Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là: A

Do $\int\limits_0^3 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {f(x){\rm{d}}x}$$\Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_0^3 {f(x){\rm{d}}x} - \int\limits_2^3 {f(x){\rm{d}}x}$$\Leftrightarrow \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = a - b$.

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình phẳng đã cho được tính bởi công thức $S = \int\limits_0^2 {{3^x}} dx$.

Đáp án đúng là: A

Thay $M\left( { - 1;0;0} \right)$ vào $\left( \alpha \right):x + 2y - z + 1 = 0$, ta được: $- 1 + 1 = 0$.

Vậy ta có : $M\left( { - 1;0;0} \right) \in \left( \alpha \right):x + 2y - z + 1 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Dựa vào phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ ta có vectơ chỉ phương của $d$ là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3;4; - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Có $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3;2;1} \right),\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$.

Có $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {3.\left( { - 1} \right) + 2.2 + 1.\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {1^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = 0$.

Suy ra $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 90^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Có $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;1;1} \right)$, $\overrightarrow i = \left( {1;0;0} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_P}} = \left[ {\overrightarrow {{n_Q}} ,\overrightarrow i } \right] = \left( {0;1; - 1} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $A\left( {1;\,0;\,5} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a = \left( {4;\,2;\,5} \right)$ là

$\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{2} = \frac{{z - 5}}{5}.$

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu có tâm $I\left( {2\,;\,1;\,2} \right)$ bán kính bằng $3$ là ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 2} \right)^2} = 9$.

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng ${d_1}$ đi qua điểm ${M_1}\left( {1;\, - 1;\,1} \right),$có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,2;\, - 1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}$ đi qua điểm ${M_2}\left( { - 1;\,0;\,1} \right),$có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 1;\,2;\,1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa đường thẳng ${d_1}$ và song song với đường thẳng ${d_2}$ suy ra $\left( P \right)$đi qua điểm${M_1}\left( {1;\, - 1;\,1} \right),$có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {4;\,0;\,4} \right)$.

Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$: $4\left( {x - 1} \right) + 0\left( {y + 1} \right) + 4\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x + z - 2 = 0$.

Dễ thấy điểm $Q\left( {0;\,1;\,2} \right) \in \left( P \right).$

Đáp án đúng là: C

Ta có: mặt phẳng $\left( P \right):x - y + z = 0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _{\left( P \right)}} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Mặt phẳng $\left( Q \right):2x - z + 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow n _{\left( Q \right)}} = \left( {2;0; - 1} \right)$.

$\Rightarrow \left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {1;3;2} \right)$

Đường thẳng đi qua $A\left( {1; - 2;0} \right)$ song song với $\left( P \right)$và $\left( Q \right)$ nên nhận $\left[ {{{\overrightarrow n }_{\left( P \right)}},{{\overrightarrow n }_{\left( Q \right)}}} \right] = \left( {1;3;2} \right)$ làm vectơ chỉ phương.

Phương trình chính tắc của đường thẳng là: $\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{2}$.

Đáp án đúng là: A

Khi B đã xảy ra, nghĩa là lần gieo đầu tiên ra số lẻ (1, 3 hoặc 5).

Do đó, không gian mẫu mới là

$$B = {\rm{ }}\{ \left( {1{,}1} \right);\left( {1{,}2} \right);\left( {1{,}3} \right);\left( {1{,}4} \right);\left( {1{,}5} \right);\left( {1{,}6} \right);\left( {3{,}1} \right);\left( {3{,}2} \right);\left( {3{,}3} \right);\left( {3{,}4} \right);\left( {3{,}5} \right);\left( {3{,}6} \right);$$

$$\left( {5{,}1} \right);\left( {5{,}2} \right);\left( {5{,}3} \right);\left( {5{,}4} \right);\left( {5{,}5} \right);\left( {5{,}6} \right)\}$$

Khi đó, biến cố $A$ khi biết $B$ đã xảy ra là

$A|B{\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {\left( {1{,}1} \right);\left( {1{,}3} \right);\left( {1{,}5} \right);\left( {3{,}1} \right);\left( {3{,}3} \right);\left( {3{,}5} \right);\left( {5{,}1} \right);\left( {5{,}3} \right);\left( {5{,}5} \right)} \right\}$.

Đáp án đúng là: A

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có $P\left( A \right) = P\left( B \right).P\left( {\left. A \right|B} \right) + P\left( {\bar B} \right).P\left( {\left. A \right|\bar B} \right).$

a) S, b) Đ, c) S, d) S

a) $Q\left( t \right) = \int {Q'\left( t \right)dt} = \int {\left( {4{t^3} - 72{t^2} + 288t} \right)dt} = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + C$.

Vì $Q\left( 2 \right) = 500$ nên ${2^4} - {24.2^3} + {144.2^2} + C = 500$$\Leftrightarrow C = 100$.

Do đó $Q\left( t \right) = {t^4} - 24{t^3} + 144{t^2} + 100$.

b) Ta có $Q\left( 5 \right) = {5^4} - {24.5^3} + {144.5^2} + 100 = 1325$.

c) Có $Q'\left( t \right) = 4{t^3} - 72{t^2} + 288t = 0 \Leftrightarrow t = 0;t = 6;t = 12$.

Có $Q\left( 0 \right) = 100;Q\left( 6 \right) = {6^4} - {24.6^3} + {144.6^2} + 100 = 1396$;

$Q\left( {12} \right) = {12^4} - {24.12^3} + {144.12^2} + 100 = 100$.

Do đó lượng khách tham quan lớn nhất là $1396$ người khi $t = 6$ giờ.

d) Ta có $Q''\left( t \right) = 12{t^2} - 144t + 288$; $Q''\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = 6 \pm 2\sqrt 3$.

Có $Q'\left( 0 \right) = 0;Q'\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right) = 4.{\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right)^3} - 72.{\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right)^2} + 288.\left( {6 - 2\sqrt 3 } \right) \approx 333$;

$Q'\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) = 4.{\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right)^3} - 72.{\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right)^2} + 288.\left( {6 + 2\sqrt 3 } \right) \approx - 333$;

$Q'\left( {13} \right) = {4.13^3} - {72.13^2} + 288.13 \approx 364$.

Tốc độ thay đổi lượng khách tham quan lớn nhất tại thời điểm $t = 13$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) ${I_1} = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left| {x\left( {{x^2} + 3} \right)} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {x\left( {{x^2} + 3} \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + 3x} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = \frac{7}{4}$.

${I_2} = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {x\left( {{x^2} + 3} \right)} \right|dx}$$= - \int\limits_{ - 1}^0 {x\left( {{x^2} + 3} \right)dx}$$= - \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^3} + 3x} \right)dx}$$= \left. { - \left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 = \frac{7}{4}$.

b) $I = \int\limits_0^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \frac{7}{2}$.

c) $J = \int\limits_0^m {\left| {f\left( x \right)} \right|dx}$$= \int\limits_0^m {\left| {x\left( {{x^2} + 3} \right)} \right|dx}$$= \int\limits_0^m {x\left( {{x^2} + 3} \right)dx}$$= \int\limits_0^m {\left( {{x^3} + 3x} \right)dx}$

$= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^m = \frac{{{m^4}}}{4} + \frac{{3{m^2}}}{2}$.

Mà $J = 4$ nên $\frac{{{m^4}}}{4} + \frac{{3{m^2}}}{2} = 4$$\Leftrightarrow {m^4} + 6{m^2} - 16 = 0$$\Leftrightarrow m = \sqrt 2$.

d) $\int\limits_0^1 {x\left( {{x^2} + 3 - a\sqrt x } \right)dx = } \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} + 3x - a{x^{\frac{3}{2}}}} \right)dx = } \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{2}{5}a{x^{\frac{5}{2}}}} \right)} \right|_0^1 = \frac{7}{4} - \frac{2}{5}a = 0$$\Leftrightarrow a = \frac{{35}}{8}$.

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) Mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 67 = 0$ có tâm là $I\left( {1;2; - 3} \right)$.

b) $R = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} - \left( { - 67} \right)} = 9$.

c) Có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {2.1 - 2.2 + \left( { - 3} \right) - 13} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{18}}{3} = 6 < R$. Suy ra $\left( P \right)$ cắt $\left( S \right)$.

d) Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2\\z = - 4 + 7t\\{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y + 6z - 67 = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1+t \\ y=2 \\ z=-4+7t \\ {(1+t)}^{2}+{2}^{2}+{(-4+7t)}^{2}-2(1+t)-4.2+6(-4+7t)-67=0\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1+t \\ y=2 \\ z=-4+7t \\ 50{t}^{2}-14t-80=0\end{matrix}$ $\Leftrightarrow \{\begin{matrix}x=1+t \\ y=2 \\ z=-4+7t \\ t\approx -1{,}13∨t\approx 1{,}41\end{matrix}$

Suy ra $\Delta$và $\left( S \right)$ cắt nhau tại hai điểm.

a) Đ, b) S, c) S, d) Đ

$A$ là biến cố “Học sinh đó là nữ”.

$B$ là biến cố “Học sinh đó tham gia câu lạc bộ tiếng Anh”.

Theo đề ta có $P\left( A \right) = 0{,}55;P\left( {B|A} \right) = 0{,}2;P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}15$.

a) $P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 1 - 0{,}55 = 0{,}45$.

b) $P\left( {B|\overline A } \right) = 0{,}15$;

$P\left( {\overline B |A} \right) = 1 - P\left( {B|A} \right) = 0{,}8$.

c) $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)$$= 0{,}55.0{,}2 + 0{,}45.0{,}15 = 0{,}1775$.

d) $P\left( {\overline A |B} \right) = \frac{{P\left( {\overline A } \right).P\left( {B|\overline A } \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{0{,}45.0{,}15}}{{0{,}1775}} = \frac{{27}}{{71}}$.

Trả lời: 4

Ta có $F\left( x \right) = \int {{e^{2x}}dx = \frac{1}{2}{e^{2x}} + C}$.

Theo giả thiết $F\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2}{e^0} + C = 0 \Leftrightarrow C = - \frac{1}{2}$.

Khi đó $F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}} - \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( {\ln 3} \right) = \frac{1}{2}{e^{2\ln 3}} - \frac{1}{2} = 4$.

Trả lời: −6

$\int _{0}^{2}\frac{x-1}{{x}^{2}+4x+3}\text{d}x=\int _{0}^{2}\frac{x-1}{(x+1)(x+3)}\text{d}x=\int _{0}^{2}(\frac{-1}{x+1}+\frac{2}{x+3})\text{d}x=(-\ln |x+1|+2\ln |x+3|)|\begin{matrix}2 \\ 0\end{matrix}=2\ln 5-3\ln 3.$

Suy ra: $a = 2,b = - 3$. Do đó $P = ab = - 6$.

Trả lời: 240

Cốc hình trụ có bán kính R = 6 cm, chiều cao h = 10 cm.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm $x\left( { - 6 \le x \le 6} \right)$ cắt vật thể theo theo thiết diện có diện tích là $S\left( x \right)$.

Ta có $S\left( x \right) = {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}B{C^2}\tan \alpha = \frac{1}{2}\left( {{R^2} - {x^2}} \right)\frac{h}{R} = \frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}$.

Vậy thể tích lượng nước trong cốc là $V = \int\limits_{ - 6}^6 {S\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 6}^6 {\frac{{5\left( {36 - {x^2}} \right)}}{6}dx} = 240\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$.

Trả lời: 5

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0\,;0\,;1} \right)$, bán kính $R = 2$.

Có $\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;2\,;1} \right)$$\Rightarrow IA = 3$. Kẻ một tiếp tuyến $AB$ đến mặt cầu $\left( S \right)$, với $B$ là tiếp điểm.

Ta có tam giác $ABI$ vuông tại $B$ nên ta có $AB = \sqrt {I{A^2} - I{B^2}} = \sqrt 5$.

Gọi $H\left( {x\,;y\,;z} \right)$ là chân đường cao kẻ từ $B$ của tam giác $ABI$.

Ta có: $I{B^2} = IH.IA \Rightarrow IH = \frac{{I{B^2}}}{{IA}} = \frac{4}{3} \Rightarrow IH = \frac{4}{9}.IA$.

Từ suy ra được $\overrightarrow {IH} = \frac{4}{9}\overrightarrow {IA} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 0 = \frac{4}{9}.2\\y - 0 = \frac{4}{9}.2\\z - 1 = \frac{4}{9}.1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{9}\\y = \frac{8}{9}\\z = \frac{{13}}{9}\end{array} \right.$$\Rightarrow H\left( {\frac{8}{9}\,;\frac{8}{9}\,;\frac{{13}}{9}} \right)$.

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ vuông góc với đường thẳng $IA$ nên nhận $\overrightarrow {IA} = \left( {2\,;2\,;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến. Hơn nữa mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua điểm $H$.

Vậy $\left( \alpha \right)$ có phương trình: $2.\left( {x - \frac{8}{9}} \right) + 2.\left( {y - \frac{8}{9}} \right) + 1.\left( {z - \frac{{13}}{9}} \right) = 0$$\Leftrightarrow 2x + 2y + z - 5 = 0$.

Suy ra $a + b + c = 5$.

Trả lời: 6

Vì $I \in d$ nên $I\left( {t;1 + t;2 + t} \right)$.

Theo đề ta có $d\left( {I,\left( P \right)} \right) = d\left( {I,\left( Q \right)} \right)$ $\Leftrightarrow \frac{{\left| {2t - 2 - t - 4} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {t - 2 - 2t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }}$

$\Leftrightarrow \left| {t - 6} \right| = \left| { - t - 4} \right|$$\Leftrightarrow t = 1$. Suy ra $I\left( {1;2;3} \right)$. Do đó $P = 6$.

Trả lời: 0,24

Từ giả thiết ta có $P\left( B \right) = 0{,}6 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 1 - 0{,}6 = 0{,}4;\,\,P\left( {A|B} \right) = 0{,}3;\,\,P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}15$.

Theo công thức xác suất từng phần, ta có :

$P\left( A \right) = P\left( B \right)P\left( {A|B} \right) + P\left( {\overline B } \right)P\left( {A|\overline B } \right) = 0{,}6.0{,}3 + 0{,}4.0{,}15 = 0{,}24$.