Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 12 Cánh diều có đáp án - Đề 4

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_1^3 {f(x){\rm{d}}x} \, = \int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x} + \int\limits_2^3 {f(x){\rm{d}}x} = 5 + ( - 2) = 3\,$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} + \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx}$.

Đáp án đúng là: B

Từ phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x + 2y + 3z - 1 = 0$ ta có vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$ là $\overrightarrow {{n_4}} = \left( {1;2;3} \right)$.

Đáp án đúng là: B

$\overrightarrow {{u_1}} \left( {2; - 5;3} \right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x - 2z - 7 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = {3^2}$

Suy ra bán kính của mặt cầu đã cho bằng $R = 3$.

Đáp án đúng là: C

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua $O$ và nhận vectơ $\overrightarrow n = \left( {1;\, - 2;\,5} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là $x - 2y + 5z = 0$.

Đáp án đúng là: D

Vì đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {3;\, - 1;\,4} \right)$và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( { - 2;\,4;\,5} \right)$ nên phương trình của đường thẳng $d$ là: $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 3 - 2t}\\{y = - 1 + 4t}\\{z = 4 + 5t}\end{array}} \right.$.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2;1;1} \right)$.

$\sin \left( {d,\left( \alpha \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_d}} ,\overrightarrow {{n_\alpha }} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.2 + 2.1 + \left( { - 1} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$\Rightarrow \left( {d,\left( \alpha \right)} \right) = 30^\circ$.

Đáp án đúng là: B

Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A\left( {1;0;0} \right)$ và vuông góc với $AB$.

Do $\left( P \right) \bot AB$ nên vectơ $\vec n = \overrightarrow {AB} = \left( {3;1;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$.

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$cần lập là: $3x + y + 2z - 3 = 0$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {0\,;\,0\,;\, - 3} \right)$ và bán kính $R$ là: ${x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = {R^2}$.

Ta có: $M \in \left( S \right) \Rightarrow {4^2} + {0^2} + {\left( {0 + 3} \right)^2} = {R^2} \Leftrightarrow {R^2} = 25$.

Vậy phương trình cần tìm là: ${x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 25$.

Đáp án đúng là: C

Gọi $A$ là biến cố “con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt 4 chấm”

Gọi $B$ là biến cố “ Tổng số chấm xuất hiện trên 2 con xúc xắc bằng 6”.

Khi con xúc xắc thứ nhất đã xuất hiện mặt 4 chấm thì thì lần thứ hai xuất hiện 2 chấm thì tổng hai lần xuất hiện là 6 chấm thì $P\left( {B|A} \right) = \frac{1}{6}$.

Đáp án đúng là: D

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có $P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {\left. B \right|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {\left. B \right|\bar A} \right).$

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) $F'\left( x \right) = f\left( x \right)$.

b) $\int {f\left( x \right)} dx = F\left( x \right)$.

c) $\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^3} + 3x - 2} \right)dx} = \frac{{{x^4}}}{4} + 3\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + C$.

Vì đồ thị hàm số $y = F\left( x \right)$ đi qua điểm $M\left( {2;10} \right)$ nên $F\left( 2 \right) = 10$.

Suy ra $\frac{{{2^4}}}{4} + 3.\frac{{{2^2}}}{2} - 2.2 + C = 10$$\Leftrightarrow C = 4$.

Do đó $F\left( x \right) = \frac{{{x^4}}}{4} + 3\frac{{{x^2}}}{2} - 2x + 4$.

Vậy $F\left( { - 2} \right) = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^4}}}{4} + 3\frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2}}}{2} - 2.\left( { - 2} \right) + 4 = 18$.

d) Ta có $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^3} + 3x - 2} \right)dx} = 6 = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)$.

a) Đ, b) S, c) S, d) S

a) $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^1 = F\left( 1 \right) - F\left( 0 \right) = - \frac{7}{2}$.

b) $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = \left. {F\left( x \right)} \right|_0^2 = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right) = - 2}$ mà $F\left( 0 \right) = 3$ nên $F\left( 2 \right) = 1$.

c) $\int {f\left( x \right)} dx = \int {\left( {a{x^2} + bx + c} \right)dx} = \frac{a}{3}{x^3} + \frac{b}{2}{x^2} + cx + C$.

d) Vì $\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = - \frac{7}{2}$ nên $\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = - \frac{7}{2}$ (1) và $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = - 2}$ nên $\frac{{8a}}{3} + 2b + 2c = - 2$ (2).

Từ (1) và (2), ta có $\{\begin{matrix}\frac{a}{3}+\frac{b}{2}+c=-\frac{7}{2} \\ \frac{8a}{3}+2b+2c=-2\end{matrix}$ $\Rightarrow \{\begin{matrix}2a+3b+6c=-21 \\ 8a+6b+6c=-6\end{matrix}$ $\Rightarrow \{\begin{matrix}2a+3b+6c=-21 \\ 2a+b=5\end{matrix}$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + 3\left( {5 - 2a} \right) + 6c = - 21\\b = 5 - 2a\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2a + 3c = - 18\\b = 5 - 2a\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = \frac{{ - 18 + 2a}}{3}\\b = 5 - 2a\end{array} \right.$.

Do đó $a + b + 3c = a + 5 - 2a - 18 + 2a = a - 13$.

a) Đ, b) S, c) Đ, d) S

a) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)$.

b) Thay tọa độ điểm $A\left( {5; - 3; - 31} \right)$ vào phương trình đường thẳng $d$ ta được $\frac{{5 - 11}}{2} = \frac{{ - 3}}{1} = \frac{{ - 31 + 25}}{{ - 2}}$ (sai).

Do đó đường thẳng $d$ không đi qua điểm $A\left( {5; - 3; - 31} \right)$.

c) Mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $I\left( {2;3; - 1} \right)$ và vuông góc với đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \overrightarrow u = \left( {2;1; - 2} \right)$ có phương trình là $2\left( {x - 2} \right) + \left( {y - 3} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0$ hay $2x + y - 2z - 9 = 0$.

d)

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên $AB$. Suy ra $HA = HB = 8$.

Tọa độ điểm $H$ là giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right)$.

Xét hệ $\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\\2x + y - 2z - 9 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 2t\\y = t\\z = - 25 - 2t\\2\left( {11 + 2t} \right) + t - 2\left( { - 25 - 2t} \right) - 9 = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 25\\y = 7\\z = - 39\\t = 7\end{array} \right.$.

Suy ra $H\left( {25;7; - 39} \right)$.

Ta có $IH = \sqrt {{{\left( {25 - 2} \right)}^2} + {{\left( {7 - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 39 + 1} \right)}^2}} = 3\sqrt {221}$.

Do đó $R = \sqrt {I{H^2} + H{B^2}} = \sqrt {1989 + 64} = \sqrt {2053}$.

Vậy ${\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2053$.

a) S, b) S, c) S, d) Đ

Gọi A là biến cố: “Sản phẩm bị thất lạc là sản phẩm loại II”

B là biến cố: “Sản phẩm bị thất lạc là sản phẩm loại I”

C là biến cố “Lấy được sản phẩm loại I từ 19 sản phẩm còn lại”.

a) Xác suất sản phẩm bị thất lạc là sản phẩm loại II là $P\left( A \right) = \frac{{17}}{{20}}$.

b) Ta có $P\left( {C|A} \right) = \frac{{P\left( {C \cap A} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{3}{{19}}$.

c) Ta có $P\left( {C|B} \right) = \frac{2}{{19}}$.

d) Ta có $P\left( C \right) = P\left( A \right).P\left( {C|A} \right) + P\left( B \right).P\left( {C|B} \right) = \frac{{17}}{{20}}.\frac{3}{{19}} + \frac{3}{{20}}.\frac{2}{{19}} = \frac{3}{{20}} = 15\%$.

Trả lời: −1

Ta có $\int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + 3}}} dx = \int\limits_0^{\ln 2} {\frac{{d\left( {{e^x} + 3} \right)}}{{{e^x} + 3}}} = \left. {\ln \left| {{e^x} + 3} \right|} \right|_0^{\ln 2} = \ln 5 - \ln 4 = \ln 5 - 2\ln 2$.

Suy ra $a = - 2;b = 1$. Do đó $a + b = - 1$.

Trả lời: 5,8

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\sqrt x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 4$.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là

$V = {\rm{\pi }}\int\limits_4^9 {{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}{\rm{d}}x} = {\rm{\pi }}\int\limits_4^9 {\left( {x - 4\sqrt x + 4} \right){\rm{d}}x} = \left. {{\rm{\pi }}\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{8}{3}x\sqrt x + 4x} \right)} \right|_4^9 = \frac{{11\pi }}{6} \approx 5{,}8$.

Trả lời: 23,6

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Theo đề ta có $\sqrt {x + 1} = 2 \Leftrightarrow x = 3$.

Dung tích của chậu là $V = \pi \int\limits_0^3 {{{\left( {\sqrt {x + 1} } \right)}^2}dx}$$= \pi \int\limits_0^3 {\left( {x + 1} \right)dx} = \frac{{15\pi }}{2} \approx 23{,}6$.

Trả lời: 2

$\left( {Oxy} \right)$ có 1 vectơ pháp tuyến $\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)$.

$d$ có 1 vectơ chỉ phương $\overrightarrow u = \left( {0;0;1} \right)$. Nên $d \bot \left( {Oxy} \right)$.

Gọi $P = d \cap \left( {Oxy} \right) \Rightarrow P\left( {5; - 1;0} \right)$

Gọi $I$là trung điểm $AB$ $\Rightarrow I\left( {1;2;4} \right)$.

$\widehat {AMB} = 90^\circ$$\Rightarrow M$ thuộc mặt cầu $\left( S \right)$ đường kính $AB$, bán kính $R = \frac{{AB}}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2} + {8^2} + {0^2}} }}{2} = 5.$

Mà $M \in \left( {Oxy} \right)$ nên $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ là giao của mặt cầu $\left( S \right)$ và mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$.

Gọi $H$ là hình chiếu của $I$ lên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ $\Rightarrow H\left( {1;2;0} \right)$.

Suy ra $M$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$ tâm $H\left( {1;2;0} \right)$, bán kính $r = \sqrt {{R^2} - I{H^2}} = \sqrt {25 - 16} = 3$.

Ta có: $MN \ge MP \ge HP - r = \sqrt {16 + 9} - 3 = 2$.

Vậy $M{N_{\min }} = 2$.

Dấu “=” xảy ra khi $N \equiv P$ và $H,M,P$ thẳng hàng ($M$ nằm giữa $H,P$).

Trả lời: 6

Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm là $I\left( {32;50;8} \right)$ và $R = 10$.

Vì $J$ là hình chiếu của $I$ trên mặt sân nên $J\left( {32;50;0} \right)$.

Ta có tam giác $IJM$ vuông tại $J$.

Có $IJ = \sqrt {{{\left( {32 - 32} \right)}^2} + {{\left( {50 - 50} \right)}^2} + {{\left( {0 - 8} \right)}^2}} = 8$.

Suy ra $JM = \sqrt {{R^2} - I{J^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {8^2}} = 6$.

Trả lời: 0,25

Gọi A là biến cố “Nhà đó gắn biển số lẻ”.

B là biến cố “Nhà đó có ô tô”.

Cần tính $P\left( {A|\overline B } \right)$.

Số nhà biển lẻ và không có ô tô là $40 - 25 = 15$.

Số nhà không có ô tô là: $\left( {40 - 25} \right) + \left( {60 - 15} \right) = 60$.

Suy ra $P\left( {A|\overline B } \right) = \frac{{15}}{{60}} = 0{,}25$.