Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 7

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề đảo của mệnh đề đã cho là:

$Q \Rightarrow P$: “Nếu a chia hết cho 4 thì a chia hết cho 2”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mệnh đề phủ định của mệnh đề $A$ là $\overline A :$ “Có ít nhất một số thập phân không phải là số hữu tỉ”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề “$\exists x \in \mathbb{R},{x^2} + 1 = 0$” được phát biểu là: “Tồn tại một số thực mà bình phương của nó cộng với 1 bằng 0”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Xét $x + 2022 \le 2021 + 2x \Leftrightarrow x \ge 1$

$\Rightarrow A = \left[ {1; + \infty } \right)$

+) Xét $3x - 6 \le 2x - 1 \Leftrightarrow x \le 5$

$\Rightarrow B = \left( { - \infty ;5} \right]$

Ta có:

$\Rightarrow A \cap B = \left[ {1;\,\,5} \right]$

Các số tự nhiên thuộc cả hai tập $A$ và $B$ chính là các số tự nhiên thuộc tập $A \cap B$ là: $1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5$.

Vì vậy có 5 số thuộc cả hai tập $A$ và $B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Xét cặp số $\left( { - 2;\,\,2} \right)$:

Thay $x = - 2$ và $y = 2$ vào bất phương trình $x - 2y + 5 > 0$, ta được:

$\left( { - 2} \right) - 2.2 + 5 > 0 \Leftrightarrow - 1 > 0$ là mệnh đề sai nên $\left( { - 2;\,\,2} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình. Do đó $\left( { - 2;\,2} \right) \notin S$.

+) Xét cặp số $\left( {2;\,\,2} \right)$:

Thay $x = 2$ và $y = 2$ vào bất phương trình $x - 2y + 5 > 0$, ta được:

$2 - 2.2 + 5 > 0 \Leftrightarrow 3 > 0$ là mệnh đề đúng nên $\left( {2;\,\,2} \right)$ là nghiệm của bất phương trình. Do đó $\left( {2;\,2} \right) \in S$.

+) Xét cặp số $\left( { - 2;\,\,4} \right)$:

Thay $x = - 2$ và $y = 4$ vào bất phương trình $x - 2y + 5 > 0$, ta được:

$\left( { - 2} \right) - 2.4 + 5 > 0 \Leftrightarrow - 5 > 0$ là mệnh đề sai nên $\left( { - 2;\,\,4} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình. Do đó $\left( { - 2;\,\,4} \right) \notin S$.

+) Xét cặp số $\left( {1;\,\,3} \right)$:

Thay $x = 1$ và $y = 3$ vào bất phương trình $x - 2y + 5 > 0$, ta được:

$1 - 2.3 + 5 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0$ là mệnh đề sai nên $\left( {1;\,\,3} \right)$ không là nghiệm của bất phương trình. Do đó $\left( {1;\,\,3} \right) \notin S$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi $a,\,\,b,\,\,c$ theo thứ tự là số học sinh chỉ thích môn Văn, môn Sử, môn Toán $\left( {a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{N}} \right)$

Gọi $x$ là số học sinh chỉ thích hai môn Toán và Văn.

$y$ là số học sinh chỉ thích hai môn Toán và Sử.

$z$ là số học sinh chỉ thích hai môn Văn và Sử.

Khi đó ta có sơ đồ Venn:

Tổng số học sinh thích môn Văn là: $a + x + y + 5 = 25$ (1).

Tổng số học sinh thích môn Toán là: $b + x + z + 5 = 20$ (2).

Tổng số học sinh thích môn Sử là: $c + y + z + 5 = 18$ (3).

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta được:

$a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) + 15 = 63$

$\Leftrightarrow a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) = 48$

Số học sinh thích ít nhất một trong ba môn Toán, Văn, Sử là: 45 – 6 = 39.

Khi đó ta có: $a + b + c + x + y + z + 5 = 39 \Leftrightarrow a + b + c + x + y + z = 34$

Mà $a + b + c + 2\left( {x + y + z} \right) = 48$

Nên $a + b + c = 20$.

Vậy có $20$ học sinh thích chỉ một môn trong ba môn trên.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phần không tô màu trong hình biểu diễn tập ${C_D}\left( {A \cup B} \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $4 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 12 - 4 = 8 > 1$, vậy cặp số $\left( {3;\,\,2} \right)$ là nghiệm của bất phương trình $4x - 2x > 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có gọi đường thẳng biên có dạng: $d:y = ax + b$

Đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $\left( { - 4{,}5;\,0} \right)$ và $\left( {0; - 3} \right)$, khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình $d$ ta được hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}0 = - 4{,}5a + b\\ - 3 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{2}{3}\\b = - 3\end{array} \right.$$

$\Rightarrow d:y = - \frac{2}{3}x - 3$ hay $d:2x + 3y = - 9$

Lấy điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ có $2.0 + 3.0 = 0 > - 9$ và điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình (không kể đường thẳng) nên ta có bất phương trình cần tìm là: $2x + 3y > - 9$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình có dạng $ax + by \ge c,\,\,ax + by > c,\,\,ax + by \le c,\,\,ax + by < c$ nên chỉ có bất phương trình $2x + 3y < 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào hệ bất phương trình ta được:

$\left\{ \begin{array}{l}m.1 - 2.1 \le 5\\\left( {m - 1} \right).1 \ge 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 7\\m \ge 4\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left[ {4;7} \right]$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Gọi đường thẳng ${d_1}:y = ax + b$

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua hai điểm $\left( { - 4;\,0} \right)$ và $\left( {0;2} \right)$, khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình ${d_1}$ ta được hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}0 = - 4a + b\\2 = 0.a + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 2\end{array} \right.$$

$\Rightarrow {d_1}:y = \frac{1}{2}x + 2$ hay ${d_1}:x - 2y = - 4$

Lấy điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ có $1 - 2.0 = 1 > - 4$ và điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình (không kể đường thẳng ${d_1}$) nên ta có bất phương trình cần tìm là: $x - 2y > - 4$.

+) Gọi đường thẳng ${d_2}:y = a'x + b'$

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua hai điểm $\left( {0;\,0} \right)$ và $\left( {1;2} \right)$, khi đó thay lần lượt các cặp số vào phương trình ${d_2}$ ta được hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}0 = 0.a' + b'\\2 = 1.a' + b'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a' = 2\\b' = 0\end{array} \right.$$

$\Rightarrow {d_2}:y = 2x$ hay ${d_1}:2x - y = 0$

Lấy điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ có $2.1 - 0 = 2 > 0$ và điểm $M\left( {1;\,\,0} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình (kể cả đường thẳng ${d_2}$) nên ta có bất phương trình cần tìm là: $2x \ge y$.

Từ đó ta có hệ bất phương trình cần tìm là: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y > - 4\\2x \ge y\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số tiền mà bạn Hằng kiếm được sau $x$ giờ làm gia sư và $y$ giờ làm nhân viên thu ngân là $12\,000x + 9\,500y$ (won).

Theo bài ra ta có cặp số $\left( {x;\,y} \right)$ phải thỏa mãn hệ bất phương trình sau: $\left\{ \begin{array}{l}12\,\,000x + 9\,\,500y \ge 220\,\,000\\x + y \le 20\\x \ge 0;\,y \ge 0\end{array} \right.$.

Thay lần lượt từng cặp số ở các đáp án, ta thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

$\left( {12\,000 \cdot 12 + 9\,500 \cdot 8 = 220\,\,000\,\,;\,\,12 + 8 = 20} \right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với $x = - 1$ thì $y = \sqrt {{x^2} - 3x} = \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} - 3.\left( { - 1} \right)} = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số xác định khi $\left\{ \begin{array}{l}6 - x \ge 0\\x - 1 \ge 0\\1 + \sqrt {x - 1} \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le 6\\x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x \le 6$

Vậy tập xác định của hàm số là $D = \left[ {1;\,6} \right]$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có điểm đỉnh của hàm số là$x = - \frac{0}{{2.1}} = 0$.

Hàm số có $a = 2 > 0$ nên đồng biến trên khoảng $\left( {0; + \infty } \right)$ hay hàm số đồng biến trên $\left( {0;4} \right)$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = 2{x^2} - 9$ là hàm số bậc hai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tọa độ đỉnh $I$: ${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 4}}{{2.1}} = 2,{y_I} = {2^2} - 4.2 + 5 = 1$.

Vì hệ số $a > 0$ nên hàm số có bề lõm quay lên trên, hàm số có giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $I\left( {2;\,1} \right)$. Vậy nên ${y_{\min }} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hai góc bù nhau có sin bằng nhau; côsin, tang, côtang đối nhau.

Do đó, $\sin \alpha = \sin \beta$, $\cos \alpha = - \cos \beta$, $\tan \alpha = - \tan \beta$, $\cot \alpha = - \cot \beta$. Vậy đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

$\sin 0^\circ + {\rm{cos}}0^\circ = 0 + 1 = 1$. Do đó A đúng.

${\sin ^2}30^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}60^\circ = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2} \ne 1$. Do đó B sai.

$\sin 90^\circ + {\rm{cos9}}0^\circ = 1 + 0 = 1$. Do đó C đúng.

${\sin ^2}120^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}120^\circ = 1$. Do đó D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${\sin ^2}\alpha + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1$

$\Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$\Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $AHB$ vuông tại $H$, có:

$A{B^2} = A{H^2} + H{B^2} = {1^2} + {6^2} = 37$

$\Leftrightarrow AB = \sqrt {37} \,\,cm$

$\tan ABH = \frac{{AH}}{{BH}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \widehat {ABH} \approx 9{,}5^\circ$.

$\Rightarrow \widehat {ABC} = 90^\circ - 9{,}5^\circ = 80{,}5^\circ$

$\Rightarrow \widehat {ACB} = 180^\circ - 80{,}5^\circ - 44^\circ = 55{,}5^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, có:

$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin \widehat {BAC}}}{{\sin \widehat {ACB}}} = \frac{{\sqrt {37} .\sin 44^\circ }}{{\sin 55{,}5^\circ }} \approx 5{,}1\,\,\left( m \right).$

Vậy chiều cao của cây đèn đường khoảng $5{,}1\,\,m$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta được:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

$\Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}};\sin B = \,\,\frac{b}{{2R}};\,\,\sin C = \,\,\frac{c}{{2R}}.$

$\Rightarrow \frac{{{a^2}}}{{4{R^2}}} = \frac{b}{{2R}}.\frac{c}{{2R}}$

$\Leftrightarrow {a^2} = b.c$

Áp dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác $ABC$, ta được:

$${\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2.b.c}} = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}}$$

Áp dụng bất đẳng thức cô – si cho hai số dương ${b^2} + {c^2}$ ta được:

${b^2} + {c^2} \ge 2bc$

Khi đó: ${\rm{cos}}A = \frac{{{b^2} + {c^2} - bc}}{{2.b.c}} \ge \frac{{2bc - bc}}{{2bc}} = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có: $\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Từ đó suy ra $\frac{a}{{\sin A}} = 2R$, $\sin A = \frac{a}{{2R}}$, $\sin C = \frac{{c\sin A}}{a}$. Do đó các công thức ở các đáp án A, B, D đúng và đáp án C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$, có:

$\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \Rightarrow \widehat C = 180^\circ - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - \left( {75^\circ + 60^\circ } \right) = 45^\circ$(định lí tổng ba góc trong tam giác)

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta được:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow BC = \frac{{AB.\sin A}}{{\sin C}} = \frac{{2.\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 1 + \sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)$.

Diện tích tam giác $ABC$ bằng:

$S = \frac{1}{2}AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 60^\circ = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} \approx 2{,}37\,\,\left( {c{m^2}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giả sử ta có $AB = AC = a$, do tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ nên $BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là $R = \frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là $p = \frac{{AB + AC + BC}}{2} = \frac{{a + a + a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}$.

Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \frac{1}{2}AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{{{a^2}}}{2}$.

Lại có $S = pr$ với $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

Suy ra $r = \frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{\frac{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)a}}{2}}} = \frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}$. Vậy $\frac{R}{r} = \frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{a}{{2 + \sqrt 2 }}}} = 1 + \sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét từng đáp án, ta có:

+) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BD} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OD} } \right) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0$ (không thỏa mãn).

+) $\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0$ (thỏa mãn vì $O$ là trung điểm của $AC$).

+) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AA} = \overrightarrow 0$ (thỏa mãn).

+) $\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0$$\Leftrightarrow \overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow 0$ (thỏa mãn).

Vậy đáp án A sai và các đáp án B, C, D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ được gọi là đối nhau khi chúng ngược hướng và độ dài của chúng bằng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}}$ cùng tác động vào một vật tại một điểm làm vật đứng yên nên ta có $\overrightarrow {{F_1}} + \,\,\overrightarrow {{F_2}} + \,\,\overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = - \overrightarrow {{F_1}}$.

Mà $\overrightarrow {{F_4}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}}$. Vậy $\overrightarrow {{F_4}} = - \overrightarrow {{F_1}}$ hay $\overrightarrow {{F_1}} = - \overrightarrow {{F_4}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $ABD$, có: $AB = AD = a$ nên $ABD$ cân tại $A$

Mà $\widehat {BAD} = 60^\circ$ suy ra tam giác $ABD$ đều

Khi đó $AO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Ta có: $\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {CA}$

$\Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OC} } \right| = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| = CA = 2.AO = 2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $AM = \frac{1}{4}AB$ và hai vectơ $\overrightarrow {AM} ,\,\,\overrightarrow {AB}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {AB}$, do đó đáp án B đúng.

Ta có: $MA = \frac{1}{3}MB$ và hai vectơ $\overrightarrow {MA} ,\,\,\overrightarrow {MB}$ ngược hướng nên $\overrightarrow {MA} = - \frac{1}{3}\overrightarrow {MB}$ hay $\overrightarrow {MB} = - 3\overrightarrow {MA}$, do đó đáp án A sai và đáp án D đúng.

$BM = \frac{3}{4}BA$ và hai vectơ $\overrightarrow {BM} ,\,\,\overrightarrow {BA}$ cùng hướng nên $\overrightarrow {BM} = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA}$, do đó đáp án C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RN} + \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {QR}$

$= \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {NP} } \right) + \left( {\overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {QR} } \right) + \overrightarrow {RN}$

$= \overrightarrow {MP} + \overrightarrow {PR} + \overrightarrow {RN}$

$= \overrightarrow {MR} + \overrightarrow {RN}$

$= \overrightarrow {MN}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{\left| {\overrightarrow a } \right|}}{{\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9} \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \frac{5}{9}\left| {\overrightarrow b } \right|$, mà hai vectơ $\overrightarrow a ,\,\overrightarrow b$ ngược hướng nên $\overrightarrow a = - \frac{5}{9}\overrightarrow b$.

Vậy $m = - \frac{5}{9}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow {IA} = - 2\overrightarrow {IB}$$\Rightarrow \overrightarrow {IA} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB}$.

Vậy $\overrightarrow {IC} = \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {AC} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}$.

Hướng dẫn giải

a) Để $A \cap B = \emptyset$ ta có hai trường hợp sau:

TH1: $a + 2 \le b \Leftrightarrow a - b \le - 2$.

TH2: $a - 1 > b + 4 \Leftrightarrow a - b > 5$.

Vậy với $a - b \le - 2$ hoặc $a - b > 5$ thì $A \cap B = \emptyset$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

Xét tam giác ABC, có:

$\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AM} = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

Ta có: $\overrightarrow {DG} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC}$.

$\overrightarrow {DE} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AE} = 2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC}$

Để $D,\,\,G,\,\,E$ thẳng hàng thì tồn tại số thực $k$ thỏa mãn: $\overrightarrow {DG} = k\overrightarrow {DE}$

$\Leftrightarrow \frac{5}{3}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} = k\left( {2\overrightarrow {AB} - x\overrightarrow {AC} } \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2k = \frac{5}{3}\\kx = \frac{1}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k = \frac{5}{6}\\x = \frac{2}{5}\end{array} \right.$.

Vậy $x = \frac{2}{5}$ thì $D,\,\,G,\,\,E$ thẳng hàng và khi đó $\frac{{DG}}{{DE}} = k = \frac{5}{6}$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác $ABC$ ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {BAC} = {\left( {7{,}5} \right)^2} + {\left( {10{,}5} \right)^2} - 2 \cdot 8{,}5 \cdot 10{,}5 \cdot \cos 135^\circ \approx 277{,}87$

Suy ra $BC \approx 16{,}67$ (m).

Đường tròn hồ đi qua ba đỉnh của tam giác $ABC$ nên đường tròn này ngoại tiếp tam giác $ABC$. Gọi $R$ là bán kính đường tròn này. Theo định lí sin ta có: $\frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} = 2R$.

Thay số ta được: $2R = \frac{{BC}}{{\sin \widehat {BAC}}} \approx \frac{{16{,}67}}{{\sin 135^\circ }} \approx 23{,}57$ (m).

Do đó, đường kính $d = 2R \approx 23{,}57$ (m).

Vậy đường kính của hồ nước khoảng 23,57 m.

Hướng dẫn giải

Gọi số xe lớn cần thuê là $x$ (xe), số xe nhỏ cần thuê là $y$ (xe) $\left( {x,y \in \mathbb{N},0 \le x \le 12,\,0 \le y \le 10} \right)$.

Số lợn có thể chở là: $50x + 30y$ (con)

Mà cần vận chuyển ít nhất $450$ con lợn nên ta có $50x + 30y \ge 450$ hay $5x + 3y \ge 45$.

Số tấn cám có thể chở là: $5x + y$ (con)

Mà cần vận chuyển ít nhất $35$ tấn cám nên ta có $5x + y \ge 35$ (tấn).

Từ đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 12\\0 \le y \le 10\\5x + 3y \ge 45\\5x + y \ge 35\end{array} \right.$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của ngũ giác $ABCDE$ (miền không tô đậm trong hình vẽ) với $A\left( {7;\,\,5} \right),B\left( {5;\,\,10} \right),\,\,C\left( {12;\,10} \right),\,D\left( {12;\,\,0} \right),\,\,E\left( {9;\,\,0} \right)$.

Chi phí thuê xe là: $F\left( {x;\,\,y} \right) = 4x + 2y$ (triệu đồng)

Ta có:

Tại $A\left( {7;\,\,5} \right)$ có $F\left( {7;\,\,5} \right) = 4.7 + 2.5 = 38$;

Tại $B\left( {5;\,\,10} \right)$ có $F\left( {5;\,\,10} \right) = 4.5 + 2.10 = 40$;

Tại $C\left( {12;\,10} \right)$ có $F\left( {12;\,\,10} \right) = 4.12 + 2.10 = 68$

Tại $D\left( {12;\,\,0} \right)$ có $F\left( {12;\,\,0} \right) = 4.12 + 2.0 = 48$

Tại $E\left( {9;\,\,0} \right)$ có $F\left( {9;\,\,0} \right) = 4.9 + 2.0 = 36$

Vậy người đó cần thuê 9 xe lớn để chi phí thuê xe là thấp nhất.