Bộ 10 đề thi cuối kì Toán 8 Cánh diều có đáp án - Đề 6

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\left( {x - 3y} \right)^2} = {x^2} - 2 \cdot x \cdot 3y + {\left( {3y} \right)^2} = {x^2} - 6xy + 9{y^2}.$

Đơn thức cần điền là $9{y^2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biểu thức $\frac{{2{x^2} - x + 1}}{{\frac{1}{{x - y}}}}$ không phải phân thức vì $\frac{1}{{x - y}}$ không phải là đa thức.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tung độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất $y = - 2x + 4$ với trục $Ox$ là 0.

Do đó ta có $0 = - 2x + 4$

Suy ra $x = 2.$

Vậy tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số bậc nhất $y = - 2x + 4$ với trục $Ox$ là $\left( {2\,;\,\,0} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét đường thẳng $y = ax + b.$

⦁ Khi $a < 0$ thì góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục $Ox$ là góc tù.

⦁ Khi $a = 0$ thì ta có hàm số $y = b,$ đường thẳng này song song với trục $Ox.$

⦁ Thay $x = 0$ vào hàm số $y = ax + b,$ ta được $y = a \cdot 0 + b = b.$ Do đó đường thẳng $y = ax + b$ đi qua điểm $\left( {0;b} \right).$

⦁ Với $a \ne 0,$ khi $a$ càng lớn thì góc tạo bởi đường thẳng $y = ax + b$ và trục $Ox$ càng lớn.

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáy của hình chóp tam giác đều là tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Công thức tính thể tích của hình chóp đều là: $V = \frac{1}{3}Sh$

Suy ra diện tích đáy là $S = \frac{{3V}}{h}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ICD$ có $\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} + \widehat {CID} = 180^\circ$ (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = 180^\circ - \widehat {CID} = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ .$

Do $CI$ là tia phân giác của $\widehat {C\,}$ nên $\widehat {{C_1}} = \frac{1}{2}\widehat {C\,}.$

Do $DI$ là tia phân giác của $\widehat {D\,}$ nên $\widehat {{D_1}} = \frac{1}{2}\widehat {D\,}.$

Suy ra $\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}} = \frac{1}{2}\widehat {C\,} + \frac{1}{2}\widehat {D\,} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {C\,} + \widehat {D\,}} \right)$

Do đó $\widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 2\left( {\widehat {{C_1}} + \widehat {{D_1}}} \right) = 2 \cdot 65^\circ = 130^\circ .$

Xét tứ giác $ABCD$ có $\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} + \widehat {C\,} + \widehat {D\,} = 360^\circ$ (tổng các góc của một tứ giác)

Do đó $\widehat {A\,\,} + \widehat {B\,} = 360^\circ - \left( {\widehat {C\,} + \widehat {D\,}} \right) = 360^\circ - 130^\circ = 230^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Hướng dẫn giải

a) $2{x^2} - 8x = 0$

$$2x\left( {x - 4} \right) = 0$$

Suy ra $2x = 0$ hoặc $x - 4 = 0$

$x = 0$ hoặc $x = 4$

Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,4} \right\}$.

b) ${\left( {x + 2} \right)^2} - x\left( {x - 1} \right) = 10$

${x^2} + 4x + 4 - {x^2} + x = 10$

$$\left( {{x^2} - {x^2}} \right) + \left( {4x + x} \right) = 10 - 4$$

$5x = 6$

$x = \frac{6}{5}$

Vậy$x = \frac{6}{5}$.

c) ${x^3} - 6{x^2} + 9x = 0$

$$x\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 0$$

$$x{\left( {x - 3} \right)^2} = 0$$

Suy ra $x = 0$ hoặc ${\left( {x - 3} \right)^2} = 0{\rm{ }}$

$x = 0$ hoặc $x - 3 = 0{\rm{ }}$

$x = 0$ hoặc $x = 3$

Vậy $x \in \left\{ {0;\,\,3} \right\}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của biểu thức $D$ là: $3x \ne 0;{\rm{ }}x + 1 \ne 0;$$\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0$

Xét $3x \ne 0$ ta có $x \ne 0.$

Xét $x + 1 \ne 0$ ta có $x \ne --1.$

Xét $\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} \ne 0$ ta có $2--4x \ne 0$ và $x + 1 \ne 0,$ hay $x \ne \frac{1}{2}$ và $x \ne --1.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $D$ là $x \ne 0;x \ne - 1;x \ne \frac{1}{2}.$

b) Với $x \ne 0;x \ne - 1;x \ne \frac{1}{2},$ ta có:

$D = \left( {\frac{{x + 2}}{{3x}} + \frac{2}{{x + 1}} - 3} \right):\frac{{2 - 4x}}{{x + 1}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 1} \right) + 2 \cdot 3x - 3 \cdot 3x\left( {x + 1} \right)}}{{3x \cdot \left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{{x^2} + 2x + x + 2 + 6x - 9{x^2} - 9x}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{ - 8{x^2} + 2}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x + 1}}{{2 - 4x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{2\left( {1 - 4{x^2}} \right) \cdot \left( {x + 1} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right) \cdot \left( {2 - 4x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{2\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}}{{3x \cdot 2\left( {1 - 2x} \right)}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}}$

$= \frac{{1 + 2x}}{{3x}} - \frac{{3x - {x^2} + 1}}{{3x}} = \frac{{1 + 2x - 3x + {x^2} - 1}}{{3x}}$

$= \frac{{{x^2} - x}}{{3x}} = \frac{{x\left( {x - 1} \right)}}{{3x}} = \frac{{x - 1}}{3}$.

Vậy với $x \ne 0;x \ne - 1;x \ne \frac{1}{2},$ thì $D = \frac{{x - 1}}{3}.$

c) Ta thấy $x = \frac{1}{2}$ thỏa mãn điều kiện xác định.

Do đó, giá trị của biểu thức $D$ tại $x = \frac{1}{2}$ là: $D = \frac{{\frac{1}{2} - 1}}{3} = \frac{{ - \frac{1}{2}}}{3} = - \frac{1}{6}.$

Vậy $D = - \frac{1}{6}$ khi $x = \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

a) 1 triệu đồng $= 1{\rm{ }}000$ nghìn đồng.

Hàm số biểu thị tổng chi phí $y$ (nghìn đồng) để thuê một chiếc thuyền du lịch trong $x$ (giờ) là: $y = 1{\rm{ }}000 + 500x$ (nghìn đồng).

b) Đồ thị hàm số $y = 1{\rm{ }}000 + 500x$ đi qua hai điểm $\left( {--2\,;\,\,0} \right)$ và $\left( {0\,;\,\,1{\rm{ }}000} \right)$ nên đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới.

Tổng chi phí cho một lần thuê trong $x = 3$ giờ tương ứng với điểm $y = 2{\rm{ }}500$ nghìn đồng = 2 triệu 500 nghìn đồng.

c) Giao điểm của đồ thị với trục tung là điểm $\left( {0\,;\,\,\,1{\rm{ }}000} \right).$ Giao điểm này biểu thị chi phí cố định khi thuê thuyền, dù không sử dụng giờ nào (tức là $x = 0)$ vẫn phải trả phí 1 triệu đồng này, nếu đặt thuê.

Hướng dẫn giải

1) a) Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là $30:2 = 15{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Thể tích của lồng đèn quả trám là: $V = 2 \cdot \left( {\frac{1}{3} \cdot {{20}^2} \cdot 15} \right) = 4\,\,000{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).$

b) Một nửa lồng đèn được mô tả bởi hình chóp $S.ABCD$ với các kích thước như hình vẽ.

Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$ Do đó $MB = MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 20 = 10{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right){\rm{.}}$

Vì $\Delta SBC$ cân tại $S$ nên đường trung tuyến $SM$ đồng thời là đường cao, do đó $SM \bot BC$ nên $\Delta SBM$ vuông tại $M.$

Áp dụng định lí Pythagore cho $\Delta SBM$ vuông tại $M,$ ta có:

$S{B^2} = S{M^2} + M{B^2}$

Suy ra $S{M^2} = S{B^2} - M{B^2} = {26^2} - {10^2} = 676 - 100 = 576.$

Do đó $SM = 24{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Diện tích xung quanh (diện tích 4 mặt bên) của hình chóp tứ giác đều là:

${S_{xq}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {4 \cdot 20} \right) \cdot 24 = 960{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích giấy mờ bạn Hà cần chuẩn bị để làm lồng đèn hình quả trám đó là:

$S = 2{S_{xq}} = 2 \cdot 960 = 1\,\,920{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).$

Vậy diện tích giấy mờ bạn Hà cần chuẩn bị để làm lồng đèn hình quả trám đó là $1\,\,920{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}.$

2)

a) Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC,\,\,BD$ cắt nhau tại trung điểm $N$ của mỗi đường nên $ABCD$ là hình bình hành.

Do đó $AD\,{\rm{//}}\,BC.$

Ta có $AP \bot BC;\,\,AD\,{\rm{//}}\,BC$ suy ra $AP \bot AD$ hay $\widehat {PAQ} = 90^\circ$.

Vì $AP \bot BC\,,\,\,CQ \bot AD\,$ nên $\widehat {APC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {AQC} = 90^\circ$.

Tứ giác $APCQ$ có $\widehat {PAQ} = 90^\circ$; $\widehat {APC} = 90^\circ ;\,\,\widehat {AQC} = 90^\circ$ nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo $AC,\,\,PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $N$ là trung điểm của $AC$ nên $N$ là trung điểm của $PQ$.

b) Theo câu a, $ABCD$ là hình bình hành, nên để $ABCD$ là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện $AB \bot BC,\,\,AB = BC$ hay $\Delta ABC$ vuông cân tại $B\,.$

Vậy để tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B\,.$

Hướng dẫn giải

Ta có ${a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca$

$2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} = 2ab + 2bc + 2ca$

$2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0$

$\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ac + {a^2}} \right) = 0$

${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} = 0$ (*)

Nhận xét: Với mọi $a,b,c$ ta có ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {c - a} \right)^2} \ge 0$

Khi đó, ${\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2} \ge 0$

Do đó để (*) xảy ra thì $\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {c - a} \right)^2} = 0\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\b - c = 0\\c - a = 0\end{array} \right.$ tức là $\left\{ \begin{array}{l}a = b\\b = c\\c = a\end{array} \right.$.

Khi đó $a = b = c$ và $a + b + c = 2025$

Do đó $a = b = c = \frac{{2\,\,025}}{3} = 675.$