Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề kéo theo “Tam giác $ABC$ là tam giác đều $\Rightarrow$ Tam giác $ABC$ cân” là mệnh đề đúng nhưng mệnh đề đảo “Tam giác $ABC$ cân $\Rightarrow$ Tam giác $ABC$ là tam giác đều” là mệnh đề sai.

Do đó, hai mệnh đề “Tam giác $ABC$ là tam giác đều” và “Tam giác $ABC$ cân” không phải là hai mệnh đề tương đương.

Đáp án đúng là: C

Câu “Số 2 022 có chia hết cho 4 không?” là câu hỏi, không xác định tính đúng sai nên không phải là mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáp án A: Nếu $a \ge b$ thì ${a^2} \ge {b^2}$ là mệnh đề sai, ví dụ với $a = - 2 \Rightarrow {a^2} = 4$; $b = - 3 \Rightarrow {b^2} = 9$ ta có $a > b$ nhưng ${a^2} < {b^2}$.

Đáp án B: Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a$ chia hết cho $9$ là mệnh đề sai, ví dụ với $a = 6$ chia hết cho $3$ nhưng $6$ không chia hết cho $9$.

Đáp án C: Nếu tam giác có một góc bằng $60^\circ$ thì tam giác đó là tam giác đều là mệnh đề sai ví dụ ta có:

Tam giác $ABC$ có góc $\widehat C = 60^\circ$nhưng tam giác $ABC$ không phải là tam giác đều

Đáp án D: Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại là mệnh đề đúng (theo bất đẳng thức tam giác).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Câu “$\sqrt 2$là một số vô tỉ” là một câu khẳng định đúng nên đây là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.

+) Câu “$5 + 3 < 7$” là một mệnh đề sai. Do đó B sai.

+) Câu “$100$ tỉ là số nguyên lớn nhất” là một câu khẳng định sai nên đây là một mệnh đề sai. Do đó C sai.

+) Câu “Trời hôm nay đẹp quá!” là một câu cảm thán không xác định được tính đúng sai nên đây không là mệnh đề. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$${x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\end{array} \right.$$

Mà $2;\, - 2\, \in \,\mathbb{Z}$ nên $B = \left\{ { - 2;\,2} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Các tập con của tập $A$ là: $\left\{ 1 \right\},\,\left\{ 2 \right\},\,\left\{ 3 \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2} \right\},\,\left\{ {1;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {2;\,\,3} \right\},\,\,\left\{ {1;\,\,2;\,\,3} \right\},\,\,\emptyset$.

Vậy tập không là con của tập $A$ là: $\left\{ {12;\,3} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $P \cup Q = \left\{ {0;\,\,\,1;\,\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,\,5;\,\,\,6;\,\,\,7;\,\,\,8;\,\,\,9} \right\}$.

Vậy số phần tử của tập $P \cup Q$ là $10$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $A\backslash B = \left\{ {3;\,4} \right\}$ và $B\backslash A = \left\{ {5;6} \right\}$

Vậy $\left( {A\backslash B} \right) \cap \left( {B\backslash A} \right) = \emptyset$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

+) Thay $x = 0$ và $y = 1$ vào từng bất phương trình của hệ đã cho ta được:

$0 + 3.1--2 = 1 \ge 0$ là một mệnh đề đúng.

$2.0 + 1 + 1 = 2 \le 0$ là một mệnh đề sai.

Do đó điểm $M\left( {0;\,1} \right)$ không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Tương tự, thay $x = - 1$ và $y = 1$ ta được:

$- 1 + 3.1--2 = 0 \ge 0$là mệnh đề đúng.

$2.\left( { - 1} \right) + 1 + 1 = 0 \le 0$ là mệnh đề đúng.

Điểm $N\left( { - 1;\,1} \right)$ là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = 1$ và $y = 3$ ta được:

$1 + 3.3--2 = 8 \ge 0$ là mệnh đề đúng.

$2.1 + 3 + 1 = 6 \le 0$ là mệnh đề sai.

Điểm $P\left( {1;\,3} \right)$ không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

+) Thay $x = - 1$ và $y = 0$ ta được:

$- 1 + 3.0--{\rm{2}} = - 3 \ge 0$ là mệnh đề sai.

$2.\left( { - 1} \right) + 0 + 1 = - 1 \le 0$ là mệnh đề đúng.

Điểm $Q\left( { - 1;\,0} \right)$ không thuộc nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+ $2\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 2} \right) > 5 \Leftrightarrow 2x + 3y > 13$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+ $x - y(2y + 1) \le - 3 \Leftrightarrow x - 2{y^2} - y \le - 3$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa ${y^2}$.

+ $2\left( {x - 1} \right) - 2x + 4\sqrt y < 2 \Leftrightarrow 4\sqrt y < 4$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì chứa $\sqrt y$.

+ $2x\left( {x + 3} \right) - y \le 2 \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - y \le 2$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có chứa ${x^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi phương trình đường thẳng $d$ có dạng: $y = ax + b$.

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $\left( {1;\,0} \right)$ và $\left( {0;\, - 2} \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$$\left\{ \begin{array}{l}a + b = 0\\0a + b = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 2\end{array} \right.$$

Vậy $d$: $y = 2x - 2$hay $2x--y = 2$

Lấy điểm $\left( {0;\,1} \right)$ thuộc miền nghiệm của bất phương trình cần tìm, thay tọa độ điểm $\left( {0;\,1} \right)$ vào biểu thức $2x--y = 2$ ta được: $2.0--1 = - 1 < 2$.

Vậy miền nghiệm được biểu diễn bởi nửa mặt phẳng không bị gạch (kể cả đường thẳng $d$) là miền nghiệm của bất phương trình$2x--y \le 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) $\left\{ \begin{array}{l}x + y > x - 3\\x + y < 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y > - 3\\x + y < 4\end{array} \right.$là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\2x - 4y < 2x - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - y \ge 1\\ - 4y < - 1\end{array} \right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình ${x^2} - y \ge 1$ có chứa ${x^2}$ nên không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

+) $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z > 0\\2y - 4 < 0\end{array} \right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn là $x,\,\,y,\,\,z$.

+) $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 0\\x - 3{y^2} + 4 < 0\end{array} \right.$ không là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì bất phương trình ${x^2} \ge 0$ có chứa ${x^2}$ và bất phương trình $x - 3{y^2} + 4 < 0$có chứa ${y^2}$ đều không là các bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Đường thẳng ${d_1}$ có dạng: $y = ax + b$

Đường thẳng này đi qua $O\left( {0;\,\,0} \right)$ và $M\left( {2;\,\,1} \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}0 = a.0 + b\\1 = a.2 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = 0\end{array} \right.$

$\Rightarrow {d_1}:y = \frac{1}{2}x$ hay $x - 2y = 0$.

Ta lấy điểm $N\left( {0;1} \right)$ có $0 - 2.1 = - 2 < 0$ là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm (không kể biên) nên ta có bất phương trình: $x - 2y < 0$.

+) Đường thẳng ${d_2}$ có dạng: $y = a'x + b'$

Đường thẳng này đi qua $\left( { - 2;\,\,0} \right)$ và $\left( {0;\,\, - \frac{2}{3}} \right)$ nên ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}0 = a.\left( { - 2} \right) + b\\ - \frac{2}{3} = a.0 + b\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + b = 0\\b = - \frac{2}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{3}\\b = - \frac{2}{3}\end{array} \right.$

$\Rightarrow {d_1}:y = - \frac{1}{3}x - \frac{2}{3}$ hay $x + 3y = - 2$.

Ta lấy điểm $N\left( {0;1} \right)$ có $0 + 3.1 = 3 > - 2$ là điểm thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình cần tìm (không kể biên) nên ta có bất phương trình: $x + 3y > - 2$.

Vì vậy ta có hệ bất phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+)Thay $x = - 1;\,y = 3$ vào bất phương trình $- 3x + 2y - 4 > 0$ ta được $- 3.( - 1) + 2.3 - 4 = 5 > 0$ là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.

+) Thay $x = - 1;\,y = 3$ vào bất phương trình $x + 3y < 0$ ta được $- 1 + 3.3 = 8 < 0$ là một mệnh đề sai. Do đó B sai.

+) Thay $x = - 1;\,y = 3$vào bất phương trình $3x - y > 0$ ta được $3.( - 1) - 3 = - 6 > 0$ là một mệnh đề sai. Do đó C sai.

+) Thay $x = - 1;\,y = 3$vào bất phương trình $2x - y + 4 > 0$ ta được $2.( - 1) - 3 + 4 = - 1 > 0$ là một mệnh đề sai. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó: $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)$

+) $\sin A = \sin \left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = \sin \left( {B + C} \right)$. Do đó A đúng.

+) $cosA = cos\left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = - cos\left( {B + C} \right)$. Do đó B sai.

Ta lại có: $0^\circ < \widehat A,\widehat B,\,\widehat C < 180^\circ$ nên:

+) ${\rm{cosA}}\,{\rm{ > }}\,{\rm{0}}$ khi $0^\circ < \widehat A < 90^\circ$;

${\rm{cosA}}\, = \,{\rm{0}}$ khi $\widehat A = 90^\circ$;

${\rm{cosA}}\, < \,{\rm{0}}$ khi $90^\circ < \widehat A < 180^\circ$. Do đó C sai.

+) $\sin A > 0$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi góc $\alpha$ thoả mãn $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ ta luôn có

$\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha$;

${\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha$;

$\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)$;

$\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)$.

Vậy đáp án B sai, đáp án A, C, D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $a({a}^{2}-{c}^{2})=b({b}^{2}-{c}^{2})$

$\Leftrightarrow {a}^{3}-{b}^{3}-{c}^{2}(a-b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)({a}^{2}+ab+{b}^{2})-{c}^{2}(a-b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)({a}^{2}+ab+{b}^{2}-{c}^{2})=0$

Do a ≠ b nên ${a}^{2}+ab+{b}^{2}-{c}^{2}=0\Leftrightarrow {a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=-ab$

$$\Rightarrow cos\widehat {BCA} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = - \frac{{ab}}{{2ab}} = - \frac{1}{2}$$

Do đó: $\widehat {BCA} = 120^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$ là khẳng định đúng (theo định lí cosin).

Xét đáp án B: $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \frac{{c.\sin B}}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}$ là khẳng định đúng (theo địn lí sin).

Xét đáp án C: $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$ là khẳng định đúng (theo công thức Heron).

Xét đáp án D: $S = \frac{1}{2}ab.\sin C$ khẳng định D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích tam giác $ABC$ đều là:

$$S = AB.AC.sinA = \frac{1}{2}.2a.2a.sin60^\circ = {a^2}\sqrt 3$$

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là:

$$p = \frac{{2a + 2a + 2a}}{2} = 3a$$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là:

$r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \Rightarrow {(sin\alpha + cos\alpha )^2} = 2 \Rightarrow 1 + 2sin\alpha .cos\alpha = 2 \Rightarrow sin\alpha .cos\alpha = \frac{1}{2}$$

$tan\alpha + cot\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} \Rightarrow tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat {CAD} = 63^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 117^\circ \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ$

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABD$ ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}$

Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ nên có: $\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow CD = BD.\sin \widehat {CBD}$

Vậy $CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin 117^\circ .sin48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 61{,}4m$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos A = {6^2} + {3^2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 27 \Rightarrow BC = 3\sqrt 3$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

$\Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {OB}$ là: $\overrightarrow {BE} ,\,\,\overrightarrow {EB} ,\,\,\overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {FA} ,\,\,\overrightarrow {AF}$.

Vậy có $6$ vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {OB}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên $ABCD$ là hình chữ nhật $\Leftrightarrow AC = BD$ hay $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Do đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng hướng và $AB = CD$.

Vậy đáp án A, B, D sai. Đáp án C đúng.

Hướng dẫn giải

a) $B = A\backslash C = \left( { - \infty ;\, - 3} \right]\backslash \left[ { - 3;\,8} \right] = \left( { - \infty ;\, - 3} \right)$

$\Rightarrow B = \left( { - \infty ;\, - 3} \right)$.

b) Để $C \cap D$ ta có 2 trường hợp: $m - 3 < - 3$ và $m - 3 \ge - 3$. Khi đó:

+) TH1: $m - 3 < - 3 \Leftrightarrow m < 0$.

$\Rightarrow A \cap B = \left[ { - 3;\,8} \right] \Rightarrow AB = 11 \ne 4$ (loại).

+) TH2: $m - 3 \ge - 3 \Leftrightarrow m \ge 0$

$$\Rightarrow A \cap B = \left[ {m - 3;\,8} \right]$$

Để $C \cap D$ là đoạn thẳng có độ dài bằng 4 thì $8 - \left( {m - 3} \right) = 4 \Leftrightarrow m = 7$ (tmđk).

Vậy $m = 7$thì $C \cap D$ là đoạn thẳng có độ dài bằng 4.

Ta có: $\widehat {PAQ} = \widehat {BQA} - \widehat {BPA} = 48^\circ - 35^\circ = 13^\circ$ (tính chất góc ngoài trong tam giác).

Áp dụng định lí sin trong tam giác $APQ$, ta có: $\frac{{PQ}}{{\sin \widehat {PAQ}}} = \frac{{AQ}}{{\sin \widehat {BPA}}}$.

Thay số: $\frac{{300}}{{\sin 13^\circ }} = \frac{{AQ}}{{\sin 35^\circ }}$$\Rightarrow AQ \approx 764{,}93\;{\rm{(m)}}$.

Tam giác $ABQ$ vuông tại $B$ nên $AB = AQ \cdot \sin 48^\circ$$\approx 568{,}46\,{\rm{(m)}}$.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng xấp xỉ bằng 568,46 m.

Hướng dẫn giải

Gọi $x,{\rm{ }}y\,(x \ge 0,\,y \ge 0,\,x,\,y \in \mathbb{N})$ lần lượt là số áo dài tay và ngắn tay mà cửa hàng nên mua để kinh doanh lãi nhất.

Theo yêu cầu bài toán, ta có hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 100\\8x + 6y \le 720\end{array} \right.$$\left( 1 \right)$

Ta cần tìm $x,\,y$ để biểu thức $F = 150.000x + 120.000y$ đạt GTLN trên miền nghiệm của $\left( 1 \right)$.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left( 1 \right)$:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác $OABC$.

Các điểm ở đỉnh tứ giác có tọa độ: $O\left( {0;\,0} \right),\,A\left( {0;\,100} \right),\,B\left( {60;\,40} \right),\,C\left( {90;\,0} \right)$.

Tại $O\left( {0;\,0} \right)$: $F = 0$

Tại $A\left( {0;\,100} \right)$: $F = 12.000.000$

Tại $B\left( {60;\,40} \right)$: $F = 13.800.000$

Tại $C\left( {90;\,0} \right)$: $F = 13.500.000$

Vậy cửa hang nên nhập $60$ cái áo dài tay và $40$ cái áo ngắn tay để kinh doanh thì có lãi nhất và lãi thu được là $13.800.000$ đồng.