Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 8 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 7

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phân thức $\frac{A}{B}$ xác định khi $B \ne 0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

• Phương trình $mx + 1 = 0$ (với $m$ là tham số) là phương trình một ẩn;

• Các phương trình $2{x^2} - yz = 7$; $x\left( {y - 2} \right) = 3$; ${x^2} + 2xyz = 0$ đều có nhiều hơn một ẩn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chiều dài của hình chữ nhật là $x\,\,\left( {cm} \right)$.

Chiều rộng của hình chữ nhật là $x - 3\,\,\left( {cm} \right)$.

Vì diện tích hình chữ nhật là $4\,\,c{m^2}$ nên ta có phương trình là $x\left( {x - 3} \right) = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì đồ thị hàm số $y = ax + 3$ đi qua điểm $\left( {1;\,\,5} \right)$ nên ta có $5 = a \cdot 1 + 3$.

Suy ra $a = 2.$ Khi đó ta có hàm số $y = 2x + 3.$

Đồ thị hàm số $y = 2x + 3$ đi qua điểm có hoành độ bằng $- 5$ nên ta có tung độ của điểm này là:

$y = 2 \cdot \left( { - 5} \right) + 3 = - 10 + 3 = - 7.$

Vậy ta chọn phương án C.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Số học sinh lớp 8B là: $7 + 12 + 19 + 2 = 40$ (học sinh).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Học sinh xếp loại đạt” là $\frac{{19}}{{40}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì và có tỉ số đồng dạng bằng $k = \frac{1}{2}$.

Do đó $\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{A'C'}}{{AC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì $AB\,{\rm{//}}\,CD$ (gt) nên $\widehat {ABO} = \widehat {ODC}$ (cặp góc so le trong) .

Xét ${\rm{\Delta }}OAB$ và ${\rm{\Delta }}OCD$ có:

$\widehat {ABO} = \widehat {ODC}$ (chứng minh trên); $\widehat {AOB} = \widehat {COD}$ (hai góc đối đỉnh)

Do đó $\text{Δ}OAB∽\text{Δ}OCD$ (g.g).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt đáy $MNP$ của hình chóp tam giác đều $S.MNP$ là hình tam giác đều $MNP$.

Do đó, mỗi góc mặt đáy $MNP$ của hình chóp tam giác đều $S.MNP$ bằng $60^\circ$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có ${x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right).$

Điều kiện xác định của biểu thức $N$ là $x + 1 \ne 0,$ $x - 1 \ne 0,$ $2 + x \ne 0$ và ${x^2} - 1 \ne 0$

Hay $x \ne - 1,$ $x \ne 1$ và $x \ne - 2.$

Do đó, biểu thức $N$ xác định khi $x \ne - 1,$ $x \ne 1$ và $x \ne - 2.$

Với $x \ne - 1,$ $x \ne 1$ và $x \ne - 2,$ ta có:

$N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right) \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}$

$$= \frac{1}{{x + 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{1}{{x - 1}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x - 1}}{{2 + x}}$$

$$= \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}} + \frac{1}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}$$

$$= \frac{{x - 1 + x + 1 + {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}$$

$$= \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}$$

$$= \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{x}{{x + 1}}.$$

Vậy với $x \ne - 1,$ $x \ne 1$ và $x \ne - 2,$ thì $N = \frac{x}{{x + 1}}.$

b) Ta có $\left| x \right| = 2$ suy ra $x = 2$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $x = - 2$ (không thỏa mãn điều kiện).

Thay $x = 2$ vào biểu thức $N = \frac{x}{{x + 1}},$ ta được:

$N = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}.$

Vậy $N = \frac{2}{3}$ khi $\left| x \right| = 2.$

Hướng dẫn giải

a) Đường thẳng $\left( d \right):y = - 3x$ đi qua gốc tọa độ $O\,(0;\,\,0)$ và điểm $P\left( {1\,;\,\,3} \right)$.

Đường thẳng $\left( {d'} \right):y = x + 2$ đi qua gốc tọa độ $M\,( - 2;\,\,0)$ và cắt trục tung tại điểm $M\,(0\,;\,\,2).$

b) Vì đường thẳng $\left( {d''} \right):y = ax + b$ song song với đường thẳng $\left( {d'} \right):y = x + 2$ nên $a = 1.$

Khi đó $\left( d \right):y = x + b$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $A\left( { - 1\,;\,\,3} \right)$ nên $3 = - 1 + b$, suy ra $b = 4.$

Vậy hàm số cần tìm là $y = x + 4.$

Hướng dẫn giải

a) Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm là số chẵn là:

$9 + 5 + 13 = 27$ (lần).

b) Trong 50 lần thử, số lần gieo được mặt có số chấm là số lẻ là:

$50 - 27 = 23$ (lần).

Xác suất thực nghiệm của biến cố “Gieo được mặt có số chấm là số lẻ” sau 50 lần thử trên là $\frac{{23}}{{50}} = 0{,}46$.

Hướng dẫn giải

1. Xét tam giác $ABC$ ta có:

$B{C^2} = {5^2} = 25;$ $A{B^2} + A{C^2} = {3^2} + {4^2} = 25$

Do đó $B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}.$

Theo định lý Pythagore đảo thì tam giác $ABC$ vuông tại $A.$

Vậy hai phần móng đó vuông góc với nhau.

2.

Ta có $SE$ là trung đoạn nên $E$ là trung điểm của $AB$.

Xét $\Delta ABD$ có $E,\,\,H$ lần lượt là trung điểm của $AB,\,\,BD$.

Do đó $EH$ là đường trung bình của $\Delta ABD$ nên $EH = \frac{1}{2}AD = 12\,\,{\rm{cm}}$.

Xét $\Delta SEH$ vuông tại $H$ có: $S{E^2} = S{H^2} + E{H^2}$

$S{E^2} = {35^2} + {12^2}$

$SE = 37\,\,{\rm{cm}}$.

Vậy độ dài trung đoạn của chậu cây cảnh là 37 cm.

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CAB$ có:

$$\widehat {ABH} = \widehat {CBA}\;\left( {\widehat B\;\,{\rm{chung}}} \right)$$

$\widehat {AHB} = \widehat {CAB}\;\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó $ΔABH∽\ ΔCBA\text{(g.g)}$ .

b) Lần lượt xét hai tam giác vuông $ABC$ và $ABH$ có:

+) $\widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 90^\circ$ (1)

+) $\widehat {ABH} + \widehat {BAH} = 180^\circ - \widehat {AHB} = 90^\circ$ (2)

Từ (1) và (2) nên suy ra $\widehat {ACB} = \widehat {BAH}$ (vì cùng phụ với $\widehat {ABC}$)

Xét $\Delta ABH$ và $\Delta CAH$ có:

$\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\;\,\left( {{\rm{cmt}}} \right)$

$\widehat {AHB} = \widehat {CHA}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)$

Do đó $ΔABH∽\ ΔCAH\text{(g.g)}$ .

Suy ra $\frac{{AH}}{{CH}} = \frac{{BH}}{{AH}}$ hay $A{H^2} = HB \cdot HC$ (đpcm).

c) Ta có $AH \bot BC$ mà $DE{\rm{ // }}AH$ nên suy ra $DE \bot BC$.

Gọi $K$ là hình chiếu của $E$ lên $AH$.

Từ đó suy ra tứ giác $EDHK$ là hình chữ nhật có:

+) $\widehat {EKH} = 90^\circ$ nên $\widehat {AKE} = 90^\circ$.

+) $EK = HD = HA$.

Lại có:

+) $\widehat {BAC} = \widehat {BAH} + \widehat {KAE} = 90^\circ$.

+) $\widehat {KAE} + \widehat {KEA} = 180^\circ - \widehat {AKE} = 90^\circ$.

Nên suy ra $\widehat {AEK} = \widehat {BAH}$ (vì cùng phụ với $\widehat {KAE}$).

Xét $\Delta AKE$ và $\Delta BHA$ có:

$\widehat {AKE} = \widehat {BHA}\;\,\left( { = 90^\circ } \right)$

$EK = AH\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)$

$\widehat {AEK} = \widehat {BAH}\;\left( {{\rm{cmt}}} \right)$

Do đó $\Delta AKE = \Delta BHA\;\,\left( {{\rm{g}}{\rm{.c}}{\rm{.g}}} \right)$.

Từ đó suy ra $AE = AB$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có ${a^3} + {b^3} + {c^3} - 3abc = \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right).$

Vì ${a^3} + {b^3} + {c^3} = 3abc$ và $a + b + c \ne 0$ nên ${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0.$

Lại có $2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca} \right)$

$= \left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} - 2ca + {a^2}} \right)$

$= {\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {c - a} \right)^2}$.

Như vậy, từ ${a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ca = 0$ suy ra $a = b = c.$

Do đó, $N = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}} = \frac{{3{a^2}}}{{9{a^2}}} = \frac{1}{3}.$