Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 7

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $P = \sqrt[4]{{{x^3}}} = {x^{\frac{3}{4}}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\frac{{{{\left( {{a^{\sqrt 7 + 1}}} \right)}^3}}}{{{a^{\sqrt 7 - 4}}.{a^{2\sqrt 7 + 9}}}} = \frac{{{a^{3\sqrt 7 + 3}}}}{{{a^{3\sqrt 7 + 5}}}} = {a^{3 - 5}} = {a^{ - 2}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$I = {\log _a}\sqrt[3]{a} = {\log _a}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $a,b > 0$ nên ta có: $P = \frac{3}{2}{\log _a}b = \frac{3}{2}.3 = \frac{9}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đây là hình dạng của hàm số mũ $y = {a^x}$ mà hàm số này đồng biến nên $a > 1$.

Do đó chọn B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = {a^x}$đồng biến khi $a > 1$.

Mà $\frac{1}{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }} > 1$. Do đó $y = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}^x}}}$ là hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

${2^{{x^2} + x}} = 4$$\Leftrightarrow {2^{{x^2} + x}} = {2^2} \Leftrightarrow {x^2} + x = 2$$\Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\\x = 1\end{array} \right.$.

Vậy tích các nghiệm của phương trình là $- 2.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

TXĐ: $D = \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có

$$\begin{array}{l}4\log _4^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow 4.\frac{1}{4}\log _2^2\frac{x}{2} - {\log _2}x + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{{\log }_2}x - 1} \right)^2} - {\log _2}x + 1 \le 0\end{array}$$

Đặt $t = {\log _2}x$, ta được: ${\left( {t - 1} \right)^2} - t + 1 \le 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t + 2 \le 0 \Leftrightarrow 1 \le t \le 2$.

Suy ra $1 \le {\log _2}x \le 2 \Leftrightarrow 2 \le x \le 4$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy bất phương trình có $3$nghiệm nguyên $x = 2,x = 3,x = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đạo hàm của $f\left( x \right)$ tại ${x_0}$ là $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f({x_0} + \Delta x) - f({x_0})}}{{\Delta x}}$(nếu tồn tại giới hạn).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M\left( {1;f\left( 1 \right)} \right)$ bằng $f'(1) = 5.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$$y = {x^5} \Rightarrow y' = 5{x^4}.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $y = \tan x$$\Rightarrow y' = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$y = - 3\cos x$$\Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x$.

$y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$f'\left( x \right) = {\left( {\sin 2x} \right)^\prime } = 2\cos 2x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$y' = {\left( {\frac{{{x^2} + x}}{{x - 2}}} \right)^\prime } = \frac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {{x^2} + x} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}$.

$y'\left( 1 \right) = \frac{{{1^2} - 4.1 - 2}}{{{{\left( {1 - 2} \right)}^2}}} = - 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$y' = {\left( {x{{\rm{e}}^x}} \right)^\prime } = {e^x} + x{e^x} = \left( {x + 1} \right){e^x}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot A'C'$.

Có $AA'//CC'$ và $AA' = CC'$(do cùng song song và bằng $DD'$) nên $AA'C'C$ là hình bình hành. Suy ra $AC//A'C'$.

$DD' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow DD' \bot A'C'$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Mà $BC \bot AB$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Suy ra $BC \bot SB$ (theo định lý ba đường vuông góc).

Do đó $\Delta SBC$ là tam giác vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $M$ là trung điểm của $BC$ và $\Delta ABC$ cân tại $A$ nên $AM \bot BC$.

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $AM \bot BC$ nên $BC \bot \left( {SAM} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SH \bot \left( {ABCD} \right)$.

Vì $ABCD$là hình vuông nên $AC \bot BD$ mà $SH \bot AC\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)$ nên $AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $d\left( {A',\left( {ABCD} \right)} \right) = A'A = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thể tích của khối chóp là $V = \frac{1}{3}.6.2 = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $\left( {ABB'A'} \right)//\left( {DCC'D'} \right)$.

Có

$\left. \begin{array}{l}CD'//\left( {ABB'A'} \right)\\AB' \subset \left( {ABB'A'} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow d\left( {AB',CD'} \right) = d\left( {CD',\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CB = a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng đáy.

Do đó góc tạo bởi giữa $SC$ và mặt phẳng đáy là $\left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do $CC' \bot \left( {ABC} \right)$ nên suy ra $MC$ là hình chiếu của $MC'$ lên $\left( {ABC} \right)$. Khi đó: $\left( {MC',\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {MC',MC} \right) = \widehat {C'MC} = \alpha$.

Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$, đường cao $CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác $MCC'$ vuông tại $C$ có: $\tan \alpha = \frac{{CC'}}{{CM}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia thì hai biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $A$, $B$là hai biến cố độc lập với nhau nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) = 0{,}4.0{,}3 = 0{,}12$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $P(A).P(B) = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} \ne P(AB) = \frac{1}{2}$.

Do đó $A$ và $B$ không độc lập.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi biến cố A: “Học sinh A thi đỗ”.

Biến cố B: “Học sinh B thi đỗ”.

Biến cố C: “Chỉ có một bạn thi đỗ”.

Theo đề, ta có: $P\left( A \right) = P\left( B \right) = 0{,}6$ $\Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = P\left( {\overline B } \right) = 0{,}4$.

Khi đó ta có $C = A\overline B \cup \overline A B$.

Do đó $P\left( C \right) = P\left( {A\overline B \cup \overline A B} \right) = P\left( {A\overline B } \right) + P\left( {\overline A B} \right)$$= P\left( A \right).P\left( {\overline B } \right) + P\left( {\overline A } \right).P\left( B \right)$

$= 0{,}6.0{,}4 + 0{,}4.0{,}6 = 0{,}48$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Goi $A$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt”.

$B$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt”.

$C$ là biến cố: “Công ty hoàn thành đúng hạn”.

Ta có $\overline A$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt”.

$\overline B$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt”.

$\overline C$ là biến cố: “Công ty hoàn thành không đúng hạn”.

$P(A) = 0{,}95$ ; $P(B) = 0{,}85$ ;$P(\overline A ) = 0{,}05$ ; $P(\overline B ) = 0{,}15$.

Vì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập nên$\overline A$ và $\overline B$ là hai biến cố độc lập

Mà $\overline C = \overline A \overline {.B}$

$P(\overline C ) = P(\overline A .\overline B ) = P(\overline A ).P(\overline B ) = 0{,}0075$.

$$\Rightarrow P(C) = 1 - P(\overline C ) = 0{,}9925.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$A$, $B$ là hai biến cố xung khắc thì $A \cap B = \emptyset .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $A$, $B$ là hai biến cố xung khắc nên $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$

$\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{13}^4$.

Gọi $A$ là biến cố “$4$ người được chọn đều là nam”, ta có: $n\left( A \right) = C_5^4$.

Xác suất để trong $4$ người được chọn đều là nam: $P\left( A \right) = \frac{{C_5^4}}{{C_{13}^4}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Lấy ngẫu nhiên đồng thời $3$ quả cầu từ $15$ quả cầu đã cho có $C_{15}^3 = 455$ cách.

Lấy được $3$ quả cầu cùng màu từ các quả cầu đã cho có $C_9^3 + C_6^3 = 104$ cách.

Vậy xác suất để lấy được $3$ quả cầu cùng màu là $P = \frac{{104}}{{455}} = \frac{8}{{35}}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $f'\left( x \right) = 9{x^2} - \frac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - \frac{1}{{2\sqrt x }}$.

b) $f'\left( x \right) = {2.5^{{{\log }_{25}}x}}.\ln 5.{\left( {{{\log }_{25}}x} \right)^\prime } = {2.5^{{{\log }_{25}}x}}.\ln 5.\frac{1}{{x\ln 25}} = {2.5^{{{\log }_{25}}x}}.\ln 5.\frac{1}{{2x\ln 5}} = \frac{{{5^{{{\log }_{25}}x}}}}{x}.$

Hướng dẫn giải

Gọi $A$ là biến cố: “Cả hai cùng ném bóng vào rổ”

Gọi $X$ là biến cố: “Người thứ nhất ném vào rổ”$\Rightarrow P\left( X \right) = \frac{1}{5}.$

Gọi $Y$ là biến cố: “Người thứ hai ném vào rổ”$\Rightarrow P\left( Y \right) = \frac{2}{7}.$

Ta thấy biến cố $X,Y$ là $2$ biến cố độc lập nhau, theo công thức nhân xác suất ta có:

$P\left( A \right) = P\left( {X.Y} \right) = P\left( X \right).P\left( Y \right) = \frac{1}{5}.\frac{2}{7} = \frac{2}{{35}}$.

Hướng dẫn giải

Thể tích hố được tính là $V = xyh = 3 = 4x{y^2} \Leftrightarrow x = \frac{3}{{4{y^2}}}$vì $h = 4y$.

Vật liệu tốn ít nhất khi diện tích toàn phần cái hố (không nắp) nhỏ nhất

$S = xy + 2xh + 2yh = \frac{3}{{4y}} + \frac{6}{y} + 8{y^2}$

$= \frac{{27}}{{8y}} + \frac{{27}}{{8y}} + 8{y^2} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{{27}}{{8y}}.\frac{{27}}{{8y}}.8{y^2}}} = \frac{{27}}{2}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Dấu bằng xảy ra khi $\frac{{27}}{{8y}} = 8{y^2} \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} \Leftrightarrow x = \frac{3}{{4{y^2}}} = \frac{4}{3}\left( {\rm{m}} \right)$.