Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $a = - 2$ ta có mệnh đề là mệnh đề sai. Do đó A đúng.

Với $a = 7$ ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó B sai.

Với $a = - 1$ ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó C sai.

Với $a = 1$ ta có mệnh đề là mệnh đề đúng. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Câu “Tháng 8 dương lịch có 31 ngày.” là một khẳng định đúng nên nó là mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “số 12 chia hết cho 4 và 3” là “Số 12 không chia hết cho 4 hoặc không chia hết cho 3”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Ta có: ${x^2} > 1 \Rightarrow \left| x \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\ - x > 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1\end{array} \right.$. Do đó mệnh đề A, B sai.

+) Ta có: $x > - 1 \Rightarrow {x^2} > 1$ là mệnh đề sai vì với $x = - \frac{1}{2} > - 1$ nhưng ${\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} < 1$. Do đó C sai và D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Ta có $A \subset X$ nên $X$ có ít nhất $3$ phần tử $\left\{ {1;\,2;\,3} \right\}$.

+) Mà $X \subset B$ nên $X$ có nhiều nhất $5$ phần tử và các phần tử thuộc $X$ cũng phải thuộc $B$.

Do đó các tập $X$ thỏa mãn là $\left\{ {1;\,2;\,3} \right\},\,\left\{ {1;\,2;\,3;\,4} \right\},\,\left\{ {1;\,2;\,3;\,5} \right\},\,\left\{ {1;\,2;\,3;\,4;\,5} \right\}$.

Vì vậy có $4$ tập $X$ thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $A \cap B = \left[ { - 2;\,\,3} \right] \cap \left( {0;\,\, + \infty } \right) = \left( {0;\,\,3} \right]$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 8 \le x < 2} \right\} = \left[ { - 8;\,\,2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Tập hợp $A$ là con của tập hợp $B$ khi và chỉ khi với mọi giá trị $x$ thuộc tập $A$ đều thuộc tập $B$ nên hình vẽ biểu diễn cho tập hợp $A$ là con của tập hợp $B$ là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và cùng độ dài.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $0 + 5 \cdot 0 = 0 < 2$, do đó miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 5y > 2$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d:x + 5y = 2$ không chứa gốc tọa độ $O\left( {0;\,\,0} \right)$ (không kể bờ $d$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${3^3}x + {4^2}y > 25 \Leftrightarrow 27x + 16y > 25$, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+)Thay $x = - 1;\,y = 3$ vào bất phương trình $- 3x + 2y - 4 > 0$ ta được $- 3.( - 1) + 2.3 - 4 = 5 > 0$ là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.

+) Thay $x = - 1;\,y = 3$ vào bất phương trình $x + 3y < 0$ ta được $- 1 + 3.3 = 8 < 0$ là một mệnh đề sai. Do đó B sai.

+) Thay $x = - 1;\,y = 3$vào bất phương trình $3x - y > 0$ ta được $3.( - 1) - 3 = - 6 > 0$ là một mệnh đề sai. Do đó C sai.

+) Thay $x = - 1;\,y = 3$vào bất phương trình $2x - y + 4 > 0$ ta được $2.( - 1) - 3 + 4 = - 1 > 0$ là một mệnh đề sai. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\{5^2}x + 7y > 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\25x + 7y > 2\end{array} \right.$, đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì các bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $- 1 - 5 = - 6 < 2;\,\,2 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 = 3 < 8;\,\, - \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 5 = 16 > 6$.

Vậy cặp số $\left( { - 1;\,\,5} \right)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 2\\2x + y < 8\\ - x + 3y \ge 6\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y < 0$:

Vẽ đường thẳng ${d_1}:x - 2y = 0$ đi qua hai điểm $\left( {0;\,0} \right)$ và $\left( {2;\,1} \right)$.

Chọn điểm $M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_1}$ và thay vào bất phương trình ta được: $0 - 2.1 = - 2 < 0$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y < 0$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}$ chứa $M\left( {0;\,1} \right)$.

+) Miền nghiệm của bất phương trình $x + 3y > - 2$:

Vẽ đường thẳng ${d_2}:x + 3y = - 2$ đi qua hai điểm $\left( {0;\,\frac{{ - 2}}{3}} \right)$ và $\left( { - 2;\,0} \right)$.

Chọn điểm $M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_2}$ và thay vào bất phương trình ta được $0 + 3.1 = 3 > - 2$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x + 3y > - 2$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}$ chứa $M\left( {0;\,1} \right)$.

+) Miền nghiệm của bất phương trình $y - x < 3$:

Vẽ đường thẳng ${d_3}: - x + y = 3$ đi qua hai điểm $\left( {0;\, - 3} \right)$ và $\left( {0;\,3} \right)$.

Chọn điểm $M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_3}$ và thay vào bất phương trình ta được $- 0 + 1 = 1 < 3$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $y - x < 3$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}$ chứa $M\left( {0;\,1} \right)$

Giao của ba miền nghiệm trên ta sẽ được miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho và là miền không tô đậm trong hình vẽ và không kể đường thẳng ${d_1};\,\,{d_2};\,\,{d_3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Khi góc $\alpha$ tù thì $\sin \alpha > 0,\,\cos \alpha < 0,\,\tan \alpha < 0,\,\cot \alpha < 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos A$

${b^2} = {c^2} + {a^2} - 2ca \cdot \cos B$

${c^2} = {b^2} + {a^2} - 2ba \cdot \cos C$

Do đó, đáp án A, C, D đúng.

Đáp án B sai vì đẳng thức ${a^2} = {b^2} + {c^2}$ chỉ xảy ra khi tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\tan \alpha = \cot \beta$ khi $\alpha$ và $\beta$ phụ nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Cách 1: $P = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \sin 30^\circ .\sin 60^\circ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 0$.

+) Cách 2: $P = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \sin 30^\circ .\sin 60^\circ = \cos 30^\circ .\cos 60^\circ - \cos 60^\circ .\cos 30^\circ = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$ ta có: $\frac{{AB}}{{\sin C}} = 2R$.

Suy ra $AB = 2R\sin C = 2 \cdot 12 \cdot \sin 30^\circ = 12$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$, suy ra $\cos A = - \cos \left( {B + C} \right) = - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ (hai góc bù nhau).

Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {2^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4$.

Suy ra $BC = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Coi người quan sát từ điểm $A$ cách gốc cây $B$ một khoảng bằng $30$m, nhìn ngọn cây $C$ dưới góc $45^\circ$. Ta có hình vẽ sau:

Khi đó $AB = 30\,\,m,\widehat {CAH} = 45^\circ$.

Do sườn đồi có độ dốc $12\%$, nên sườn đồi tạo với phương ngang một góc $\widehat {BAH} \approx 7^\circ$.

Từ đó $\widehat {BAC} = \widehat {HAC} - \widehat {HAB} \approx 45^\circ - 7^\circ = 38^\circ$ và $\widehat {BCA} = 45^\circ$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác $ABC$, ta được:

$BC = \frac{{AB}}{{\sin \widehat {BCA}}}.\sin \widehat {BAC} = \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }}.\sin 45^\circ \approx 26$(m).

Vậy chiều cao của cây khoảng $26\,\,m$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$, suy ra $\cos A = - \cos \left( {B + C} \right) = - \left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ (hai góc bù nhau).

Theo định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB \cdot AC \cdot \cos A = {2^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 2 }}{2} = 4$.

Suy ra $BC = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có 3 vectơ khác vectơ-không, ngược hướng với vectơ $\overrightarrow {OA}$, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của lục giác đều, đó là: $\overrightarrow {AD} ,\,\,\overrightarrow {BC} ,\,\,\overrightarrow {FE}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Nếu 2 vectơ cùng hướng thì chúng cùng phương. Do đó B đúng.

+) Nếu 2 vectơ cùng phương thì chúng có thể cùng hoặc khác hướng. Do đó A sai.

+) Nếu 2 vectơ bằng nhau thì chúng cùng hướng và ngược lại nếu 2 vectơ đối nhau thì chúng ngược hướng. Do đó C và D sai.

Hướng dẫn giải

a) Ta có tập hợp $A = \left[ { - 3;\,6} \right]$ và $\mathbb{Z} = \left\{ {...;\,\, - 3;\,\, - 2;\,\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2;\,\,3;\,\,...} \right\}$

Do đó $A \cap \mathbb{Z} = \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1;\,0;\,1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}$.

b) $A \cap B = \emptyset \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2m + 3 \le - 3\\2m - 4 > 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\m > 5\end{array} \right.$

Vậy với $m \le - 3$ hoặc $m > 5$ thì $A \cap B = \emptyset$.

Gọi $x,\,y$ lần lượt là số radio kiểu một và kiểu hai sản xuất được trong một ngày. $\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)$

Vì radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày nên $x \le 45,\,\,y \le 80$.

Sản xuất $x$ chiếc radio kiểu một và $y$ chiếc radio kiểu hai cần số linh kiện là $12x + 9y$.

Mà số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 nên $12x + 9y \le 900$ hay tương đương với $4x + 3y \le 300$.

Tiền lãi thu được khi bán $x$ chiếc radio kiểu một và $y$ chiếc radio kiểu hai là $T = 250\,\,000x + 180\,\,000y$ (đồng).

Khi đó, bài toán đã cho trở thành: Tìm $\left( {x;\,\,y} \right)$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.$để $T = 250\,\,000x + 180\,\,000y$ lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.$ lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.$ là miền ngũ giác $OABCD$ (kể cả biên) với $O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\,80} \right),\,\,B\left( {15;\,\,80} \right),\,\,C\left( {45;\,\,40} \right),\,\,D\left( {45;\,\,0} \right)$.

Người ta chứng minh được $T = 250\,\,000x + 180\,\,000y$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$.

Ta có: $T\left( {0;\,\,0} \right) = 0$;

$T\left( {0;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 0 + 180\,\,000 \cdot 80 = 14\,\,400\,\,000$;

$T\left( {15;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 15 + 180\,\,000 \cdot 80 = 18\,\,150\,\,000$;

$T\left( {45;\,\,40} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 40 = 18\,\,450\,\,000$;

$T\left( {45;\,\,0} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 0 = 11\,\,250\,\,000$.

Do đó, $T = 250\,\,000x + 180\,\,000y$ đạt giá trị lớn nhất tại $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {45;\,\,40} \right)$.

Vậy cần sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai thì lãi thu được trong một ngày là lớn nhất.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác $ABC$, ta có:

$\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 180^\circ - \left( {105^\circ + 30^\circ } \right) = 45^\circ$.

Áp dụng định lý sin, ta có: $\frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 105^\circ }} \Leftrightarrow \frac{{AB}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{22}}{{\sin 105^\circ }} \Rightarrow AB \approx 11{,}4$

Vậy khoảng cách từ $A$ đến $B$ là $11{,}4$m.

b) Diện tích của khu vườn: ${S_{ABCD}} = {S_{ABC}} + {S_{ADC}}$.

Xét tam giác $ABC$ có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat A \approx \frac{1}{2}.11{,}4.22.\sin 45^\circ \approx 88{,}67$

Xét tam giác $ADC$có: $p = \frac{{AD + CD + AC}}{2} = \frac{{20 + 22 + 6}}{2} = 24$

$$\begin{array}{l}{S_{ADC}} = \sqrt {p\left( {p - AD} \right)\left( {p - CD} \right)\left( {p - AC} \right)} \\ \Rightarrow {S_{ADC}} = \sqrt {24.\left( {24 - 20} \right)\left( {24 - 22} \right)\left( {24 - 6} \right)} \approx 58{,}79\end{array}$$

$\Rightarrow {S_{ABCD}} \approx 88{,}67 + 58{,}79 \approx 147{,}5$.

Vậy diện tích khu vườn đó là $147{,}5\,\,{m^2}$.