Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Câu $2$ chia hết cho $3$ là câu khẳng định sai và nói về nội dung Toán học nên đây là một mệnh đề Toán học.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề $P \Rightarrow Q$ được phát biểu là: “Nếu tứ giác $ABCD$ là hình thang cân thì tứ giác $ABCD$ có $AC = BD$”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề “$\exists x \in \mathbb{Z},x\,\, \vdots \,\,5$” được diễn tả bằng lời như sau:

Tồn tại một số nguyên $x$ để $x$ chia hết cho 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Định lí: “Hai tam giác bằng nhau thì diện tích của chúng bằng nhau” được phát biểu lại bằng một trong các cách sau:

+ “Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để diện tích của chúng bằng nhau”.

+ “Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để chúng bằng nhau”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $18 = {2.3^2},\,\,12 = {2^2}.3$. Khi đó ƯCLN$\left( {18{,}12} \right) = 2.3 = 6$.

$\Rightarrow$Ư$\left( 6 \right) = \left\{ { - 6;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,1;\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}$.

Ta lại có $x$ là ước của $18$ và $12$ nên $x \in$Ư$\left( 6 \right)$.

Mà $x \in \mathbb{N}$ nên $x \in \left\{ {1;\,2;\,\,3;\,\,6} \right\}$.

Số tập con khác rỗng của tập $X$ là ${2^4} - 1 = 15$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $B = \left\{ {x \in \mathbb{R}|5 < x < 50} \right\} = \left( {5;\,50} \right)$.

Mà $\left( {23;34} \right) \subset \left( {5;50} \right)$.

Vậy $\left( {23;34} \right) \subset B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+) Ta có: $B \cap C =${$x|x$ vừa là hình chữ nhật và $x$ vừa là hình thoi} = {$x|x$ là hình vuông} = $D$. Do đó A sai.

+) Ta có: $C \cap D =${$x|x$ vừa là hình thoi và $x$ vừa là hình vuông} = {$x|x$ là hình vuông} = $D$. Do đó B sai.

+) Ta có: $B \cup C =${$x|x$ là hình chữ nhật hoặc $x$ vừa là hình thoi} $\ne$ $D$. Do đó C đúng.

+) Ta có: $B \cap D = D${$x|x$ là hình chữ nhật và $x$ là hình vuông} = {$x|x$ là hình vuông} = $D$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Do đó, $A = \left\{ {x \in \mathbb{N}|{x^2} - 2x + 1 = 0} \right\} = \left\{ 1 \right\}$.

Vậy $1 \in A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền trong của tứ giác $OABC$ với $O\left( {0;\,\,0} \right)$, $A\left( {0;\,\,5} \right)$, $B\left( {2;\,\,4} \right)$, $C\left( {4;\,\,0} \right)$.

Giá trị của biểu thức $F\left( {x;\,\,y} \right)$ tại các điểm $O,\,A,\,B,\,C$ là:

Tại $O\left( {0;\,\,0} \right)$: $F\left( {0;\,\,0} \right) = 0 - 2.0 + 1 = 1$;

Tại $A\left( {0;\,\,5} \right)$: $F\left( {0;\,\,5} \right) = 0 - 2.5 + 1 = - 9$;

Tại $B\left( {2;\,\,4} \right)$: $F\left( {2;\,\,4} \right) = 2 - 2.4 + 1 = - 5$;

Tại $C\left( {4;\,\,0} \right)$: $F\left( {4;\,\,0} \right) = 4 - 2.0 + 1 = 5$.

Vậy Biểu thức $F\left( {x;\,\,y} \right)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại cặp $\left( {0;\,\,5} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Bất phương trình $x - y + z < 1$ có ba ẩn $x,\,\,y,\,\,z$ nên nó không phải là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số tiền mà Lan bỏ ra để mua $x$ hộp kẹo hương dâu và $y$hộp kẹo hương cam là:

$32\,\,000x + 36\,\,000y$ (đồng).

Vì số tiền tiết kiệm của Lan chỉ có $350\,\,000$đồng nên ta có bất phương trình:

$32\,\,000x + 36\,\,000y \le 350\,\,000$ hay $32x + 36\,y \le 350$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét điểm $\left( {0;0} \right)$ có $3 \cdot 0 - 0 = 0 < 1$. Do đó, điểm $\left( {0;0} \right)$ không nằm trong miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $3x - y \ge 1$.

Vậy miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $3x - y \ge 1$ là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $3x - y = 1$ không chứa điểm $\left( {0;0} \right)$ (có kể bờ).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}5 \cdot \left( { - 5} \right) - 2 \cdot 10 = - 45 \le 0\\ - 5 + 10 = 5 < 10\end{array} \right.$.

Vậy cặp số $\left( { - 5;10} \right)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}5x - 2y \le 0\\x + y < 10\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}x - y - 3 > 4\\2x + y + 2 < 19\end{array} \right.$ là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sin x + {\rm{cos}}x = m$

$$\Leftrightarrow {\left( {\sin x + {\rm{cos}}x} \right)^2} = {m^2}$$

$$\Leftrightarrow {\sin ^2}x + 2\sin x.{\rm{cos}}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = {m^2}$$

$$\Leftrightarrow 1 + 2\sin x.{\rm{cos}}x = {m^2}$$

$\Leftrightarrow \sin x.{\rm{cos}}x = \frac{{{m^2} - 1}}{2}$.

Vậy $M = \frac{{{m^2} - 1}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có: $\cos \alpha = \cos \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{BC}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

${\sin ^2}x + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x = 1$. Do đó A sai.

$1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}$. Do đó B sai.

${\tan ^2}x + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$. Do đó C đúng.

$\tan x = \frac{{{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in}}\,x}}{{{\rm{cos}}\,x}}$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$M = {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\tan 23^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}143^\circ$

$= {\sin ^2}37^\circ + \tan 67^\circ .\cot 67^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}37^\circ$

$= \left( {{{\sin }^2}37^\circ + {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}37^\circ } \right) + \tan 67^\circ .\cot 67^\circ$

$= 1 + 1$

$= 2$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $MNP$

Áp dụng định lí côsin ta có: $M{N^2} = P{N^2} + M{P^2} - 2PN \cdot MP \cdot \cos \widehat {MPN}$

$\Rightarrow \cos \widehat {MPN} = \frac{{P{N^2} + M{P^2} - M{N^2}}}{{2PN \cdot MP}} = \frac{{{5^2} + {9^2} - {8^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 9}} = \frac{7}{{15}}$.

Vì $0^\circ < \widehat {MPN} < 180^\circ$ nên $\widehat {MPN} \approx 62^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Công thức heron tính diện tích tam giác $ABC$ là $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$ với $p$ là nửa chu vi tam giác.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $MNP$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\,\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MPN}}} = \frac{{MP}}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{5}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \sin \widehat {MNP} = \frac{{5 \cdot \sin 45^\circ }}{4} = \frac{{5\sqrt 2 }}{8}$.

Mà $0^\circ < \widehat {MNP} < 180^\circ \Rightarrow \widehat {MNP} \approx 62^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABE$ vuông tại $B$, có:

$A{E^2} = A{B^2} + B{E^2}$ (định lí Py – ta – go)

$\Leftrightarrow A{E^2} = {a^2} + {\left( {\frac{a}{2}} \right)^2} = \frac{{5{a^2}}}{4}$

$\Leftrightarrow AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{2}$

$\Rightarrow AF = \frac{1}{2}AE = \frac{{\sqrt 5 a}}{4}$

Ta lại có: $\sin \widehat {BAE} = \frac{{BE}}{{AE}} \Leftrightarrow \sin \widehat {BAE} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{\sqrt 5 a}}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$

$\Rightarrow {\rm{cos}}\widehat {DAF} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ (vì $\widehat {BAE} + \widehat {DAF} = 90^\circ$).

Xét tam giác $ADF$, có:

$D{F^2} = A{D^2} + A{F^2} - 2.AD.AF\cos \widehat {DAF}$ (Áp dụng định lí cosin)

$\Leftrightarrow D{F^2} = {a^2} + {\left( {\frac{{\sqrt 5 a}}{4}} \right)^2} - 2.a.\frac{{\sqrt 5 a}}{4}.\frac{1}{{\sqrt 5 }} = \frac{{13}}{{16}}a$

$\Leftrightarrow DF = \frac{{\sqrt {13} }}{4}a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $A$, $I$, $B$ cùng thuộc đường thẳng $AB$ nên $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AI}$ cùng phương.

Và chúng cùng hướng từ trái sang phải.

Do đó, $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AI}$ cùng hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $AC = BD$ (tính chất hình chư nhật) nhưng $\overrightarrow {BD}$ và $\overrightarrow {DB}$ lại không cùng phương với vectơ $\overrightarrow {AC}$. Do đó $\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} \ne \overrightarrow {DB}$.

Vectơ $\overrightarrow {CA}$ cùng phương cùng độ dài nhưng lại ngược hướng nên $\overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {AC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vectơ $\overrightarrow {AB}$ khác vectơ – không, có điểm đầu là $A$ và điểm cuối là $B$ và giá là đường thẳng đi qua hai điểm $A,\,\,B$chính là đường thẳng $d$. Vậy đáp án B đúng.

Gọi số bánh cỡ bé làm được là $x$ (cái), số bánh cỡ lớn làm được là $y$ (cái) ($x,y \in {\mathbb{N}^*}$)

Khi đó, số điểm thưởng là: $F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y$.

Số kg bột mì cần dùng là: $0{,}4x + 0{,}6y$ (kg).

Số kg bột nở cần dùng là: $0{,}05x + 0{,}075y$ (kg).

Số kg kem béo cần dùng là: $0{,}1x + 0{,}15y$ (kg).

Vì trong cuộc thi này chỉ được sử dụng tối đa 20 kg bột mì, 2 kg bột nở và 5 kg kem béo nên ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}0{,}4x + 0{,}6y \le 20\\0{,}05x + 0{,}075y \le 2\\0{,}1x + 0{,}15y \le 5\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 100\\2x + 3y \le 80\\2x + 3y \le 100\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 3y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.$ (*)

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $F\left( {x;y} \right)$ trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tam giác $OAB$ (kể cả biên).

Hàm số $F\left( {x;y} \right) = 5x + 7y$ sẽ đạt giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) khi $\left( {x;y} \right)$ là tọa độ một trong các đỉnh $O\left( {0;0} \right)$, $A\left( {40;0} \right)$, $B\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right)$.

Mà $F\left( {0;0} \right) = 0$, $F\left( {40;0} \right) = 200$, $F\left( {0;\frac{{80}}{3}} \right) = \frac{{560}}{3}$.

Suy ra $F\left( {x;y} \right)$ lớn nhất khi $\left( {x;y} \right) = \left( {40;0} \right)$.

Do đó, cần phải làm 40 cái bánh cỡ bé để nhận được số điểm thưởng là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$T \cup G$ là tập hợp số học sinh của lớp 10A1 hay $T \cup G = H$.

$T \cap G = \emptyset$.

$H\backslash T$ là tập hợp học sinh của lớp 10A1 không chứa học sinh nam nên $H\backslash T = G$.

b) Xét phương trình: $\left( {x + 2} \right)\left( {5{x^2} - 6x + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 2 = 0\\5{x^2} - 6x + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\\x = \frac{1}{5}\end{array} \right.$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ mà $\frac{1}{5} \notin \mathbb{Z}$ nên $A = \left\{ { - 2;\,\,1} \right\}$.

Khi đó tập hợp $A$ có $2$ phần tử vậy để $A \cup B$ có đúng 3 phần tử thì một phần tử nữa phải lấy từ tập hợp $B$ và giả sử đó là phần tử $b\left( {b \ne - 2;b \ne 1} \right)$.

Theo đầu bài ta có: ${\left[ {b + \left( { - 2} \right) + 1} \right]^2} = 9$

$\Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} = 9$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b - 1 = 3\\b - 1 = - 3\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 4\\b = - 2\end{array} \right.$

Do đó chỉ có $b = 4$ là thỏa mãn yêu cầu.

Vì $b = 4 \in B$ nên ta có ${4^2} - \left( {2m + 1} \right)4 + 2m = 0$

$\Leftrightarrow 16 - 8m - 4 + 2m = 0$

$\Leftrightarrow 12 - 6m = 0$

$\Leftrightarrow m = 2$.

Vậy với $m = 2$ thì$A \cup B$ có đúng 3 phần tử và tổng bình phương của chúng bằng 9.

Xét tam giác $ABC$

Áp dụng định lí côsin ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat {ABC} = {15^2} + {9^2} - 2 \cdot 15 \cdot 9 \cdot \cos 86^\circ \approx 287{,}17$

$\Rightarrow BC \approx 16{,}95$ (m)

Vậy khoảng cách từ vị trí $B$ đến vị trí $C$ là khoảng 16,95 m.