Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 8

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có ${\log _5}{a^6} = 6{\log _5}a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\log _a}\left( {{b^3}{c^4}} \right) = {\log _a}{b^3} + {\log _a}{c^4} = 3{\log _a}b + 4{\log _a}c = 3.3 + 4.\left( { - 4} \right) = - 7.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dạng đồ thị của hàm số $y = {a^x},a > 1$ là hình I.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${3^x} = 2$$\Leftrightarrow x = {\log _3}2.$

Vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \left\{ {{{\log }_3}2} \right\}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

${\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\2x - 1 = {3^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

${\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - {x^2}}} > \frac{{81}}{{256}}$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^{ - {x^2}}} > {\left( {\frac{3}{4}} \right)^4}$$\Leftrightarrow - {x^2} < 4$$\Leftrightarrow {x^2} + 4 > 0$ (luôn đúng).

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $x > \frac{1}{2}$.

$${\log _3}x.{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2{\log _3}x \Leftrightarrow {\log _3}x.\left[ {{{\log }_3}\left( {2x - 1} \right) - 2} \right] = 0$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 0\\\left[ {{{\log }_3}\left( {2x - 1} \right) - 2} \right] = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\2x - 1 = 9\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.$ (thỏa mãn điêu kiện).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đạo hàm của hàm số tại điểm ${x_0} = 1$ là $f'\left( 1 \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$y' = {\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tọa độ giao điểm của (C) và trục tung là $\left( {0; - 2} \right)$.

Có $y' = - 3{x^2} + 3$. Có $y'\left( 0 \right) = 3$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại $\left( {0; - 2} \right)$ là $y = 3\left( {x - 0} \right) - 2 = 3x - 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 7t - 6\\a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 7\end{array} \right.$.

Thời điểm vận tốc triệt tiêu tức là ${t^3} - 7t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 3$ vì $t > 0.$

Do đó $a\left( 3 \right) = {3.3^2} - 7 = 20\left( {{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $f'\left( x \right) = 2x;f''\left( x \right) = {\left( {2x} \right)^\prime } = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $y = - 3\cos x \Rightarrow y' = 3\sin x \Rightarrow y'' = 3\cos x$.

Khi đó $y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\cos \frac{\pi }{2} = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $y' = {\left[ {{\rm{log}}\,(x + 1)} \right]^\prime } = \frac{1}{{\left( {x + 1} \right)\ln 10}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $f'\left( x \right) = - 8{x^3} + 2x;f''\left( x \right) = {\left( { - 8{x^3} + 2x} \right)^\prime } = - 24{x^2} + 2$.

Do đó $f''\left( 0 \right) = - {24.0^2} + 2 = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$$= \frac{{{x^2} - 2x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Suy ra $a = 1;b = - 2;c = - 1$.

Do đó $S = a + b + c = 1 - 2 - 1 = - 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$T = U \cap V$ = {Long; Phúc; Tuấn}.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B thì A và B là hai biến cố độc lập.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $A,B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$.

Do đó $P\left( B \right) = \frac{1}{9}:\frac{1}{4} = \frac{4}{9}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng vào bia”.

B là biến cố : “Người thứ hai bắn trúng vào bia”.

Khi đó $P\left( A \right) = 0{,}6;P\left( B \right) = 0{,}7$.

Gọi C là biến cố: “Cả hai người không bắn trúng mục tiêu”.

Khi đó $C = \overline A \overline B$.

Vì $\overline A ,\overline B$ là hai biến cố độc lập nên

$P\left( C \right) = P\left( {\overline A } \right)P\left( {\overline B } \right) = \left( {1 - P\left( A \right)} \right)\left( {1 - P\left( B \right)} \right) = 0{,}4.0{,}3 = \frac{3}{{25}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $A = \left\{ {10;12;14;16;18;20} \right\};B = \left\{ {8;9;10;11;12;13;14;15} \right\}$

Vậy $A \cup B = \left\{ {8;9;10;11;12;13;14;15;16;18;20} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số cách chọn 2 quả cầu là $C_8^2 = 28$ (cách).

Số cách chọn hai quả cùng màu là $C_5^2 + C_3^2 = 13$.

Vậy xác suất để chọn được hai quả cùng màu là $\frac{{13}}{{28}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi A là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Anh”.

B là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Pháp”.

AB là biến cố: “Người được chọn thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp”.

${\rm{A}} \cup {\rm{B}}$ là biến cố: “Người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp”.

Theo đề, ${\rm{P}}\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{31}}{{50}};{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right) = \frac{{21}}{{50}};{\rm{P}}\left( {{\rm{AB}}} \right) = \frac{5}{{50}}$.

Ta có ${\rm{P}}\left( {{\rm{A}} \cup {\rm{B}}} \right) = {\rm{P}}\left( {\rm{A}} \right) + {\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right) - {\rm{P}}\left( {{\rm{AB}}} \right) = \frac{{47}}{{50}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi biến cố A: “Học sinh tỉnh X được chọn đỗ tốt nghiệp THPT”.

Biến cố B: “Học sinh tỉnh Y được chọn đỗ tốt nghiệp THPT”.

Biến cố C: “Đúng 1 học sinh được chọn đỗ tốt nghiệp THPT”.

Khi đó ta có $C = \overline A B \cup A\overline B$.

Theo đề, ta có $P\left( A \right) = 0{,}95 \Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = 0{,}05;P\left( B \right) = 0{,}97 \Rightarrow P\left( {\overline B } \right) = 0{,}03$.

$P\left( C \right) = P\left( {\overline A B} \right) + P\left( {A\overline B } \right) = P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right) + P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right) = 0{,}05.0{,}97 + 0{,}95.0{,}03 = 0{,}077.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB \bot AD$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $ABCD$ là tứ diện đều nên $\Delta ACD,\Delta BCD$ là các tam giác đều.

Mà $M$ là trung điểm của $CD$ nên

$BM \bot CD,AM \bot CD \Rightarrow CD \bot \left( {ABM} \right) \Rightarrow CD \bot AB$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $\Delta ABC$ đều nên ${S_{ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$.

Khi đó ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.SC.{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{3}.a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD.A'B'C'D'$là hình hộp chữ nhật nên $\left( {AA'B'B} \right) \bot (ABCD)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Mệnh đề (1) sai. Các cạnh bên không vuông góc với mặt đáy.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $BC \bot AB$$\Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.

Mặt khác $BC \bot CD$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Do vậy, đường vuông góc chung của hai đường thẳng $SB$ và $CD$ là $BC.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi $H$ là trung điểm cạnh $SB$.

Do $SA = AB$ nên $\Delta SAB$ cân tại $A$ mà $H$ là trung điểm cạnh $SB$ nên $AH \bot SB.$

Có $BC \bot AB$ và $BC \bot SA\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right) \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\left( {BC \bot \left( {SAB} \right)} \right)\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Vì $\Delta SAB$ vuông cân tại $A$$\Rightarrow AH = \frac{{SB}}{2} = \frac{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2$.

Do đó khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ là $AH = \frac{{SB}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

* Do $AB'{\rm{//}}\left( {CDD'C'} \right)$ nên ta có:

$d\left( {AB';CD'} \right) = d\left( {AB';\left( {CDD'C'} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {CDD'C'} \right)} \right) = AD = a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow$ hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $AC$.

Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat {SCA}$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3$.

Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ .$

Hướng dẫn giải

a) $y' = 3{x^2} - 6x - 6$.

b) $y' = {2024^x}.\ln 2024 - 3\cos x$.

Hướng dẫn giải.

a) Vì $\left\{ \begin{array}{l}AD \bot AB\,\,\,\\AD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SA$.

$\Rightarrow SA$ là hình chiếu của $SD$ lên mặt phẳng $(SAB)$

$\Rightarrow$$\left( {SD,(SAB)} \right) = \left( {SD,SA} \right) = \widehat {DSA} < 90^\circ$.

Vì $SA = AD = a,SA \bot AD$ nên $\Delta SAD$ vuông cân tại $A$.

Vậy $\left( {SD,\left( {SAB} \right)} \right) = \widehat {DSA} = 45^\circ$.

b) $AB//CD \Rightarrow AB//(SCD) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {I,\left( {SCD} \right)} \right)$

Có $\left. \begin{array}{l}CD \bot IK\,\,\,\left( {IK//AD,CD \bot AD} \right)\\CD \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot (SIK)$.

Hạ $IM \bot SK$ tại $M$.

Có $\left. \begin{array}{l}CD \bot IM\,\,\,\left( {CD \bot \left( {SIK} \right)} \right)\\SK \bot IM\,\,\end{array} \right\} \Rightarrow IM \bot (SCD) \Rightarrow d(I,(SCD)) = IM$.

Vì $\Delta SAB$ đều cạnh a nên $SI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Có $IK = AD = a$.

Xét $\Delta SIK:\frac{1}{{I{M^2}}} = \frac{1}{{I{K^2}}} + \frac{1}{{I{S^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}} \Rightarrow IM = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Vậy $d\left( {AB,SC} \right) = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Hướng dẫn giải.

Gọi A là biến cố: “Chuyến bay của hãng X khởi hành đúng giờ” và B là biến cố: “Chuyến bay của hãng Y khởi hành đúng giờ”.

Từ giả thiết ta có A và B là hai biến cố độc lập.

P(AB) = 0,92 .0,98 = 0,9016.

Gọi M là biến cố : “Chỉ có một chuyến bay khởi hành đúng giờ”.

$M = A\overline B \cup \overline A B$, do đó

$P(M) = P(A\overline B ) + P(\overline A B)$.

Ta có: $P(A\overline B ) = 0{,}92.0{,}02 = 0{,}0184$, $P(\overline A B) = 0{,}08.0{,}98 = 0{,}0784$.

Do đó $P\left( M \right) = 0{,}0184 + 0{,}0784 = 0{,}0968$.