Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 8

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề kéo theo $P \Rightarrow Q$ sai khi và chỉ khi $P$ đúng và $Q$ sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề đã cho được viết dưới dạng kí hiệu là: $\forall a,b \in \mathbb{R},a < b,\forall r \in \mathbb{Q}:a < r < b$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phủ định của mệnh đề “Mọi học sinh của lớp 10A đều thích học môn Toán” là “Có một học sinh trong lớp 10A không thích học môn Toán”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét phương trình:

${x^3} - 8{x^2} + 15x = 0 \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 8x + 15} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 8x + 15 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 3\\x = 5\end{array} \right.$

Mà $x \in {\mathbb{N}^*}$ nên $A = \left\{ {3;\,\,5} \right\}$.

Vì vậy tập $A$ có hai phần tử.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Ta có: $3 \in \left( {0;\,\,3} \right]$ nhưng $3 \notin \left( { - 1;\,3} \right)$nên $\left( {0;\,\,3} \right] \not\subset \left( { - 1;\,3} \right)$. Do đó A sai.

+) Ta có: $\sqrt 2 \in \left( { - 1;2} \right)$ mà $\sqrt 2 \notin \mathbb{Q}$ nên $\left( { - 1;2} \right) \not\subset \mathbb{Q}$. Do đó B sai.

+) Ta có: $\frac{3}{4} \in \left( { - 1;\,\,4} \right) \cup \left[ {5;\,\,6} \right]$ mà $\frac{3}{4} \notin \mathbb{Z}$. Do đó C sai.

+) Ta có: $\frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ nên $\left\{ {\frac{1}{2}} \right\} \subset \mathbb{Q}$. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập $\left( {A \cap B} \right)\backslash C$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số học sinh của lớp 10A là: $26 + 30 - 15 = 41$ (học sinh).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay $x = 1$ và $y = - 1$ vào bất phương trình $\left( {3m + 2} \right)x - \left( {m - 1} \right)y < 2$, ta được:

$\left( {3m + 2} \right).1 - \left( {m - 1} \right).\left( { - 1} \right) < 2$

$\Leftrightarrow 3m + 2 + m - 1 < 2$

$\Leftrightarrow 4m < 1$

$\Leftrightarrow m < \frac{1}{4}$

Vậy với $m < \frac{1}{4}$ thì cặp $\left( {1;\,\, - 1} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi số tiền anh Trung đầu tư cho khoản $X$là $x$ (triệu đồng), số tiền đầu tư cho khoản $Y$ là $y$ (triệu đồng) $\left( {x,y \ge 0} \right)$.

Vì số tiền đầu tư cho khoản $X$ phải ít nhất là $100$ triệu đồng nên ta có bất phương trình: $x \ge 100$.

Số tiền đầu tư cho khoản $Y$ không nhỏ hơn số tiền đầu tư cho khoản $X$ nên $y \ge x$ hay $x - y \le 0$.

Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 100\\x - y \le 0\\y \ge 0\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $x - {12^2}y > 7 \Leftrightarrow x - 144y > 7$ có dạng của bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: (I), (II), (III).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dựa vào hình vẽ ta thấy chỉ có điểm $\left( {5;0} \right)$ thuộc vào miền nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Gọi đường thẳng ${d_1}$ có dạng $y = ax + b\left( 1 \right)$

Đường thẳng này đi qua hai điểm $\left( {0;\,\,2} \right)$ và $\left( { - 2;\,\,0} \right)$

Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào $\left( 1 \right)$ ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.\left( { - 2} \right) + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow {d_1}:y = x + 2$ hay ${d_1}:x - y = - 2$

Lấy $O\left( {0;\,\,0} \right)$ có $0 - 0 = 0 > - 2$ là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm không kể đường thẳng ${d_1}$ nên ta có bất phương trình $x - y < - 2$.

+) Gọi đường thẳng ${d_2}$ có dạng $y = a'x + b'\left( 2 \right)$

Đường thẳng này đi qua hai điểm $\left( {0;\,\,2} \right)$ và $\left( {10;\,\,0} \right)$

Thay lần lượt tọa độ hai điểm này vào $\left( 2 \right)$ ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2 = a.0 + b\\0 = a.10 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{5}\\b = 2\end{array} \right.$

$\Rightarrow {d_2}:y = - \frac{1}{5}x + 2$ hay ${d_2}:x + 5y = 10$

Lấy $O\left( {0;\,\,0} \right)$ có $0 + 5.0 = 0 < 2$ là điểm không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho và miền nghiệm kể cả đường thẳng ${d_2}$ nên ta có bất phương trình $x + 5y \ge 10$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Từ đồ thị hàm số ta có

Trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$, đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$.

Trên khoảng $\left( {0;2} \right)$, đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải nên hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( {0;2} \right)$.

Trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$, đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

Vậy khẳng định C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để hàm số $y = \left( {2m - 3} \right)x + m + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ thì $2m - 3 > 0 \Leftrightarrow m > \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\x + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\\sqrt {x - 1} \ne - x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x - 1 \ne {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - x + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 1$.

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ {1; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Parabol $\left( P \right):{\rm{ }}y = - 2{x^2} - 6x + 3$có hoành độ đỉnh là $x = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 6}}{{2.( - 2)}} = - \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trục đối xứng của hàm số bậc hai là $x = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB}$$\Rightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$.

Vậy $\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\tan \alpha = 2$ nên ${\rm{cos}}\alpha \ne 0$

Chia cả tử và mẫu của $\cos \alpha$ ta được:

$P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha - 2}}{{2 + 3\tan \alpha }} = \frac{{2.2 - 2}}{{2 + 3.2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\alpha = - \beta$ thì ${\rm{cos}}\alpha = {\rm{cos}}\beta$. Do đó B đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)$

$= \sin A.\sin \left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right] - \cos A.cos\left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right]$

$= \sin A.\sin A - \cos A.\left( { - \cos A} \right)$

$= {\sin ^2}A + {\cos ^2}A$

$= 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$:

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta được:

$R = \frac{{BC}}{{2\sin \widehat {BAC}}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{{2\sin 150^\circ }} = \sqrt 2 a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3$ (đvdt).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $S = pr$

Mà $p$ là nửa chu vi của tam giác $ABC$ nên $p = \frac{{a + b + c}}{2}$

Khi đó: $S = \frac{{a + b + c}}{2}r \Leftrightarrow r = \frac{{2S}}{{a + b + c}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh và các góc còn lại của tam giác khi ta biết được các yếu tố đủ để xác định tam giác đó.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$, suy ra $\widehat A = 180^\circ - \left( {56^\circ + 70^\circ } \right) = 54^\circ$.

Theo định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AC}}{{\sin B}}$.

Suy ra $AC = \frac{{BC\sin B}}{{\sin A}} = \frac{{16 \cdot \sin 56^\circ }}{{\sin 54^\circ }} \approx 16{,}4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ cùng phương thì có giá song song hoặc trùng nhau. Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. Vậy đáp án đúng là đáp án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đại lượng lực là đại lượng có hướng bao gồm cả độ lớn và hướng nên lực cần được biểu diễn bởi vectơ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$, $\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DC} = \overrightarrow {DB}$, do đó đáp án A và đáp án B đúng.

Lại có: $AB\,{\rm{//}} = DC$, do đó hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DC}$ cùng hướng và cùng độ dài nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$Vậy đáp án D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} - \overrightarrow {FE} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {EF} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD$.

Do $ABCD$ nên tam giác $ABD$ vuông tại $A$, từ định lí Pythagore ta suy ra

$BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt {10}$.

Vậy $\left| {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} } \right| = a\sqrt {10}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với vectơ $\overrightarrow a$ khác $\overrightarrow 0$ và một số thực $k \ne 0$, ta có hai vectơ $\overrightarrow a ,\,\,k\overrightarrow a$ luôn cùng phương với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $MN\,\,{\rm{//}}\,\,PQ$ nên hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {PQ}$ cùng phương.

Lại có vectơ $\overrightarrow {MN}$ có hướng đi từ trái sang phải, còn vectơ $\overrightarrow {PQ}$ có hướng đi từ phải sang trái. Do đó, hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {PQ}$ ngược hướng. Mà $MN = 2PQ$.

Vậy $\overrightarrow {MN} = - 2\overrightarrow {PQ}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ hình vẽ ta thấy đoạn thẳng $MN$ được chia thành 6 phần bằng nhau và điểm $P$ thuộc đoạn $MN$ và $MP$ chiếm 2 phần hay $MP = \frac{2}{6}MN = \frac{1}{3}MN$ và $NP = \frac{4}{6}MN = \frac{2}{3}MN$, $MP = \frac{2}{4}NP = \frac{1}{2}NP$.

Hai vectơ $\overrightarrow {MP}$ và $\overrightarrow {NP}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {MP} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {NP}$.

Hai vectơ $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {PM}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {MN} = - 3\overrightarrow {PM}$.

Vậy đáp án B đúng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $A = \left[ { - 9;\,\,5} \right)$

$\Rightarrow {C_\mathbb{R}}A = \left( { - \infty ;\,\, - 9} \right) \cup \left[ {5;\, + \infty } \right)$

Xét $x + 2 < 4 \Leftrightarrow x < 2$

$\Rightarrow B = \left( { - \infty ;2} \right)$.

Vì vậy $\left( {{C_\mathbb{R}}A} \right)\backslash B = \left[ {5;\,\, + \infty } \right)$.

b)

Qua điểm $I$ dựng các đoạn $MQ\parallel AB,PS\parallel BC,NR\parallel CA$.

Vì $ABC$ là tam giác đều nên các tam giác $IMN,IPQ,IRS$ cũng là tam giác đều.

Suy ra $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $MN,PQ,RS$.

Khi đó: $\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IP} + \overrightarrow {IQ} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IR} + \overrightarrow {IS} } \right)$$= \frac{1}{2}\left[ {\left( {\overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {IR} } \right) + \left( {\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IS} } \right) + \left( {\overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} } \right)} \right] = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)$

$= \frac{1}{2}.3\overrightarrow {IO} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO}$.

Vậy $\overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IE} + \overrightarrow {IF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {IO}$.

Gọi $x$ là số bàn và $y$ là số ghế anh An đóng được trong một tuần $\left( {x;y\,\, \ge 0} \right)$.

Số giờ đề đóng $x$ chiếc bàn và $y$ chiếc ghế là: $6x + 3y$ (giờ).

Mỗi tuần anh làm việc không quá $60$ giờ nên ta có bất phương trình: $6x + 3y \le 60$ (1).

Vì số ghế nhiều hơn số bàn ít nhất $2$ lần nên ta có: $y \ge 2x$(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\6x + 3y \le 60\\y \ge 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\2x + y \le 20\\ - 2x + y \ge 0\end{array} \right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tam giác $OAB$ với $O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {5;\,\,10} \right),\,\,B\left( {0;20} \right)$.

Số tiền lãi thu được: $F\left( {x;\,\,y} \right) = 150x + 100y$ (nghìn đồng).

Ta có:

Tại $O\left( {0;\,\,0} \right)$ có $F\left( {0;\,\,0} \right) = 150.0 + 100.0 = 0$;

Tại $A\left( {5;\,\,10} \right)$ có $F\left( {5;\,\,10} \right) = 150.5 + 100.10 = 1\,\,750$;

Tại $B\left( {0;20} \right)$ có $F\left( {0;\,\,20} \right) = 150.0 + 100.20 = 2\,\,000$.

Vậy một tuần anh An phải đóng được $0$ chiếc bàn và $20$chiếc ghế để tiền lãi thu được là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ:

Quãng đường di chuyển của tàu từ $A$ đến vị trí $B$ (động cơ tàu bị hỏng) sau $1{,}5$ giờ với vận tốc $60km/h$ là: $60\,.\,1{,}5\, = \,90\,\,\left( {km} \right)$.

Quãng đường di chuyển của tàu từ $B$ đến vị trí $C$ (nơi neo đậu) sau $3$ giờ với vận tốc $6\,\,km/h$ là: $6\,.\,3\, = \,18\,\,\left( {km} \right)$.

Ta có: $\widehat {ABC} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Xét tam giác $ABC$, có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}$ (định lí cosin)

$= {90^2} + {18^2} - 2.90.18.{\rm{cos120}}^\circ$

$= 10\,\,044$

$\Leftrightarrow AC = 18\sqrt {31} \approx 100\,\,\left( {km} \right)$.

Vậy khoảng cách từ cảng $A$ tới đảo nơi tàu neo đậu là khoảng $100\,\,km$.