Bộ 10 đề thi Cuối kì 2 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 10

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\frac{{{a^{\frac{2}{3}}}.{a^{\frac{3}{4}}}}}{{\sqrt[6]{a}}} = \frac{{{a^{\frac{{17}}{{12}}}}}}{{{a^{\frac{1}{6}}}}} = {a^{\frac{5}{4}}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$${\log _a}a = 1.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\log _5}{a^2} = 2{\log _5}a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số y= log$_{a}$x đồng biến khi a > 1. Do đó chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng mỗi giờ của loài vi khuẩn này.

Từ giả thiết, ta có: $300 = 100.{e^{5r}} \Leftrightarrow {e^{5r}} = 3 \Leftrightarrow 5r = \ln 3 \Leftrightarrow r = \frac{{\ln 3}}{5} \approx 0{,}2197$.

Tức là tỉ lệ tăng trưởng của loại vi khuẩn này là 21,97% mỗi giờ.

Từ 100 con để có 200 con thì thời gian cần thiết là bao nhiêu?

Ta có $200 = 100.{e^{rt}} \Leftrightarrow rt = \ln 2 \Leftrightarrow t = \frac{{\ln 2}}{r} = \frac{{\ln 2}}{{\frac{{\ln 3}}{5}}} \approx 3{,}15$ (giờ) = 3 giờ 9 phút.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${\log _{2023}}\left( {2024x} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\2024x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{{2024}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${3^{{x^2} - x}} = 9$$\Leftrightarrow {3^{{x^2} - x}} = {3^2}$$\Leftrightarrow {x^2} - x = 2$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.$.

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

${\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} - 4x - 12}} > 1$$\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{{x^2} - 4x - 12}} > {\left( {\frac{1}{3}} \right)^0}$$\Leftrightarrow {x^2} - 4x - 12 < 0$$\Leftrightarrow - 2 < x < 6$.

Vì $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$f'\left( 3 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f(x) - f(3)}}{{x - 3}} = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${M_0}\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\;$ là$f'\left( {{x_0}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có $y' = 2x + 2\; \Rightarrow y'\left( 1 \right) = 4$.

Với ${x_0} = 1 \Rightarrow {y_0} = 3$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là: $y = 4\left( {x - 1} \right) + 3 = 4x - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $v\left( t \right) = s'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t - 9$; $a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 6t - 6.$

Vận tốc của chuyển động bằng 0 thì $3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3$.

$v\left( 2 \right) = {3.2^2} - 6.2 - 9 = - 9{\rm{m/s}}$.

$a\left( 3 \right) = 6.3 - 6 = 12{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}.$

Gia tốc bằng 0 khi $6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$y' = {\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\left( {u + v} \right)^\prime } = u' + v'$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$y' = {\left( {{{11}^x}} \right)^\prime } = {11^x}\ln 11$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x$; $y'' = {\left( { - \sin x} \right)^{\prime \prime }} = - \cos x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có $y' = {\left( {2{x^5}} \right)^\prime } = 10{x^4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $f'(x) = {\left( {{x^3} + 2x} \right)^\prime } = 3{x^2} + 2;f''\left( x \right) = 6x$.

Do đó $f''\left( 1 \right) = 6.1 = 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\Omega = \{ 1;2;3;4;5;6\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đáp án sai là D: $A$ và $B$là hai biến cố xung khắc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố: “Con xúc xắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ” $\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{2}$.

B là biến cố: “Con xúc xắc thứ hai xuất hiện mặt lẻ” $\Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2}$.

C là biến cố: “Tích số chấm xuất hiện trên hai mặt con súc sắc là số lẻ”.

Có $C = A.B$ mà $A,B$ là hai biến cố độc lập nên

$P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $A$ và $B$là hai biến cố độc lập nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right)P\left( B \right) \Rightarrow P\left( B \right) = 0{,}3$.

Có $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0{,}5 + 0{,}3 - 0{,}15 = 0{,}65.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $A = \left\{ {1;2} \right\}$$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{1}{3}$;

$B = \left\{ {4;5;6} \right\} \Rightarrow P\left( B \right) = \frac{1}{2}$.

Vì $A,B$ là hai biến cố xung khắc nên $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{25}^4 = 12650$.

Gọi A là biến cố: “$4$ học sinh lên bảng có cả nam và nữ”.

TH1: Có 1 nam 3 nữ $\Rightarrow C_{15}^1.C_{10}^3 = 1800$ cách

TH2: Có 2 nam 2 nữ $\Rightarrow C_{15}^2.C_{10}^2 = 4725$ cách

TH3: Có 3 nam 1 nữ $\Rightarrow C_{15}^3.C_{10}^1 = 4550$ cách.

Do đó $n\left( A \right) = 11075$ cách.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{11075}}{{12650}} = \frac{{443}}{{506}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Góc giữa hai đường thẳng $m$ và $n$ bằng góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ cùng đi qua một điểm và tương ứng song song với $m$ và $n$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $H$ là hình chiếu vuông góc $S$ của lên $BC$ nên $SH \bot BC$ (1).

Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC \bot AB$(1).

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mệnh đề thứ nhất đúng theo định nghĩa về góc.

Mệnh đề thứ hai sai và mệnh đề thứ ba đúng theo định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc.

Mệnh đề thứ tư sai vì $\left( R \right)$ có thể trùng với $\left( Q \right)$.

Mệnh đề thứ năm đúng theo tính chất hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuông góc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng sẽ vuông góc với mặt phẳng ấy.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A,$ có $SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} = \sqrt {2{a^2} - {a^2}} = a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi $K$ là trung điểm $CD$. Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AK\\CD \bot BK\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABK} \right).$

Dựng $HK \bot AB \Rightarrow HK = d\left( {AB;CD} \right).$

Xét tam giác $BHK$ vuông tại $H$, ta có

$HK = \sqrt {B{K^2} - B{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$ Vậy $d\left( {AB,CD} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì nên là hình chiếu của $SC \bot \left( {ABC} \right)$$SA$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$.

Do đó góc giữa với là góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $AC$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot (ABCD)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Do đó góc giữa $SC$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $\widehat {SCA}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh a nên $AC = a\sqrt 2$.

Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = 1 \Rightarrow \widehat {SCA} = 45^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi $I$ là trung điểm $BC \Rightarrow AI \bot BC$ (vì $ABC$ là tam giác đều).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIA}$.

Mà $\Delta ABC$ đều cạnh $a \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta SAI$ vuông tại $A$, ta có: ${\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIA} = 60^\circ$.

Hướng dẫn giải

a) $y' = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}$.

b) Vận tốc tức thời của con lắc là $v(t) = x'(t) = - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ (m/s).

Khi vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì

$\begin{array}{l} - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \,(k \in \mathbb{N})\\ \Leftrightarrow \pi t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \,(k \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})\end{array}$

Vậy khi $t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})$thì vận tốc con lắc bằng 0.

Hướng dẫn giải

Số cách chọn 9 quyển sách bất kì từ 20 quyển sách bằng: $n\left( \Omega \right) = C_{20}^9 = 167960$.

Gọi A là biến cố sau khi tặng số sách còn lại của thầy giáo đủ ba môn

Suy ra $\overline A$ là biến cố sau khi tặng số sách còn lại không đủ cả 3 môn (đồng nghĩa thầy giáo tặng hết một loại sách)

$n\left( {\overline A } \right) = C_7^7.C_{13}^2 + C_5^5.C_{15}^4 + C_8^8.C_{12}^1 = 1455$.

Vậy $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{n\left( {\overline A } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1 - \frac{{1455}}{{167960}} = \frac{{33301}}{{33592}}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $\Delta ABC$ đều, $I$ là trung điểm của $AB$ nên $CI \bot AB$.

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CI$.

Ta có: $CI \bot AB$ và $CI \bot SA$

$\Rightarrow CI \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
b) Trong $\left( {SAB} \right)$ kẻ $IH \bot SB$ tại $H$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SB\\IH \bot CI{\rm{ }}\left( {CI \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {SB;CI} \right) = IH$.

Ta có $IB = \frac{a}{2};SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a$.

$\Delta IHB$ vuông tại $H$ nên:$IH = IB.\sin \widehat {IBH} = \frac{a}{2}.\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}$.