Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

Phủ định của $\forall$ là $\exists$;

Phủ định của $<$ là $\ge$.

Khi đó phủ định của mệnh đề A là: $\overline{A}:"\exists x\in ℝ,{x}^{2}-x+7\ge 0"$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Câu “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là khẳng định đúng. Do đó “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề.

Câu “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là khẳng định sai. Do đó “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là mệnh đề.

Câu “2 là số nguyên tố” là khẳng định đúng. Do đó “2 là số nguyên tố” là mệnh đề.

Câu “Hôm nay là thứ mấy?” là câu hỏi nên không là mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biểu diễn mệnh đề “Tồn tại số thực $x$ để $x$ chia hết cho 2” dưới dạng kí hiệu là

“$\exists x \in \mathbb{R}|x\,\, \vdots \,\,2$”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

A là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.

B là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.

C là mệnh đề sai: Ví dụ: 2.3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ.

D là mệnh đề đúng: Ví dụ: 1.3 = 3 là số lẻ và 1, 3 đều là số lẻ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi $A$ là tập hợp học sinh lớp 10A; $B$ là tập học sinh được xếp loại học lực giỏi; $C$ là tập học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt. Khi đó tập hợp cần tìm là tập $B \cup C$. Được thể hiện trong biểu đồ Ven như sau:

Khi đó $\left| {B \cup C} \right| = \left| B \right| + \left| C \right| - \left| {B \cap C} \right| = 15 + 20 - 10 = 25$

Vậy có 25 học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $M = \left\{ {x \ge 0|{x^2} < 4} \right\} = \left[ {0;2} \right)$;

$N = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 4 < x - 5 < 4} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|1 < x < 9} \right\} = \left( {1;\,\,9} \right)$.

Vậy $L = M \cap N = \left( {1;\,\,2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp $L = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x \le 10} \right\}$ đều là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $A = \left( { - \infty ;\,5} \right)$ và $B = \left[ { - 1;\, + \infty } \right)$

Suy ra $A \cap B = \left[ { - 1;\,5} \right)$

Vì vậy $\left[ { - 1;\,4} \right]$ là tập con của tập $A \cap B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét hệ bất phương trình hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\2x + 3y < 10\end{array} \right.$

Miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y \le 0$ là nửa mặt phẳng (có kể cả bờ) bờ $x - 2y = 0$, chứa điểm $\left( { - 2;2} \right)$.

Miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y < 10$ là nửa mặt phẳng (không kể bờ) bờ $2x + 3y = 10$, chứa điểm $\left( { - 2;2} \right)$.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\2x + 3y < 10\end{array} \right.$ là giao của hai miền nghiệm trên.

Vậy phần (3) là miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y \le 0\\2x + 3y < 10\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là: $4x - 9y > - 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ bao gồm 2 hay nhiều các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y > 0\\x + y < 6\end{array} \right.$ không phải là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay $x = 3$ và $y = 1$ vào biểu thức $3x - 5y$ ta có: $3 \cdot 3 - 5 \cdot 1 = 9 - 5 = 4 \ge 2$.

Vậy cặp số $\left( {3;\,\,1} \right)$ là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $3x - 5y \ge 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Để giải một tam giác thường ta cần ít nhất ba yếu tố, trong đó có không quá 2 yếu tố về góc. Như vậy, ta không thể giải một tam giác thường nếu chỉ có độ dài hai cạnh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do $\alpha = 180^\circ$ nên ta có: ${\rm{cos}}\alpha = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với $\alpha \in \left( {0^\circ ;\,\,90^\circ } \right)$ ta có $\sin \alpha > 0,\,\,\cos \alpha > 0,\,\tan \alpha \, > 0,\,\cot \alpha > 0$.

Do đó $\sin \left( {90^\circ - \alpha } \right) = {\rm{cos}}\alpha > 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí côsin ta có: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc \cdot \cos \alpha$.

Vậy khẳng định ${a^2} = {b^2} - {c^2} + 2bc \cdot \cos \alpha$ là sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$A = \frac{{3\sin \alpha + 4\cos \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\cos \alpha }}$ $\Leftrightarrow$ $A = \frac{{3\sin \alpha + 4\sin \alpha .\cot \alpha }}{{2\sin \alpha - 5\sin \alpha .\cot \alpha }}$

$\Leftrightarrow A = \frac{{\sin \alpha \left( {3 + 4\cot \alpha } \right)}}{{\sin \alpha \left( {2 - 5\cot \alpha } \right)}} = \frac{{3 + 4\cot \alpha }}{{2 - 5\cot \alpha }}$

$\Leftrightarrow A = \frac{{3 + 4.\frac{1}{3}}}{{2 - 5.\frac{1}{3}}} = 13$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$. Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$ ta có:

$A{B^2} = A{C^2} + B{C^2} - 2AC.BC.cosC$

$\Leftrightarrow A{B^2} = {200^2} + {180^2} - 2.200.180.cos{60^o}$

$\Leftrightarrow A{B^2} = 36400$

$\Leftrightarrow AB = 20\sqrt {91}$.

Vậy $AB = 20\sqrt {91} \,\,\left( m \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác $ABC$

Áp dụng hệ quả của định lí côsin ta có:

$\cos \widehat {ABC} = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2AB \cdot BC}} = \frac{{{5^2} + {6^2} - {7^2}}}{{2 \cdot 5 \cdot 6}} = \frac{1}{5}$.

Do đó, $\widehat {ABC} \approx 78^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $MNP$

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{{MN}}{{\sin \widehat {MPN}}} = \frac{{MP}}{{\sin \widehat {MNP}}} \Rightarrow \frac{4}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{MP}}{{\sin 30^\circ }} \Rightarrow MP = \frac{{4.\sin 30^\circ }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{4.\frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = 2\sqrt 2$ (cm).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét hình vuông $ABCD$ có: $AB{\rm{//}}CD$

$\overrightarrow {AB}$ có hướng từ trái sang phải

$\overrightarrow {DC}$ có hướng từ trái sang phải

Vậy $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DC}$ cùng hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vectơ $\overrightarrow {MB}$ có điểm đầu là $M$, điểm cuối là $B$. Giá là đường thẳng $AB$ do đường thẳng này đi qua cả điểm $M$ và điểm $B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Áp dụng quy tắc hiệu cho ba điểm $A$, $B$, $C$ phân biệt. Ta có:

$\overrightarrow {BC} - \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vẽ đường thẳng $d:x - 2y + 4 = 0$.

Đường thẳng $d$ là đường thẳng đi qua $A(0;\,2)$ và $B( - 4;\,0)$.

Xét điểm $O(0;\,0)$ ta có $0 - 2.0 + 4 > 0$ vì vậy điểm $O(0;\,0)$ không là nghiệm của bất phương trình.

Suy ra miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng $x - 2y + 4 = 0$ và không chứa điểm $O$ và không kể đường thẳng $d$.

Vì vậy hình vẽ ở đáp án D biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y + 4 < 0$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

+ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$3.0 > 0 \Leftrightarrow 0 > 0$ là một mệnh đề sai.

$2.0 - 0 > 1 \Leftrightarrow 0 > 1$ là một mệnh đề sai.

Do đó điểm $O(0;\,\,0)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$2.0 + 4.0 < 1 \Leftrightarrow 0 < 1$ là một mệnh đề đúng.

$0 - 3.0 + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2 \le 0$ là một mệnh đề sai.

Do đó điểm $O(0;\,\,0)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$0 - 2.0 + 1 \ge 0 \Leftrightarrow 1 \ge 0$ là một mệnh đề đúng.

$3.0 - 4.0 > - 2 \Leftrightarrow 0 > - 2$ là một mệnh đề đúng.

Do đó điểm $O(0;\,\,0)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+ Thay $x = 0$ và $y = 0$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$2.0 + 0 < 0 \Leftrightarrow 0 < 0$ là một mệnh đề sai.

$4.0 - 3.0 \ge 0 \Leftrightarrow 0 \ge 0$ là một mệnh đề đúng.

Do đó điểm $O(0;\,\,0)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Gọi số bưởi loại II cô Liên chọn là $x$ (quả), số bưởi loại I cô Liên chọn là $y$ (quả).

Chi phí cho giỏ quà là: $80\,\,000x + 400\,\,000y$ (đồng)

Chi phí này không được phép vượt quá mức chi tối đa là 1 600 000 đồng nên ta có: $80\,\,000x + 400\,\,000y \le 1\,\,600\,\,000 \Leftrightarrow x + 5y \le 20 \Leftrightarrow x + 5y - 20 \le 0$.

Do số bưởi loại I phải chọn tối đa là 4 quả, số bưởi loại II ít nhất phải chọn là 5 quả nên $x \ge 5$ và $y \le 4$.

Đồng thời, do $x$, $y$ là số quả bưởi nên $x \ge 0$, $y \ge 0$.

Số tiền lãi của giỏ quà là: $2\,\,000x + 10\,\,000y$.

Để có khả năng thu được lãi cao nhất, ta phải xác định $x$, $y$ sao cho $M\left( {x;y} \right) = 2\,000x + 10\,000y$ đạt giá trị lớn nhất với $x$, $y$ thỏa mãn hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + 5y - 20 \le 0\\x \ge 5\\0 \le y \le 4\end{array} \right.$ (*)

Trong mặt phẳng tọa độ vẽ các đường thẳng $d:x + 5y - 20 = 0$, $d':x = 5$, $d'':y = 4$

Khi đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là miền tam giác không tô màu trong hình vẽ dưới đây:

Giá trị lớn nhất của $M\left( {x;y} \right) = 2\,\,000x + 10\,\,000y$ đạt được tại một trong các điểm đỉnh của miền tam giác, đó là các điểm $\left( {5;\,\,3} \right)$, $\left( {5;\,\,0} \right)$; $\left( {20;\,\,0} \right)$.

Ta có:

$M\left( {5;\,\,3} \right) = 40\,\,000$

$M\left( {5;\,\,0} \right) = 10\,\,000$

$M\left( {20;\,\,0} \right) = 40\,\,000$

Vậy giá trị lớn nhất của $M\left( {x;y} \right) = 2\,\,000x + 10\,\,000y$ là 40 000 (đồng) tại điểm $\left( {5;3} \right)$ hoặc $\left( {20;\,\,0} \right)$.

Vậy để thu được lãi cao nhất cô liên có hai cách chọn bưởi, cách thứ nhất là chọn 5 quả bưởi loại II và 3 quả bưởi loại I, cách thứ hai là chọn 20 quả bưởi loại II và không chọn bưởi loại I.

Hướng dẫn giải

Tập hợp $A = \left( { - \infty ;\,m + 1} \right]$ và $B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)$

a) Với $m = 2$ ta có $A = \left( { - \infty ;\,3} \right]$ và $B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)$

Ta có:

Vậy tập $A \cap B = \left( { - 2;\,3} \right]$.

b) Để $A \cap B = \emptyset$ thì $m + 1 \le - 2 \Leftrightarrow m \le - 3$

Vậy $m \le - 3$ thì $A \cap B = \emptyset$.

Kí hiệu như hình vẽ trên với $A$, $C$ lần lượt là đỉnh và chân của tòa nhà; $B$ và $D$ lần lượt là đỉnh và gốc của cây.

Xét tam giác $ABC$

Do $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BCD} = 24^\circ \\\widehat {BCD} + \widehat {ACB} = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {ACB} = 66^\circ$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}\widehat {xAB} = 60^\circ \\\widehat {xAB} + \widehat {CAB} = 90^\circ \end{array} \right. \Rightarrow \widehat {CAB} = 30^\circ$.

Suy ra $\widehat {ABC} = 180^\circ - \left( {66^\circ + 30^\circ } \right) = 84^\circ$.

Áp dụng định lí sin ta có:

$\frac{{BC}}{{\sin 30^\circ }} = \frac{{AC}}{{\sin 84^\circ }} \Rightarrow BC = \frac{{AC \cdot \sin 30^\circ }}{{\sin 84^\circ }} = \frac{{155 \cdot \sin 30^\circ }}{{\sin 84^\circ }} \approx 77{,}93$ (m).

Xét tam giác $CBD$ vuông tại $D$

Ta có: $\sin \widehat {BCD} = \frac{{BD}}{{BC}} \Rightarrow \sin 24^\circ \approx \frac{{BD}}{{77{,}93}} \Rightarrow BD \approx 77{,}93 \cdot \sin 24^\circ \approx 31{,}70$ (m)

Vậy chiều cao của cái cây khoảng 31,70 mét.