Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 5

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${\left( {{x^a}} \right)^b} = {x^{ab}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\ln \left( {ab} \right) = \ln a + \ln b$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số không phải hàm số mũ là $y = {x^{ - 2024}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${\log _3}(x - 4) = 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 4 > 0\\x - 4 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 4\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}$$= {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}}$$= {x^{\frac{1}{2}}} = \sqrt x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\log _{40}}75 = \frac{{{{\log }_2}75}}{{{{\log }_2}40}} = \frac{{{{\log }_2}3 + 2{{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}40}} = \frac{{{{\log }_2}3 + 2\left( {{{\log }_2}40 - 3} \right)}}{{{{\log }_2}40}} = 2 + \frac{{{{\log }_2}3 - 6}}{{3 + {{\log }_2}5}}$.

Suy ra: $a = 2,\,b = 6,\,c = 3$. Vậy $abc = 2.6.3 = 36$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\log \left( {{x^2} - 4x + 5} \right) > 1$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x + 5 > 0\\{x^2} - 4x + 5 > 10\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 2} \right)^2} + 1 > 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 5\\x < - 1\end{array} \right.\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 5\\x < - 1\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dựa vào định nghĩa đạo hàm, ta có đáp án B là đáp án sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)$ là $y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$f'\left( { - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f(x) - f( - 1)}}{{x + 1}} = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x$; $y'' = - \cos x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$y' = \frac{1}{x} + 2x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$f'\left( x \right) = 3{\left( {x + 1} \right)^2}$; $f''\left( x \right) = 6\left( {x + 1} \right)$.

Do đó $f''\left( 1 \right) = 6\left( {1 + 1} \right) = 12$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow BB' \bot A'C'$.

Có $AA'//CC'$ và $AA' = CC'$(do cùng song song và bằng $DD'$) nên $AA'C'C$ là hình bình hành. Suy ra $AC//A'C'$.

$DD' \bot \left( {A'B'C'D'} \right) \Rightarrow DD' \bot A'C'$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $A'B'//DC$ và $A'B' = DC$ (do chúng cùng song song và bằng $AB$).

Do đó $A'B'CD$ là hình bình hành, suy ra $B'C//A'D$.

Khi đó $\left( {A'B,B'C} \right) = \left( {A'B,A'D} \right) = \widehat {BA'D}$.

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên các mặt đều là hình vuông.

Do đó $A'B = BD = A'D$, suy ra $\Delta A'BD$ là tam giác đều. Suy ra $\widehat {BA'D} = 60^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $AD \bot AB$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Vì $AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD$mà $AD \bot AB$ nên $AD \bot \left( {ABB'A'} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ nên $O$ là trung điểm của $AC,BD$.

Vì $SA = SC$ nên $\Delta SAC$ cân tại $S$, $O$ là trung điểm của $AC$ nên $SO \bot AC$ (1).

Tương tự $SO \bot BD$(2).

Từ (1) và (2), suy ra $SO \bot \left( {ABCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD \bot AD$ (1).

Mà $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra $CD \bot \left( {SAD} \right)$$\Rightarrow CD \bot AK$ mà $AK \bot SD$$\Rightarrow AK \bot \left( {SCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ nên $AB \bot AC$.

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AB$ mà $AB \bot AC$ nên $AB \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do $AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $CD \bot AD$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật) (1).

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$(2).

Từ (1) và (2), suy ra $CD \bot \left( {SAD} \right)$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAD} \right)\\\left( {ABCD} \right) \cap \left( {SCD} \right) = CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( {\left( {ABCD} \right),\left( {SCD} \right)} \right) = \widehat {SDA}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SO$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SA = 2a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $AB//D'C'$ và $AB = D'C'$ (cùng song song và bằng $CD$).

Do đó $ABC'D'$ là hình bình hành. Suy ra $AD'//BC'$$\Rightarrow AD'//\left( {BC'D} \right)$.

Do đó $d\left( {AD',DC'} \right) = d(AD',\left( {BC'D} \right)) = d\left( {A,\left( {BC'D} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {BC'D} \right)} \right) = h$.

Ta có:$\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} + \frac{1}{{C{{C'}^2}}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$$\Rightarrow h = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu đường thẳng $a$ không vuông góc với $(P)$thì góc giữa $a$ và hình chiếu $a'$ của $a$ trên $(P)$ gọi là góc giữa đường thẳng $a$ và $(P)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AD$ là hình chiếu của $SD$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Do đó góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$là $\widehat {SDA}$.

Xét $\Delta SDA$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SDA} = \frac{{SA}}{{AD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SDA} = 60^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $I$ là trung điểm $BC \Rightarrow AI \bot BC$ (vì $ABC$ là tam giác đều).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIA}$.

Mà $\Delta ABC$ đều cạnh $a \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta SAI$ vuông tại $A$, ta có: ${\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIA} = 60^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hai biến cố $A$ và $B$ độc lập thì $P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $P(A).P(B) = \frac{1}{3}.\frac{1}{4} = \frac{1}{{12}} \ne P(AB) = \frac{1}{2}$.

Do đó $A$ và $B$ không độc lập.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $A,B$ là hai biến cố độc lập nên $P\left( {A.B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{1}{3}.\frac{2}{5} = \frac{2}{{15}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số cách chọn 2 bạn trong tổ 1 để phân công trực nhật là $C_{10}^2 = 45$ cách.

Số cách chọn 1 bạn nam và 1 bạn nữ để phân công trực nhật là $C_6^1C_4^1 = 24$ cách.

Xác suất để chọn được 1 bạn nam và 1 bạn nữ là $\frac{{24}}{{45}} = \frac{8}{{15}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$A \cup B = \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)$$\Rightarrow P\left( {A \cap B} \right) = \frac{1}{{30}} \ne 0$.

Do đó $A$ và $B$ là hai biến cố không xung khắc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số cách lấy ra $2$ quả cầu trong $11$ quả là $C_{11}^2$. Suy ra $n\left( \Omega \right) = C_{11}^2$.

Gọi $A$ là biến cố “lấy được $2$ quả cùng màu”. Suy ra $n\left( A \right) = C_5^2 + C_6^2$.

Xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{{C_5^2 + C_6^2}}{{C_{11}^2}} = \frac{5}{{11}}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $y' = 2\sqrt {{x^2} + x} + \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}$$= \frac{{4{x^2} + 4x + 4{x^2} - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }} = \frac{{8{x^2} + 4x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.$

Vậy $y' = \frac{{8{x^2} + 4x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} + x} }}.$

b) Ta có $g'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 2f'\left( {2x} \right)$, $h'\left( x \right) = f'\left( x \right) - 4f'\left( {4x} \right)$.

Do $\left\{ \begin{array}{l}g'\left( 1 \right) = 18\\g'\left( 2 \right) = 1000\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 18\\f'\left( 2 \right) - 2f'\left( 4 \right) = 1000\end{array} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 1 \right) - 2f'\left( 2 \right) = 18\\2f'\left( 2 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2000\end{array} \right.$

$\Rightarrow f'\left( 1 \right) - 4f'\left( 4 \right) = 2018$.

Vậy $h'\left( 1 \right) = 2018$ hay hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị hàm số $h\left( x \right)$ tại điểm có hoành độ $x = 1$ bằng 2018.

Hướng dẫn giải

a) Do $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD$.

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \bot BD$.

Do đó $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$.

b) Ta có $AB//DC \Rightarrow AB//\left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {AB,\,MD} \right) = d\left( {AB,\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A,\,\left( {SCD} \right)} \right).$

Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ hạ $AK \bot DC$ tại $K.$

Trong $\left( {SKA} \right)$ hạ $AH \bot SK$ tại $H\,\,\left( 1 \right)$.

Khi đó ta có $\left\{ \begin{array}{l}DC \bot SA\\DC \bot AK\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot \left( {SAK} \right) \Rightarrow DC \bot AH\,\left( 2 \right)\,$

Từ $\left( 1 \right),\,\left( 2 \right)$ suy ra $AH \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\,\left( {SDC} \right)} \right) = AH$.

Ta có: ${S_{ABCD}} = AK.DC = AD.AB\sin \widehat {BAD} \Rightarrow AK = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

Xét $\Delta SAK$vuông tại $A,$ có$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}}$

$\,\, \Rightarrow AH = a \Rightarrow d\left( {AB,\,MD} \right) = a$.

Hướng dẫn giải

Từ $101$ đến $200$ có $100$ số gồm $33$ số chia hết cho $3$, $33$ số chia cho $3$ dư $1$, và $34$ số chia cho $3$ dư $2$.

Ta có $n\left( \Omega \right) = C_{100}^3$.

$A$ là biến cố: “Tổng các số ghi trên $3$ tấm thẻ đó là một số chia hết cho $3$”.

TH1: Cả 3 số lấy được đều chia hết cho 3.

TH2: Cả 3 số lấy được đều chia 3 dư 1.

TH3: Cả 3 số lấy được đều chia 3 dư 2.

TH4: 3 số lấy được có 1 số chia hết cho 3, 1 số chia 3 dư 1, 1 số chia 3 dư 2.

Khi đó $n\left( A \right) = 2C_{33}^3 + C_{34}^3 + C_{34}^1C_{33}^1C_{33}^1$.

Suy ra $P\left( A \right) = \frac{{817}}{{2450}}.$