( {2;\,\, + \infty } \right) = \left( {2;\,\,9} \right)$.

Suy ra ${C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( {2;\,\,9} \right) = \left( { - \infty ;\,2} \right] \cup \left[ {9;\,\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là: B

Số tiền để mua $x$ cốc trà sữa trân châu đường đen và $y$ cái bánh pizza là $40\,\,000x + 139\,\,000y$.

Vì Hằng không mua hết số tiền ban đầu là 1 triệu đồng nên ta có

$40\,\,000x + 139\,\,000y \le 1\,\,000\,\,000$ hay $40x + 139y \le 1\,000$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 11 > 10$.

Vậy điểm $\left( {1;\,\,2} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình $3x + 4y \ge 10$.

Đáp án đúng là: A

Hệ $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > 15\\x - 3y < 3\end{array} \right.$ gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn nên đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Đáp án đúng là: B

Để xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$ , ta xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ.

+) Miền nghiệm của bất phương trình $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng có bờ là trục $Oy$ chứa điểm $\left( {1;\,\,1} \right)$ (kể cả bờ).

+) Miền nghiệm của bất phương trình $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng có bờ là trục $Ox$ chứa điểm $\left( {1;\,\,1} \right)$ (kể cả bờ).

+) Miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $x + y = 4$ chứa điểm $\left( {0;\,\,0} \right)$ (kể cả bờ).

Giao của các miền nghiệm trên là miền tam giác $OAB$ với $O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {0;\,4} \right),\,\,B\left( {4;\,\,0} \right)$.

Vậy miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 4\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$ là miền tam giác.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2},\,\cos 120^\circ = - \cos 60^\circ = - \frac{1}{2}$, $\tan 120^\circ = - \tan 60^\circ = - \sqrt 3$,

$\cot 120^\circ = - \cot 60^\circ = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos 60^\circ = {b^2} + {c^2} - bc$

Suy ra $a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - bc}$.

Đáp án đúng là: B

Diện tích mảnh đất hình tam giác là

$S = \frac{1}{2}AB \cdot AC \cdot \sin \widehat {BAC} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 20 \cdot \sin 150^\circ = 100 \cdot \frac{1}{2} = 50$ (m$^{2}$).2

Đáp án đúng là: B

Các vectơ thỏa mãn là: $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {BA}$. Có hai vectơ thỏa mãn.

Đáp án đúng là: B

Độ dài vectơ $\overrightarrow {MN}$ là độ dài của đoạn thẳng $MN$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {FA} - \overrightarrow {CB} - \overrightarrow {FE} + \overrightarrow {DE}$

$= \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {CB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DE} } \right) + \left( {\overrightarrow {FA} - \overrightarrow {FE} } \right)$

$= \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA}$

$= \overrightarrow {AC} + \left( {\overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right) = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$.

Đáp án đúng là: C

Vì $M,\,\,N,\,\,P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,\,\,AC,\,\,BC$ nên từ định lí đường trung bình trong tam giác ta suy ra được $MP\,\,{\rm{//}} = \,AN$, do đó $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {AN}$.

Ta có: $\overrightarrow {MP} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {NP} = \overrightarrow {AP}$.

Đáp án đúng là: C

Với vectơ $\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0$ và số thực $k \ne 0$, ta có:

+) $k\overrightarrow a$ là một vectơ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$ nếu $k > 0$;

+) $k\overrightarrow a$ là một vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow a$ nếu $k < 0$;

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow a$ và $k\overrightarrow a$ luôn cùng phương.

Vậy với $k = 6$ thì “$\overrightarrow a$ và $6\overrightarrow a$ cùng hướng” nên khẳng định C sai.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {IB} + 5\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} } \right) + 5\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow 0$

$\Leftrightarrow 6\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {AC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow - 6\overrightarrow {IA} = \overrightarrow {AB} + 5\overrightarrow {AC}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AI} = \frac{1}{6}\overrightarrow {AB} + \frac{5}{6}\overrightarrow {AC}$.

Đáp án đúng là: C

Vì $\left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) < 90^\circ$ nên $\cos \left( {\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b } \right) > 0$.

Ta có: $\left| {\overrightarrow a } \right| > 0,\,\,\left| {\overrightarrow b } \right| > 0$ (do hai vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b$ đều khác vectơ $\overrightarrow 0$).

Do đó, $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b } \right) > 0$.

Đáp án đúng là: A

Vì $E$ là điểm đối xứng của $D$ qua $C$ nên $C$ là trung điểm của $DE$, do đó $DE = 2DC = 2 \cdot 3 = 6$.

Ta có: $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {AB}$

Do $AB \bot AD$ nên $\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} = 0$.

Hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DE}$ cùng hướng nên $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {DE} } \right) = 0^\circ$.

Do đó, $\overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {AB} = \left| {\overrightarrow {DE} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {DE} } \right) = DE \cdot AB \cdot \cos 0^\circ = 6 \cdot 3 \cdot 1 = 18$.

Vậy $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 + 18 = 18$.

Để $A \cap B \ne \emptyset$ thì điều kiện là $\left\{ \begin{array}{l}m - 1 < \frac{{m + 3}}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m - 1 < - 3\\\frac{{m + 3}}{2} \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 5\\\left[ \begin{array}{l}m < - 2\\m \ge 3\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;\,\, - 2} \right) \cup \left[ {3;\,\,5} \right)$.

Vì $m$ nguyên dương nên $m \in \left\{ {3;\,\,4} \right\}$.

Gọi $x,\,y$ lần lượt là số block công ty đó thuê quảng cáo trên đài phát thanh và trên đài truyền hình.

Chi phí công ty cần bỏ ra là $10x + 25y$ (triệu đồng). Mức chi này không vượt quá chi phí công ty đặt ra nên $10x + 25y \le 500$ hay $2x + 5y \le 100$.

Do các điều kiện đài phát thanh và đài truyền hình đưa ra nên ta có $x \ge 5;\,y \ge 10$.

Hiệu quả quảng cáo (phần trăm tăng tưởng sản phẩm do quảng cáo) là $F\left( {x;\,\,y} \right) = 0{,}02x + 0{,}04y$.

Bài toán trở thành: Xác định $x,\,\,y$ sao cho $F\left( {x;\,\,y} \right)$ đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y \le 100\\x \ge 5\\y \ge 10\end{array} \right.$ (*).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ta được:

Miền nghiệm của hệ (*) là miền tam giác $ABC$ với $A\left( {5;\,\,18} \right),\,\,B\left( {25;\,\,10} \right),\,\,C\left( {5;\,\,10} \right)$.

Ta có: $F\left( {5;\,\,18} \right) = 0{,}02 \cdot 5 + 0{,}04 \cdot 18 = 0{,}82$;

$F\left( {25;\,\,10} \right) = 0{,}02 \cdot 25 + 0{,}04 \cdot 10 = 0{,}9$;

$F\left( {5;\,\,10} \right) = 0{,}02 \cdot 5 + 0{,}04 \cdot 10 = 0{,}5$.

Do đó, giá trị lớn nhất của $F\left( {x;\,\,y} \right)$ bằng 0,9 tại $\left( {x;\,y} \right) = \left( {25;\,\,10} \right)$.

Vậy để đạt hiệu quả cao nhất thì công ty đó cần quảng cáo 25 block trên đài phát thanh và 10 block trên đài truyền hình.

Ta có: ${A_1}{D_1} = AD = 10\,\,{\rm{m}}$, $\widehat {{D_1}C{A_1}} = \widehat {C{A_1}{B_1}} - \widehat {C{D_1}{A_1}} = 40^\circ - 35^\circ = 5^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho $\Delta C{D_1}{A_1}$, ta có: $\frac{{{A_1}C}}{{\sin \widehat {C{D_1}{A_1}}}} = \frac{{{A_1}{D_1}}}{{\sin \widehat {{D_1}C{A_1}}}}$.

Suy ra ${A_1}C = \frac{{{A_1}{D_1}\sin \widehat {C{D_1}{A_1}}}}{{\sin \widehat {{D_1}C{A_1}}}} = \frac{{10 \cdot \sin 35^\circ }}{{\sin 5^\circ }} \approx 65{,}81$.

Xét tam giác ${A_1}{B_1}C$ vuông tại ${B_1}$, ta có

Ta có: $B{B_1} = A{A_1} = D{D_1} = 1{,}2$ m.

Do đó, $BC = B{B_1} + {B_1}C \approx 1{,}2 + 42{,}30 \approx 43{,}50$ (m)

Vậy chiều cao của tòa nhà xấp xỉ bằng 43,50 mét.

Do $M$ là trung điểm của cạnh $BC$ nên ta có:

$\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {CH} } \right) \cdot \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CA} } \right)$ $= \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)$

Vì $H$ là trực tâm của $\Delta ABC,$ nên $BH \bot CA{\rm{ }},{\rm{ }}CH \bot BA$ $\Rightarrow \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {CA} = 0,{\rm{ }}\overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BA} = 0$.

Do đó, $\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {CA} } \right)$

$$= \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {BH} \cdot \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right) + \overrightarrow {CH} \cdot \left( {\overrightarrow {BA} - \overrightarrow {BC} } \right)} \right] = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {BC} } \right)$$

$= \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} - \overrightarrow {CH} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \left( {\overrightarrow {BH} + \overrightarrow {HC} } \right) = \frac{1}{4} \cdot \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{4}{\overrightarrow {BC} ^2} = \frac{1}{4}B{C^2}$.

Vậy $\overrightarrow {MH} \cdot \overrightarrow {MA} = \frac{1}{4}B{C^2}$.