Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 4

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có ${a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

${\log _2}4 = {\log _2}{2^2} = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến khi $a > 1$.

Mà $\sqrt 2 > 1$ nên $y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}$ là hàm đồng biến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đồ thị của hàm số $y = {\log _a}x,0 < a < 1$ là hình IV.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có ${\log _{27}}5 = a \Rightarrow {\log _3}5 = 3a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b \Rightarrow {\log _2}7 = 3b$.

Có ${\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}}$.

Do đó ${\log _{12}}35 = \frac{{3ac + 3b}}{{2 + c}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)$ xác định khi ${x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.$.

Do đó tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${2^x} < 4$$\Leftrightarrow {2^x} < {2^2} \Leftrightarrow x < 2$.

Do đó ta chọn đáp án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $x > 1$.

${\log _2}x + {\log _2}(x - 1) = 1$$\Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x(x - 1)} \right] = 1$$\Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2$$\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện, ta có $x = 2$ là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$$f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 2.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $y' = {\left( {{x^2}} \right)^\prime } = 2x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}$;$y'' = {\left( {3{x^2}} \right)^\prime } = 6x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $f'\left( x \right) = {\left( {201} \right)^\prime } = 0 \Rightarrow f''\left( x \right) = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $y' = f'(x) = 2x + 1$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tuyến tại điểm $M(1;3) \in (C)$ là: $f'\left( 1 \right) = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 2t$.

Khi đó $v\left( 2 \right) = 2.2 = 4\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có $f'\left( x \right) = {\left( {{x^2} + x\;} \right)^\prime } = 2x + 1$.

Ta có $f'\left( 1 \right) = 2.1 + 1 = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $f'\left( x \right) = 4{x^4} - 6x - 1;f''\left( x \right) = 16{x^3} - 6.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu $A$và $B$là hai biến cố xung khắc thì $P(A \cup B) = P(A) + P(B).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$P(AB) = P(A).P(B).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$A$ và $B$là hai biến cố xung khắc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi biến cố A: “Học sinh đó giỏi Toán”.

Biến cố B: “Học sinh đó giỏi Văn”.

Biến cố AB: “Học sinh đó giỏi cả Văn và Toán”.

Biến cố ${\rm{A}} \cup {\rm{B}}$: “Học sinh đó giỏi một trong hai môn Toán hoặc Văn”.

Ta có $P\left( A \right) = \frac{{16}}{{40}} = \frac{2}{5};P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2};P\left( {AB} \right) = \frac{{12}}{{40}} = \frac{3}{{10}}$.

Khi đó $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$= \frac{2}{5} + \frac{1}{2} - \frac{3}{{10}} = \frac{6}{{10}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi biến cố A: “Học sinh đó thích môn Lý”.

Biến cố B: “Học sinh đó thích môn Hóa”.

Biến cố AB: “Học sinh đó thích cả môn Lý và Hóa”.

Biến cố ${\rm{A}} \cup {\rm{B}}$: “Học sinh đó thích môn Lý hoặc môn Hóa”.

Theo đề, $P\left( A \right) = \frac{{25}}{{40}} = \frac{5}{8};P\left( B \right) = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2};P\left( {AB} \right) = \frac{{14}}{{40}} = \frac{7}{{20}}$.

Khi đó $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(AB)$$= \frac{5}{8} + \frac{1}{2} - \frac{7}{{20}} = \frac{{31}}{{40}}$.

Xác suất để chọn được học sinh không thích cả hai môn Lý và Hóa là:

$1 - \frac{{31}}{{40}} = \frac{9}{{40}} = 0{,}225$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $\Omega = \left\{ {SS,NN,SN,NS} \right\}$.

Xét biến cố A: “ít nhất 1 lần xuất hiện mặt sấp”. Khi đó $A = \left\{ {SS,SN,NS} \right\}$.

Do đó $P\left( A \right) = \frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau nên $ABCD,ABB'A',BCC'B'$ đều là hình thoi.

$A'B \bot AB'$ mà $AB'//DC'$. Do đó $A'B \bot DC'$.

$AC \bot BD$ mà $AC//A'C'$. Do đó $A'C' \bot BD$.

$B'C \bot BC'$ mà $B'C//A'D$. Do đó $BC' \bot A'D$.

Do đó đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot (ABCD)$$\Rightarrow SA \bot AB$ mà $AB \bot AD$ (do $ABCD$ là hình chữ nhật).

Do đó $AB \bot \left( {SAD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$ nên hình chiếu của $A'$ trên mặt phẳng $(A'B'C'D')$là $A$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thể tích của khối chóp là $V = \frac{1}{3}.6.2 = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$là $AB$.

Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$bằng $\widehat {SBA}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AC$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Vì $\Delta ABC$ đều, $I$ là trung điểm của $BC$ nên $AI \bot BC$ (1).

Lại có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAI} \right)$. Do đó A, B đúng.

+) Vì $BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AJ$ (3).

Vì $AI$ là đường cao tam giác $ABC$ đều cạnh a nên $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = SA$.

Do đó $\Delta SAI$ cân tại A mà $J$ là trung điểm $SI$ nên $AJ \bot SI$ (4).

Từ (3) và (4), suy ra $AJ \bot \left( {SBC} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC \bot BD$ mà $SA \bot BD$ (do $SA \bot \left( {ABCD} \right)$).

Do đó $BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA$.

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SA \bot AB$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A$, có $SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a$.

Vậy $d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = a$.

Hướng dẫn giải

Gọi $n$, $\left( {\,n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$là số năm cần tìm.

Số tiền cả gốc lẫn lãi của Nam sau $n$ năm là $65.{\left( {1 + 6{,}5\% } \right)^n}$ triệu đồng.

Ta có: $65.{\left( {1 + 6{,}5\% } \right)^n} \approx 83$$\Rightarrow \,n = 4$.

Vậy sau 4 năm Nam có thể mua được một chiếc xe máy với giá 83 triệu đồng.

Hướng dẫn giải.

Gọi $v\left( t \right)$, $a\left( t \right)$ lần lượt là vận tốc và gia tốc của chất điểm.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 10\\a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5\end{array} \right.$.

Mà $a\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 2 \ge 2$ với mọi $t$, dấu “$=$” xảy ra khi chỉ khi $t = 1.$

Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm nhỏ nhất bằng $2{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$ khi $t = 1$.

Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất là

$v\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^3} - 3 \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 13$ $\left( {{\rm{m/}}\,{\rm{s}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi $H,M$ lần lượt là trung điểm của $AD,BC$.

Vì $\Delta SAD$ đều nên $SH \bot AD$ mà $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot BC.$

Lại có $BC \bot HM \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BC \bot SM$.

Do đó góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $\widehat {SMH} = 45^\circ$.

Vì $SH$ là đường cao của $\Delta SAD$ đều cạnh $2a$ nên $SH = a\sqrt 3$.

Xét $\Delta SHM$, có $HM = \frac{{SH}}{{\tan 45^\circ }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{1} = a\sqrt 3$.

Do đó ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.AD.HM = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .2a.a\sqrt 3 = 2{a^3}.$