Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là: C

Phủ định của mệnh đề “$\exists x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x > 1$” là mệnh đề “$\forall x \in \mathbb{N},{x^2} - 5x \le 1$”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Câu “Môn xác suất thật khó!” là câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề.

Câu “Số một nghìn tỉ là số rất lớn” là câu khẳng định nhưng không xác định được tính đúng sai vì không có khái niệm số rất lớn nên không là mệnh đề.

Câu “Phú Quốc là thành phố thuộc tỉnh Kiên Giang” là câu khẳng định đúng nên đây là mệnh đề đúng. Nhưng mệnh đề này không đề cập đến nội dung Toán học nên không phải mệnh đề Toán học.

Câu “Việt Nam có 54 dân tộc anh em” là câu khẳng định đúng có nên đây là mệnh đề đúng. Nhưng mệnh đề này không đề cập đến nội dung Toán học nên không phải mệnh đề Toán học.

Vì vậy có $0$ có mệnh đề Toán học.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Bằng cách sử dụng “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”, ta có thể phát biểu mệnh đề $P \Rightarrow Q$ như sau:

“Điều kiện cần để tứ giác $ABCD$ là hình thoi là$ABCD$có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường”;

“Điều kiện đủ để tứ giác $ABCD$có hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là tứ giác $ABCD$ là hình thoi”.

Do đó B đúng; A, C, D sai.

Đáp án đúng là: B

Câu (1) và (4) là các câu khẳng định có tính đúng sai, nên đây là mệnh đề.

Câu (2) phụ thuộc vào biến $x$ nên không xác định tính đúng sai, câu (3) không khẳng định tính đúng sai. Do đó, câu (2), câu (3) không phải mệnh đề.

Vậy trong các câu đã cho, có 2 câu không là mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét ${x^2} - 3x > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.$

Khi đó $H = \left\{ {x \in \mathbb{R}|{x^2} - 3x > 0} \right\} = \left( { - \infty ;\,\,0} \right) \cup \left( {3;\,\, + \infty } \right)$.

Ta có: $\mathbb{N} = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,...} \right\}$

$\Rightarrow \mathbb{N}\backslash H = \left\{ {0;\,\,1;\,\,2;\,\,3} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phần không bị gạch trên trục số biểu diễn tập hợp $\left( { - 1;\,\,7} \right]$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phần gạch chéo trong hình tương ứng với tập $A \cup B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Các tập con của $M$ gồm $4$ phần tử và luôn chứa các phần tử $1;\,\,3;\,\,a$ là:

$\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,4} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,b} \right\};\,\,\left\{ {1;\,\,3;\,\,a;\,\,d} \right\}$.

Vậy có tất cả $3$ tập hợp thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: $\left\{ \begin{array}{l}x - y < 0\\x + 2y \ge 0\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi đường thẳng biên của miền nghiệm là $d:y = mx + n$

Ta thấy đường thẳng $d$ đi qua hai điểm có tọa độ (0; 3) và (2; 0). Khi thay lần lượt tọa độ các điêm này vào đường thẳng $d$ ta được hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3 = m.0 + n\\0 = m.2 + n\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - \frac{3}{2}\\n = 0\end{array} \right.$.

Khi đó đường thẳng $d:y = - \frac{3}{2}x + 3$ hay $d:3x + 2y = 6$

Lấy điểm $O(0;\,\,0)$ ta có: $3.0 + 2.0 = 0 < 6$, mà điểm $O$ không thuộc miền nghiệm của bất phương trình nên từ đó ta có bất phương trình cần tìm là: $3x + 2y \ge 6$.

Suy ra $a = 3,\,\,b = 2,\,\,c = 6$ nên $a\,\, - \,\,b\,\, + \,\,c = 3 - 2 + 6 = 7$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Thay $x = 0$ và $y = 3$ vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn bất phương trình $x - y \ge - 1$ vì $0 - 3 \ge - 1 \Leftrightarrow - 3 \ge - 1$ là mệnh đề sai. Do đó cặp $\left( {0;\,\,3} \right)$ không thỏa mãn.

+) Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ. Do đó cặp $\left( {1;\,\,1} \right)$ thỏa mãn.

+) Thay $x = - 1$ và $y = 0$ vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn bất phương trình $x \ge 0$ vì $- 1 \ge 0$ là mệnh đề sai. Do đó cặp $\left( { - 1;\,\,0} \right)$ không thỏa mãn.

+) Thay $x = - 2$ và $y = 1$ vào các hệ bất phương trình ta thấy cặp số này không thỏa mãn hai bất phương trình $x \ge 0$ và $x - y \ge 1$ vì $- 2 \ge 0$ và $- 2 - 1 \ge 1$ là các mệnh đề sai. Do đó cặp $\left( { - 2;\,\,1} \right)$ không thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì cặp $\left( {5;\,\, - 4} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho nên thay $x = 5,y = - 4$ vào bất phương trình, ta được:

$\left( {m - 1} \right).5 - 2m.\left( { - 4} \right) \ge 9$

$\Leftrightarrow 5m - 5 + 8m \ge 9$

$\Leftrightarrow 13m \ge 14$

$\Leftrightarrow m \ge \frac{{14}}{{13}}$

Vậy $m \ge \frac{{14}}{{13}}$ thì cặp $\left( {5;\,\, - 4} \right)$ là nghiệm của bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền trong tứ giác $OABC$ với $O\left( {0;\,\,0} \right),\,A\left( {0;\,\,5} \right),\,B\left( {2;\,\,4} \right),\,C\left( {4;\,\,0} \right)$.

Tính giá trị biểu thức $F\left( {x;\,\,y} \right)$ tại các điểm $O,\,\,A,\,\,B,\,\,C$, ta được:

Tại $O\left( {0;\,\,0} \right)\,$ta có $F\left( {0;\,\,0} \right) = 3.0 - 2.0 + 1 = 1$;

Tại $A\left( {0;\,\,5} \right)$ ta có $F\left( {0;\,\,5} \right) = 3.0 - 2.5 + 1 = - 9$;

Tại $B\left( {2;\,\,4} \right)$ ta có $F\left( {2;\,\,4} \right) = 3.2 - 2.4 + 1 = - 1$;

Tại $C\left( {4;\,\,0} \right)$ ta có $F\left( {4;\,\,0} \right) = 3.4 - 2.0 + 1 = 13$.

Vậy giá trị lớn nhất của $F\left( {x;\,\,y} \right)$ là 13.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $ax + by > c$ là một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $d:ax + by = c$ chứa điểm $M({x_0};\,\,{y_0})$ thỏa mãn $a{x_0} + b{y_0} > c$ và kể cả đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biểu thức $\sqrt {x - 3}$ có nghĩa khi $x - 3 \ge 0$, tức là khi $x \ge 3$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là $D = \left[ {3; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dựa vào hình vẽ ta thấy hàm số không tồn tại giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số $y = {x^3} - \frac{{\left| x \right|}}{2}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số có trục đối xứng là: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2.1}=-1$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì Parabol có bề lõm quay lên trên nên $a > 0$.

Suy ra đáp án C, D sai.

Xét đáp án A: Ta gọi I là đỉnh của Parabol vậy

${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\left( { - 4} \right)}}{{2.1}} = 2;\,{y_I} = {2^2} - 4.2 - 1 = - 5$ Vậy đỉnh $I(2; - 5)$

Suy ra đáp án A sai.

Xét đáp án B: Ta gọi I là đỉnh của Parabol vậy

${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{\left( { - 4} \right)}}{{2.1}} = 2;\,{y_I} = {2^2} - 4.2 + 3 = - 1$ Vậy đỉnh $I(2; - 1)$

Trục đối xứng $x = 2$.

Giao điểm của đồ thị với trục $Oy$ là $A\left( {0;3} \right)$.

Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là ngiệm của phương trình ${x^2} - 4x + 3 = 0$ tức là $x = 1$ và $x = 3$.

Suy ra đáp án B đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $67^\circ + 113^\circ = 180^\circ$

Khi đó: ${\rm{cos67}}^\circ = - {\rm{cos}}113^\circ$. Do đó A và B sai.

Ta lại có: $67^\circ + 23^\circ = 90^\circ$

Khi đó: ${\rm{cos67}}^\circ = \sin 23^\circ$. Do đó C đúng và D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$, có: $\widehat {ACB} = 180^\circ - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {BAC}} \right) = 180^\circ - \left( {60^\circ + 75^\circ } \right) = 45^\circ$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta được:

$\frac{{BC}}{{\sin A}} = \frac{{AB}}{{\sin C}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{\sin 75^\circ }} = \frac{2}{{\sin 45^\circ }} \Leftrightarrow BC = \frac{{2\sin 75^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = 1 + \sqrt 3$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC.\sin B = \frac{1}{2}.2.\left( {1 + \sqrt 3 } \right).\sin 60^\circ \approx 2{,}37\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\tan \alpha = 2$ nên ${\rm{cos}}\alpha \ne 0$

Chia cả tử và mẫu của $\cos \alpha$ ta được:

$P = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{2\frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}} = \frac{{2\tan \alpha - 2}}{{2 + 3\tan \alpha }} = \frac{{2.2 - 2}}{{2 + 3.2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$, ta có:

${c^2} = {a^2} + {b^2} - 2a.b.{\rm{cos}}\widehat C$

$= {8^2} + {5^2} - 2.8.5.{\rm{cos175}}^\circ$

$\approx 168{,}7$

$\Leftrightarrow c \approx 13$.

Chu vi của tam giác ABC là: $K \approx 5 + 8 + 13 = 26$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là: $p = \frac{{5 + 7 + 8}}{2} = 10$.

Diện tích tam giác $ABC$ là:

$S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {10\left( {10 - 5} \right)\left( {10 - 7} \right)\left( {10 - 8} \right)} = 10\sqrt 3$ (đvdt).

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là:

$R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{5.7.8}}{{4.10\sqrt 3 }} = \frac{{7\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos 60^\circ = {b^2} + {c^2} - bc$

Suy ra $a = \sqrt {{b^2} + {c^2} - bc}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác $ABC$, có:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ta có:

$\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} = 2R$

$\Leftrightarrow \frac{c}{{\sin C}} = 2R$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$P = \sin A.\sin \left( {B + C} \right) - \cos A.cos\left( {B + C} \right)$

$= \sin A.\sin \left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right] - \cos A.cos\left[ {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right]$

$= \sin A.\sin A - \cos A.\left( { - \cos A} \right)$

$= {\sin ^2}A + {\cos ^2}A$

$= 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tích của một vectơ với một số là một vectơ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vectơ $\overrightarrow {MB}$ có điểm đầu là $M$, điểm cuối là $B$. Giá là đường thẳng $AB$ do đường thẳng này đi qua cả điểm $M$ và điểm $B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét hình vuông $ABCD$ có: $AB{\rm{//}}CD$

$\overrightarrow {AB}$ có hướng từ trái sang phải

$\overrightarrow {DC}$ có hướng từ trái sang phải

Vậy $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DC}$ cùng hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng quy tắc hình bình hành cho hình bình hành $ABCD$ ta có:

$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tam giác $ABC$ đều có chu vi là 18 cm.

$\Rightarrow AB = AC = BC = \frac{{18}}{3} = 6$ (cm)

Ta có: $\overrightarrow v = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CB} \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \left| {\overrightarrow {CB} } \right| = BC = 6$ (cm).

Vậy độ dài của $\overrightarrow v$ là 6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng quy tắc hiệu cho ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt. Ta có:

$\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {NP}$ nên ta có $\overrightarrow {MN}$ và $\overrightarrow {NP}$ cùng hướng và $MN = NP$.

Do đó, $M$, $N$, $P$ thẳng hàng và $N$ là trung điểm của đoạn thẳng $MP$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $A$, $B$, $M$ thẳng hàng và$AB = 2AM \Rightarrow \overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AM}$.

Hướng dẫn giải

a) Số học sinh của lớp 10A2 là:

$21 + 24 - 15 + 11 = 41$ (học sinh).

Vậy lớp 10A2 có $41$ học sinh.

b) Tập $B$ có đúng $2$ tập con khi và chỉ khi tập $B$ có đúng $1$ phần tử, hay phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)$ có duy nhất $1$ nghiệm thực. Do $B \subset A$ nên $1$ nghiệm thực duy nhất của (1) phải thuộc đoạn $\left[ {1;8} \right]$.

Xét phương trình $m{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 3m + 3 = 0\left( 1 \right)$

TH1: Nếu $m = 0$ thì $\left( 1 \right) \Leftrightarrow - 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2} \in \left[ {1;8} \right]$.

Vì vậy $m = 0$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

TH2: Nếu $m \ne 0$ thì để $\left( 1 \right)$ có nghiệm duy nhất và nghiệm đó phải thuộc $\left[ {1;8} \right]$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - m\left( {3m + 3} \right) = - 2{m^2} - m + 1 = 0\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m = \frac{1}{2}\\m = - 1\end{array} \right.\\\frac{{m + 1}}{m} \in \left[ {1;\,\,8} \right]\end{array} \right.$

Với $m = \frac{1}{2}$ ta có $\frac{{\frac{1}{2} + 1}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{\frac{3}{2}}}{{\frac{1}{2}}} = 3 \in \left[ {1;8} \right]$ thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với $m = 1$ ta có $\frac{{1 + 1}}{1} = \frac{2}{1} = 1 \notin \left[ {1;8} \right]$ không thỏa mãn điều kiện bài toán.

Vậy với $m = 0$ và $m = \frac{1}{2}$ thì tập $B$ có đúng hai tập con đồng thời $B \subset A$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABC$, có:

$A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2.AB.BC.{\rm{cos}}\widehat {ABC}$

$= {100^2} + {150^2} - 2.100.150.{\rm{cos110}}^\circ$

$\approx 42\,\,760{,}6$

$\Rightarrow AC \approx 206{,}8\,\,\left( {km} \right)$.

Thời gian đi tàu thủy từ $A$ đến $C$ là: $206{,}8:30 \approx 7\left( h \right)$.

Tổng quãng đường đi theo cách 2 là: $100 + 150 = 250\,\,\,\left( {km} \right)$.

Thời gian đi theo cách 2 là: $250:50 = 5\left( h \right)$.

Vậy đi theo cách 2 thì An sẽ đến $C$ sớm hơn.

Hướng dẫn giải

Gọi $x,\,y$ lần lượt là số block công ty đó thuê quảng cáo trên đài phát thanh và trên đài truyền hình.

Chi phí công ty cần bỏ ra là $10x + 25y$ (triệu đồng). Mức chi này không vượt quá chi phí công ty đặt ra nên $10x + 25y \le 500$ hay $2x + 5y \le 100$.

Do các điều kiện đài phát thanh và đài truyền hình đưa ra nên ta có $x \ge 5;\,y \ge 10$.

Hiệu quả quảng cáo (phần trăm tăng tưởng sản phẩm do quảng cáo) là $F\left( {x;\,\,y} \right) = 0{,}02x + 0{,}04y$.

Bài toán trở thành: Xác định $x,\,\,y$ sao cho $F\left( {x;\,\,y} \right)$ đạt giá trị lớn nhất với các điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y \le 100\\x \ge 5\\y \ge 10\end{array} \right.$ (*).

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ta được:

Miền nghiệm của hệ (*) là miền tam giác $ABC$ với $A\left( {5;\,\,18} \right),\,\,B\left( {25;\,\,10} \right),\,\,C\left( {5;\,\,10} \right)$.

Ta có: $F\left( {5;\,\,18} \right) = 0{,}02 \cdot 5 + 0{,}04 \cdot 18 = 0{,}82$;

$F\left( {25;\,\,10} \right) = 0{,}02 \cdot 25 + 0{,}04 \cdot 10 = 0{,}9$;

$F\left( {5;\,\,10} \right) = 0{,}02 \cdot 5 + 0{,}04 \cdot 10 = 0{,}5$.

Do đó, giá trị lớn nhất của $F\left( {x;\,\,y} \right)$ bằng 0,9 tại $\left( {x;\,y} \right) = \left( {25;\,\,10} \right)$.

Vậy để đạt hiệu quả cao nhất thì công ty đó cần quảng cáo 25 block trên đài phát thanh và 10 block trên đài truyền hình.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác $MOP$ có:

$MA = \frac{1}{5}MO \Rightarrow MO = 5MA \Rightarrow \overrightarrow {MO} = 5\overrightarrow {MA}$

$OB = \frac{3}{4}OP \Rightarrow OP = \frac{4}{3}OB \Rightarrow \overrightarrow {OP} = \frac{4}{3}\overrightarrow {OB}$

Mà $\overrightarrow {MP} = \overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OP} \Rightarrow \overrightarrow {MP} = 5\overrightarrow {MA} + \frac{4}{3}\overrightarrow {OB}$.