Bộ 10 đề thi Giữa kì 1 Toán 10 Cánh Diều có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ có: $\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ$ (định lý tổng ba góc trong một tam giác)

Do đó: $\widehat A = 180^\circ - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)$

+) $\sin A = \sin \left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = \sin \left( {B + C} \right)$. Do đó A đúng.

+) $cosA = cos\left( {180^\circ - \left( {B + C} \right)} \right) = - cos\left( {B + C} \right)$. Do đó B sai.

Ta lại có: $0^\circ < \widehat A,\widehat B,\,\widehat C < 180^\circ$ nên:

+) ${\rm{cosA}}\,{\rm{ > }}\,{\rm{0}}$ khi $0^\circ < \widehat A < 90^\circ$;

${\rm{cosA}}\, = \,{\rm{0}}$ khi $\widehat A = 90^\circ$;

${\rm{cosA}}\, < \,{\rm{0}}$ khi $90^\circ < \widehat A < 180^\circ$. Do đó C sai.

+) $\sin A > 0$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi góc $\alpha$ thoả mãn $0^\circ \le \alpha \le 180^\circ$ ta luôn có

$\sin \left( {180^\circ - \alpha } \right) = \sin \alpha$;

${\rm{cos}}\left( {180^\circ - \alpha } \right) = - {\rm{cos}}\alpha$;

$\tan \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \tan \alpha \left( {\alpha \ne 90^\circ } \right)$;

$\cot \left( {180^\circ - \alpha } \right) = - \cot \alpha \left( {0^\circ < \alpha < 180^\circ } \right)$.

Vậy đáp án B sai, đáp án A, C, D đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $a({a}^{2}-{c}^{2})=b({b}^{2}-{c}^{2})$

$\Leftrightarrow {a}^{3}-{b}^{3}-{c}^{2}(a-b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)({a}^{2}+\mathrm{ab}+{b}^{2})-{c}^{2}(a-b)=0$

$\Leftrightarrow (a-b)({a}^{2}+\mathrm{ab}+{b}^{2}-{c}^{2})=0$

Do a ≠ b nên ${a}^{2}+\mathrm{ab}+{b}^{2}-{c}^{2}=0\Leftrightarrow {a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}=-\mathrm{ab}$

$$\Rightarrow cos\widehat {BCA} = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}} = - \frac{{ab}}{{2ab}} = - \frac{1}{2}$$

Do đó: $\widehat {BCA} = 120^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét đáp án A: ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc.\cos A$ là khẳng định đúng (theo định lí cosin).

Xét đáp án B: $\frac{b}{{\sin B}} = \frac{c}{{\sin C}} \Rightarrow b = \frac{{c.\sin B}}{{{\mathop{\rm sinC}\nolimits} }}$ là khẳng định đúng (theo địn lí sin).

Xét đáp án C: $S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}$ là khẳng định đúng (theo công thức Heron).

Xét đáp án D: $S = \frac{1}{2}ab.\sin C$ khẳng định D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Diện tích tam giác $ABC$ đều là:

$$S = AB.AC.sinA = \frac{1}{2}.2a.2a.sin60^\circ = {a^2}\sqrt 3$$

Nửa chu vi tam giác $ABC$ là:

$$p = \frac{{2a + 2a + 2a}}{2} = 3a$$

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ là:

$r = \frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{3a}} = \frac{a}{{\sqrt 3 }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$$\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt 2 \Rightarrow {(sin\alpha + cos\alpha )^2} = 2 \Rightarrow 1 + 2sin\alpha .cos\alpha = 2 \Rightarrow sin\alpha .cos\alpha = \frac{1}{2}$$

$tan\alpha + cot\alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} \Rightarrow tan\alpha + cot\alpha = \frac{1}{{\frac{1}{2}}} = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\widehat {CAD} = 63^\circ \Rightarrow \widehat {BAD} = 117^\circ \Rightarrow \widehat {ADB} = 180^\circ - \left( {117^\circ + 48^\circ } \right) = 15^\circ$

Áp dụng định lý sin trong tam giác $ABD$ ta có:

$\frac{{AB}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{BD}}{{\sin \widehat {BAD}}} \Rightarrow BD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}}}{{\sin \widehat {ADB}}}$

Tam giác $BCD$ vuông tại $C$ nên có: $\sin \widehat {CBD} = \frac{{CD}}{{BD}} \Rightarrow CD = BD.\sin \widehat {CBD}$

Vậy $CD = \frac{{AB.\sin \widehat {BAD}.\sin \widehat {CBD}}}{{\sin \widehat {ADB}}} = \frac{{24.\sin 117^\circ .sin48^\circ }}{{\sin 15^\circ }} = 61{,}4m$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác $ABC$, ta có:

$B{C^2} = A{C^2} + A{B^2} - 2AC \cdot AB \cdot \cos A = {6^2} + {3^2} - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos 60^\circ = 27 \Rightarrow BC = 3\sqrt 3$.

Áp dụng định lí sin trong tam giác $ABC$, ta có: $\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R$

$\Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{2\sin 60^\circ }} = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Các vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {OB}$ là: $\overrightarrow {BE} ,\,\,\overrightarrow {EB} ,\,\,\overrightarrow {DC} ,\,\,\overrightarrow {CD} ,\,\,\overrightarrow {FA} ,\,\,\overrightarrow {AF}$.

Vậy có $6$ vectơ cùng phương với vectơ $\overrightarrow {OB}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên $ABCD$ là hình chữ nhật $\Leftrightarrow AC = BD$ hay $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hai vectơ gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.

Do đó $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$ khi và chỉ khi $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {CD}$ cùng hướng và $AB = CD$.

Vậy đáp án A, B, D sai. Đáp án C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

Phủ định của $\forall$ là $\exists$;

Phủ định của $<$ là $\ge$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Câu “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là khẳng định đúng. Do đó “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam” là mệnh đề.

Câu “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là khẳng định sai. Do đó “Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau” là mệnh đề.

Câu “2 là số nguyên tố” là khẳng định đúng. Do đó “2 là số nguyên tố” là mệnh đề.

Câu “Hôm nay là thứ mấy?” là câu hỏi nên không là mệnh đề.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biểu diễn mệnh đề “Tồn tại số thực $x$ để $x$ chia hết cho 2” dưới dạng kí hiệu là

“$\exists x \in \mathbb{R}|x\,\, \vdots \,\,2$”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

A là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.

B là mệnh đề sai: Ví dụ: 1 + 3 = 4 là số chẵn nhưng 1, 3 là số lẻ.

C là mệnh đề sai: Ví dụ: 2.3 = 6 là số chẵn nhưng 3 là số lẻ.

D là mệnh đề đúng: Ví dụ: 1.3 = 3 là số lẻ và 1, 3 đều là số lẻ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi $A$ là tập hợp học sinh lớp 10A; $B$ là tập học sinh được xếp loại học lực giỏi; $C$ là tập học sinh được xếp loại hạnh kiểm tốt. Khi đó tập hợp cần tìm là tập $B \cup C$. Được thể hiện trong biểu đồ Ven như sau:

Khi đó $\left| {B \cup C} \right| = \left| B \right| + \left| C \right| - \left| {B \cap C} \right| = 15 + 20 - 10 = 25$

Vậy có 25 học sinh xếp loại học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $M = \left\{ {x \ge 0|{x^2} < 4} \right\} = \left[ {0;2} \right)$;

$N = \left\{ {x \in \mathbb{R}| - 4 < x - 5 < 4} \right\} = \left\{ {x \in \mathbb{R}|1 < x < 9} \right\} = \left( {1;\,\,9} \right)$.

Vậy $L = M \cap N = \left( {1;\,\,2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tính chất đặc trưng của các phần tử thuộc tập hợp $L = \left\{ {x \in \mathbb{N}|x \le 10} \right\}$ đều là các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $A = \left( { - \infty ;\,5} \right)$ và $B = \left[ { - 1;\, + \infty } \right)$

Suy ra $A \cap B = \left[ { - 1;\,5} \right)$

Vì vậy $\left[ { - 1;\,4} \right]$ là tập con của tập $A \cap B$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $0 + 5 \cdot 0 = 0 < 2$, do đó miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $x + 5y > 2$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $d:x + 5y = 2$ không chứa gốc tọa độ $O\left( {0;\,\,0} \right)$ (không kể bờ $d$).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${3^3}x + {4^2}y > 25 \Leftrightarrow 27x + 16y > 25$, đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+)Thay $x = - 1;\,y = 3$ vào bất phương trình $- 3x + 2y - 4 > 0$ ta được $- 3.( - 1) + 2.3 - 4 = 5 > 0$ là một mệnh đề đúng. Do đó A đúng.

+) Thay $x = - 1;\,y = 3$ vào bất phương trình $x + 3y < 0$ ta được $- 1 + 3.3 = 8 < 0$ là một mệnh đề sai. Do đó B sai.

+) Thay $x = - 1;\,y = 3$vào bất phương trình $3x - y > 0$ ta được $3.( - 1) - 3 = - 6 > 0$ là một mệnh đề sai. Do đó C sai.

+) Thay $x = - 1;\,y = 3$vào bất phương trình $2x - y + 4 > 0$ ta được $2.( - 1) - 3 + 4 = - 1 > 0$ là một mệnh đề sai. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\{5^2}x + 7y > 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y < 1\\25x + 7y > 2\end{array} \right.$, đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì các bất phương trình trong hệ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $- 1 - 5 = - 6 < 2;\,\,2 \cdot \left( { - 1} \right) + 5 = 3 < 8;\,\, - \left( { - 1} \right) + 3 \cdot 5 = 16 > 6$.

Vậy cặp số $\left( { - 1;\,\,5} \right)$ là một nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 2\\2x + y < 8\\ - x + 3y \ge 6\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

+) Miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y < 0$:

Vẽ đường thẳng ${d_1}:x - 2y = 0$ đi qua hai điểm $\left( {0;\,0} \right)$ và $\left( {2;\,1} \right)$.

Chọn điểm $M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_1}$ và thay vào bất phương trình ta được: $0 - 2.1 = - 2 < 0$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x - 2y < 0$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}$ chứa $M\left( {0;\,1} \right)$.

+) Miền nghiệm của bất phương trình $x + 3y > - 2$:

Vẽ đường thẳng ${d_2}:x + 3y = - 2$ đi qua hai điểm $\left( {0;\,\frac{{ - 2}}{3}} \right)$ và $\left( { - 2;\,0} \right)$.

Chọn điểm $M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_2}$ và thay vào bất phương trình ta được $0 + 3.1 = 3 > - 2$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $x + 3y > - 2$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}$ chứa $M\left( {0;\,1} \right)$.

+) Miền nghiệm của bất phương trình $y - x < 3$:

Vẽ đường thẳng ${d_3}: - x + y = 3$ đi qua hai điểm $\left( {0;\, - 3} \right)$ và $\left( {0;\,3} \right)$.

Chọn điểm $M\left( {0;\,1} \right) \notin {d_3}$ và thay vào bất phương trình ta được $- 0 + 1 = 1 < 3$.

Do đó, miền nghiệm của bất phương trình $y - x < 3$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}$ chứa $M\left( {0;\,1} \right)$.

Giao của ba miền nghiệm trên ta sẽ được miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho và là miền không tô đậm trong hình vẽ và không kể đường thẳng ${d_1};\,\,{d_2};\,\,{d_3}$.

Ta có: $\widehat {PAQ} = \widehat {BQA} - \widehat {BPA} = 48^\circ - 35^\circ = 13^\circ$ (tính chất góc ngoài trong tam giác).

Áp dụng định lí sin trong tam giác $APQ$, ta có: $\frac{{PQ}}{{\sin \widehat {PAQ}}} = \frac{{AQ}}{{\sin \widehat {BPA}}}$.

Thay số: $\frac{{300}}{{\sin 13^\circ }} = \frac{{AQ}}{{\sin 35^\circ }}$$\Rightarrow AQ \approx 764{,}93\;{\rm{(m)}}$.

Tam giác $ABQ$ vuông tại $B$ nên $AB = AQ \cdot \sin 48^\circ$$\approx 568{,}46\,{\rm{(m)}}$.

Vậy chiều cao của tháp hải đăng xấp xỉ bằng 568,46 m.

Tập hợp $A = \left( { - \infty ;\,m + 1} \right]$ và $B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)$

a) Với $m = 2$ ta có $A = \left( { - \infty ;\,3} \right]$ và $B = \left( { - 2;\, + \infty } \right)$

Ta có:

Vậy tập $A \cap B = \left( { - 2;\,3} \right]$.

b) Để $A \cap B = \emptyset$ thì $m + 1 \le - 2 \Leftrightarrow m \le - 3$

Vậy $m \le - 3$ thì $A \cap B = \emptyset$.

Gọi $x,\,y$ lần lượt là số radio kiểu một và kiểu hai sản xuất được trong một ngày. $\left( {x,\,\,y \ge 0} \right)$

Vì radio kiểu một sản xuất trên dây chuyền một với công suất 45 radio/ngày, radio kiểu hai sản xuất trên dây chuyền hai với công suất 80 radio/ngày nên $x \le 45,\,\,y \le 80$.

Sản xuất $x$ chiếc radio kiểu một và $y$ chiếc radio kiểu hai cần số linh kiện là $12x + 9y$.

Mà số linh kiện có thể sử dụng tối đa trong một ngày là 900 nên $12x + 9y \le 900$ hay tương đương với $4x + 3y \le 300$.

Tiền lãi thu được khi bán $x$ chiếc radio kiểu một và $y$ chiếc radio kiểu hai là $T = 250\,\,000x + 180\,\,000y$ (đồng).

Khi đó, bài toán đã cho trở thành: Tìm $\left( {x;\,\,y} \right)$ thỏa mãn hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.$để $T = 250\,\,000x + 180\,\,000y$ lớn nhất.

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.$ lên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ ta được:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 45\\0 \le y \le 80\\4x + 3y \le 300\end{array} \right.$ là miền ngũ giác $OABCD$ (kể cả biên) với $O\left( {0;\,\,0} \right),\,\,A\left( {0;\,\,80} \right),\,\,B\left( {15;\,\,80} \right),\,\,C\left( {45;\,\,40} \right),\,\,D\left( {45;\,\,0} \right)$.

Người ta chứng minh được $T = 250\,\,000x + 180\,\,000y$ đạt giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của ngũ giác $OABCD$.

Ta có: $T\left( {0;\,\,0} \right) = 0$;

$T\left( {0;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 0 + 180\,\,000 \cdot 80 = 14\,\,400\,\,000$;

$T\left( {15;\,\,80} \right) = 250\,\,000 \cdot 15 + 180\,\,000 \cdot 80 = 18\,\,150\,\,000$;

$T\left( {45;\,\,40} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 40 = 18\,\,450\,\,000$;

$T\left( {45;\,\,0} \right) = 250\,\,000 \cdot 45 + 180\,\,000 \cdot 0 = 11\,\,250\,\,000$.

Do đó, $T = 250\,\,000x + 180\,\,000y$ đạt giá trị lớn nhất tại $\left( {x;\,\,y} \right) = \left( {45;\,\,40} \right)$.

Vậy cần sản xuất 45 radio kiểu một và 40 radio kiểu hai thì lãi thu được trong một ngày là lớn nhất.