Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 9

Đáp án đúng là: D

Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$.

Ta có $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$ hay ${\left( {\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} } \right)^\prime } = f\left( x \right)$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x + } \,\int\limits_3^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = \int\limits_0^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x \Rightarrow } } \int\limits_3^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x = - \frac{{16}}{{15}}}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có $\int {\left( {2x + \frac{1}{x}} \right){\rm{d}}x} = 2\int {x{\rm{d}}x + \int {\frac{1}{x}} } {\rm{d}}x = {x^2} + \ln |x| + C$.

Đáp án đúng là: D

Ta có $\int _{1}^{2}(\frac{1}{x}+2)\text{d}x={(\ln |x|+2x)|}_{1}^{2}=\ln 2+2$

Đáp án đúng là: A

Ta có $\int _{0}^{1}(a{e}^{x}+b)dx={(a{e}^{x}+bx)|}_{0}^{1}=ae+b-a$

Mà $\int\limits_0^1 {\left( {a{e^x} + b} \right)dx} = e + 2$ nên $\{\begin{matrix}a=1 \\ b-a=2\end{matrix}\Rightarrow \{\begin{matrix}a=1 \\ b=3\end{matrix}\Rightarrow a+b=4$

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_{ - 2}^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$$= - {S_1} + {S_2} - {S_3}$.

Đáp án đúng là: C

Ta thấy một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$là $\overrightarrow {n'} \left( {2; - 1;1} \right)$ hay $\overrightarrow n \left( { - 2;1; - 1} \right)$ là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{{ - 1}} = \frac{z}{3}$ đi qua điểm $M\left( {1; - 3;0} \right)$ và có một vectơ chỉ phương $\vec u = \left( {2; - 1;3} \right)$ nên có phương trình tham số $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 3 - t\\z = 3t\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là: C

Do mặt phẳng vuông góc với đường thẳng nên VTPT mặt phẳng cần tìm cùng phương với VTCP của đường thẳng $\Delta$. Suy ra ${\vec n_P} = \left( {2\,;\,2\,;1} \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm: $2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 1} \right) + \left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y + z - 3 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - m; - 3} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;1;1} \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của ${d_1}$ và ${d_2}$.

Để ${d_1} \bot {d_2}$ thì $2.1 + \left( { - m} \right).1 + \left( { - 3} \right).1 = 0$$\Leftrightarrow m = - 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) = 0{,}3.0{,}9 = \frac{{27}}{{100}}$.

Đáp án đúng là: A

Theo công thức Bayes, ta có: $P\left( {B\mid A} \right) = \frac{{P\left( B \right).P\left( {A\mid B} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0{,}3.0{,}25}}{{0{,}4}} = 0{,}1875$.

a) Đ, b) Đ, c) S, d) S

a) Hình phẳng $\left( H \right)$ giới hạn bởi đồ thị các hàm số $y = {x^2} - 2x - 1,y = - {x^2} + 3$ và hai đường thẳng $x = - 1;x = 2$.

b) $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|dx}$.

c) $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left| {\left( { - {x^2} + 3} \right) - \left( {{x^2} - 2x - 1} \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx}$.

d) $S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( { - 2{x^2} + 2x + 4} \right)dx} = 9$.

Suy ra $\ln 9 = 2\ln 3$. Khi đó ${a^2} + {b^2} = {2^2} + {3^2} = 13$.

a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S

a) Vectơ $\overrightarrow u = \left( { - 2;2;1} \right)$ là một vectơ chỉ phương của $\Delta$.

b) Ta có $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;0} \right),\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( {Oyz} \right)$.

Có $\cos \left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_P}} ,\overrightarrow i } \right)} \right| = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$. Suy ra $\left( {\left( P \right),\left( {Oyz} \right)} \right) = 45^\circ$.

c) Đường thẳng ${d_1}$ song song với $\Delta$ nên nhận $\overrightarrow u = \left( { - 2;2;1} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình đường thẳng ${d_1}$ có dạng:$\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 3}}{2} = \frac{{z + 4}}{1}$ .

d) $d \bot \Delta$nên $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow u = 0$ mà $\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow u = 1.\left( { - 2} \right) + \left( { - 2} \right).2 + 4.1 = - 2 \ne 0$.

a) S, b) S, c) Đ, d) S

a) Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( { - 2;1;0} \right),R = 2$. Suy ra đường kính mặt cầu bằng 4.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( { - 1;3;0} \right)$ vào phương trình mặt cầu ta được

${\left( { - 1 + 2} \right)^2} + {\left( {3 - 1} \right)^2} + {0^2} = 5 \ne 4$.

Do đó mặt cầu $\left( S \right)$ không đi qua điểm $A\left( { - 1;3;0} \right)$.

c) $d\left( {I,\left( {Oyz} \right)} \right) = 2$.

d) Ta có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - 2 + 2.1 - 2.0 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{2}{3} < R$.

Suy ra mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt mặt cầu $\left( S \right)$.

a) S, b) S, c) Đ, d) Đ

a) Theo đề, $P\left( A \right) = 0{,}6$.

b) $P\left( {B|A} \right) = 0{,}8$.

c) $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}3$.

d) Ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}6.0{,}8 + 0{,}4.0{,}3 = 0{,}6$.

Suy ra $P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}6.0{,}8}}{{0{,}6}} = 0{,}8 = 80\%$.

Trả lời: 595

Ta có $f\left( x \right) = \frac{{3{x^3} - 2x + 1}}{x} = 3{x^2} - 2 + \frac{1}{x}$.

Có $F\left( x \right) = \int {\left( {3{x^2} - 2 + \frac{1}{x}} \right)dx} = {x^3} - 2x + \ln \left| x \right| + C$.

Vì $F\left( 1 \right) = 3$ nên $F\left( 1 \right) = {1^3} - 2.1 + \ln \left| 1 \right| + C = 3 \Leftrightarrow C = 4$.

Do đó $F\left( x \right) = {x^3} - 2x + \ln \left| x \right| + 4$.

Suy ra $F\left( 5 \right) = {5^3} - 2.5 + \ln \left| 5 \right| + 4 = 119 + \ln 5$.

Suy ra $a = 119;b = 5$. Vậy $T = ab = 595$.

Trả lời: 41

$I = \int\limits_1^2 {\sqrt[5]{{{x^2}}}dx} = \int\limits_1^2 {{x^{\frac{2}{5}}}dx}$$= \left. {\frac{5}{7}{x^{\frac{7}{5}}}} \right|_1^2 = \frac{{5\sqrt[5]{{128}} - 5}}{7} = \frac{{10\sqrt[5]{4} - 5}}{7}$.

Suy ra $a = 5;b = 4$. Vậy $S = {a^2} + {b^2} = 41$.

Trả lời: 1200

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có đồ thị$\left( P \right):y = a{x^2} + bx + c$ đi qua $A\left( { - 30;0} \right),B\left( {30;0} \right),H\left( {0;30} \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}900a - 30b + c = 0\\900a + 30b + c = 0\\c = 30\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{1}{{30}}\\b = 0\\c = 30\end{array} \right.$. Do đó $\left( P \right):y = - \frac{1}{{30}}{x^2} + 30$.

Diện tích chiếc gương là $S = \int\limits_{ - 30}^{30} {\left( { - \frac{1}{{30}}{x^2} + 30} \right)dx} = 1200$ cm$^{2}$.

Trả lời: 1,41

Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là: $\frac{x}{3} + \frac{y}{{1{,}5}} + \frac{z}{{ - 1{,}5}} = 1$$\Leftrightarrow x + 2y - 2z - 3 = 0$.

Đường thẳng $MN$ qua $M\left( {5;2;4} \right)$ và nhận $\overrightarrow u = - \frac{1}{2}\overrightarrow {MN} = \left( {2;1;3} \right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = 2 + t\\z = 4 + 3t\end{array} \right.$.

Tọa độ điểm H va chạm của mục tiêu tới mặt phẳng là nghiệm của hệ

$\{\begin{matrix}x=5+2t \\ y=2+t \\ z=4+3t \\ x+2y-2z-3=0\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=5+2t \\ y=2+t \\ z=4+3t \\ 5+2t+4+2t-8-6t-3=0\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=3 \\ y=1 \\ z=1 \\ t=-1\end{matrix}$ . Suy ra $H(3;1;1)$

Ta có $AH = \sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} = \sqrt 2 \approx 1{,}41$.

Trả lời: −367

Phương trình đường thẳng d là: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 688 + 91t\\y = - 185 + 75t\\z = 8\end{array} \right.$.

Giả sử M là vị trí sớm nhất mà máy bay xuất hiện trên màn hình ra đa.

Suy ra $M \in d$$\Rightarrow M\left( { - 688 + 91t; - 185 + 75t;8} \right)$.

Vì $OM = 417$ nên $\sqrt {{{\left( { - 688 + 91t} \right)}^2} + {{\left( { - 185 + 75t} \right)}^2} + 64} = 417$

$\Leftrightarrow {\left( { - 688 + 91t} \right)^2} + {\left( { - 185 + 75t} \right)^2} + 64 = {417^2}$

$\Leftrightarrow 13906{t^2} - 152966t + 333744 = 0$

$\Leftrightarrow t = 8$ hoặc $t = 3$.

Với $t = 8$ thì $M\left( {40;415;8} \right)$$\Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( {40 + 688} \right)}^2} + {{\left( {415 + 185} \right)}^2} + {{\left( {8 - 8} \right)}^2}} \approx 943{,}4$.

Với $t = 3$ thì $M\left( { - 415;40;8} \right)$$\Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( { - 415 + 688} \right)}^2} + {{\left( {40 + 185} \right)}^2} + {{\left( {8 - 8} \right)}^2}} \approx 353{,}8$.

Vì $353{,}8 < 943{,}4$ nên tọa độ điểm M xuất hiện sớm nhất trên ra đa là $M\left( { - 415;40;8} \right)$.

Suy ra $a + b + c = - 415 + 40 + 8 = - 367$.

Trả lời: 0,5

Gọi A là biến cố “Nhân viên đó là nhân viên nữ”.

B là biến cố “Nhân viên đó mua bảo hiểm nhân thọ”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}45 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}55$;$P\left( {B|A} \right) = 0{,}07;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}05$.

Ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}45.0{,}07 + 0{,}55.0{,}05 = 0{,}059$.

Có $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}55.0{,}05}}{{0{,}059}} \approx 0{,}5$.