Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 7

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào bảng số liệu ta thấy khoảng cân nặng số học sinh chiếm nhiều nhất là $\left[ {50;55} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số trung bình $\overline x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9{,}4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Biến cố: “$A$ hoặc $B$ xảy ra” được gọi là biến cố hợp của $A$ và $B$, kí hiệu là $A \cup B.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

A, B là hai biến cố độc lập thì $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xác suất để lần thứ 1 lấy được bi màu trắng là $\frac{7}{{12}}$.

Xác suất để lần thứ 2 lấy được viên bi màu đen là $\frac{5}{{11}}$.

Suy ra xác suất để lấy được bi thứ 1 màu trắng và bi thứ 2 màu đen là $\frac{7}{{12}}.\frac{5}{{11}} = \frac{{35}}{{132}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi A là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Anh”.

B là biến cố: “Người được chọn thành thạo tiếng Pháp”.

AB là biến cố: “Người được chọn thành thạo cả tiếng Anh và tiếng Pháp”.

${\rm{A}} \cup {\rm{B}}$ là biến cố: “Người được chọn thành thạo ít nhất một trong hai thứ tiếng Anh hoặc tiếng Pháp”.

Theo đề, ${\rm{P}}\left( {\rm{A}} \right) = \frac{{31}}{{50}};{\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right) = \frac{{21}}{{50}};{\rm{P}}\left( {{\rm{AB}}} \right) = \frac{5}{{50}}$.

Ta có ${\rm{P}}\left( {{\rm{A}} \cup {\rm{B}}} \right) = {\rm{P}}\left( {\rm{A}} \right) + {\rm{P}}\left( {\rm{B}} \right) - {\rm{P}}\left( {{\rm{AB}}} \right) = \frac{{47}}{{50}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $P = {x^{\frac{1}{3}}}.\sqrt[6]{x}$$= {x^{\frac{1}{3}}}.{x^{\frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}} = {x^{\frac{1}{2}}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${\log _a}b = \alpha$$\Leftrightarrow {a^\alpha } = b$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$P = {\log _a}({b^2}{c^3})$$= {\log _a}{b^2} + {\log _a}{c^3} = 2{\log _a}b + 3{\log _a}c = 2.2 + 3.3 = 13.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\log _2}{a^3} + {\log _2}b = 5$$\Leftrightarrow {\log _2}{a^3}b = 5$$\Leftrightarrow {a^3}b = {2^5} = 32$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {x^{ - 4}}$không phải là hàm số mũ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số ${\rm{y}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x$ xác định khi $x > 0$.

Do đó tập xác định của hàm số ${\rm{y}} = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}x$ là $(0; + \infty )$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${\log _3}\left( {13 - {x^2}} \right) \ge 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}13 - {x^2} > 0\\13 - {x^2} \ge {3^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt {13} < x < \sqrt {13} \\ - 2 \le x \le 2\end{array} \right. \Leftrightarrow - 2 \le x \le 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $D = \left[ { - 2;2} \right]$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^{2x + 1}} > 1$$\Leftrightarrow 2x + 1 < 0 \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $D = \left( { - \infty ; - \frac{1}{2}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $x > \frac{1}{2}$.

$${\log _3}x.{\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2{\log _3}x \Leftrightarrow {\log _3}x.\left[ {{{\log }_3}\left( {2x - 1} \right) - 2} \right] = 0$$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _3}x = 0\\\left[ {{{\log }_3}\left( {2x - 1} \right) - 2} \right] = 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\2x - 1 = 9\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 5\end{array} \right.$ (thỏa mãn điêu kiện).

Vậy phương trình có hai nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại điểm ${x_0}$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm ${M_0}({x_0},{y_0})$ là $y - {y_0} = y'({x_0})(x - {x_0}).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$y' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$y' = \frac{{\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$.

Có $y'\left( 3 \right) = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {3 - 1} \right)}^2}}} = - \frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$y' = {\left( {\frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{5{x^3}}}{3} - \sqrt {2x} + {a^2}} \right)^\prime } = 2{x^3} + 5{x^2} - \frac{1}{{\sqrt {2x} }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$y' = {\left( {\cos 3x.\sin 2x} \right)^\prime }$$= - 3\sin 3x\sin 2x + 2\cos 3x\cos 2x$

$y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$$= - 3\sin \pi \sin \frac{{2\pi }}{3} + 2\cos \pi \cos \frac{{2\pi }}{3}$$= 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $y' = {\left( {{x^3}} \right)^\prime } = 3{x^2};y'' = 6x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x + 1$, $y'' = 6x - 6$$\Rightarrow y'' = 0$$\Leftrightarrow x = 1$.

Vậy nghiệm của phương trình $y'' = 0$ có nghiệm là $x = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB \bot AD$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu $a \bot \left( P \right)$ và $b//a$ thì $b \bot \left( P \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow$ hình chiếu của $SC$ lên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ là $AC$.

Do đó góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) là $\widehat {SCA}$.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 3$.

Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A$, có $\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{a\sqrt 3 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SCA} = 60^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $H$ là trung điểm của $B'C'$.

Vì $A'H \bot B'C'$ (do $\Delta A'B'C'$ đều) và $AH \bot B'C'$ (do $\Delta AB'C'$cân tại $A$)

Nên $\left[ {A,B'C',A'} \right] = \widehat {AHA'}$.

Vì $\Delta A'B'C'$ đều cạnh $a$ nên $A'H = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta AA'H$ vuông tại $A'$, $\tan \widehat {AHA'} = \frac{{AA'}}{{A'H}} = \frac{a}{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$\left. \begin{array}{l}a \bot \left( \alpha \right)\\a \subset \left( \beta \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \left( \alpha \right) \bot \left( \beta \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $AB \bot AC$ (do $\Delta ABC$ là tam giác vuông tại $A$) (1).

Mà $SA \bot \left( {ABC} \right)$$\Rightarrow SA \bot AB$ (2).

Từ (1) và (2), ta có $AB \bot \left( {SAC} \right)$$\Rightarrow \left( {SAB} \right) \bot \left( {SAC} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD$ tại $A$ mà $AD \bot CD$ tại D.

Do đó đoạn vuông góc chung của $AA'$ và $CD$ là $AD$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hạ $AD \bot BC$ tại $D$ mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$. Suy ra $BC \bot \left( {SAD} \right)$.

Hạ $AE \bot SD$ tại $E$(1).

Vì $BC \bot \left( {SAD} \right)$$\Rightarrow BC \bot AE$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $AE \bot \left( {SBC} \right)$ hay $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AE$.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}$.

Xét $\Delta SAD$ vuông tại A có $\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}$$= \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}}$.

Do đó $\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.h = \frac{1}{3}.10.3 = 10$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$V = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'} + S'} \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}}}{4}$.

Vì $\frac{{{V_{S.MNP}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \frac{{SM}}{{SA}}.\frac{{SN}}{{SB}}.\frac{{SP}}{{SC}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

Do đó ${V_{S.MNP}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}.\frac{{{a^3}}}{4} = \frac{{{a^3}}}{{32}}$.

Suy ra ${V_{MNP.ABC}} = {V_{S.ABC}} - {V_{S.MNP}} = \frac{{7{a^3}}}{{32}}.$

Hướng dẫn giải

a) Gọi A là biến cố "Động cơ I chạy tốt"; B là biến cố "Động cơ II chạy tốt"; C là biến cố "Cả hai động cơ chạy tốt".

Ta có C = AB và các biến cố A, B độc lập.

Do đó, ta có: $P(C) = P(AB) = P(A).P(B) = 0{,}8.0{,}9 = 0{,}72$.

b) Gọi D là biến cố "Cả hai động cơ đều chạy không tốt"; E là biến cố "Cả hai động cơ có ít nhất một động cơ chạy tốt"

Ta có $D = \overline {A\,} \overline {B\,}$ và các biến cố $\overline {A\,}$, $\overline {B\,}$ độc lập.

Do đó, ta có:

$P(D) = P(\overline {\rm{A}} \overline {B\,} ) = P(\overline {\rm{A}} ).P(\overline {B\,} ) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = 0{,}2.0{,}1 = 0{,}02$.

$\Rightarrow P(E) = 1 - P(D) = 0{,}98$.

Hướng dẫn giải

Vận tốc tức thời của con lắc là $v(t) = x'(t) = - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right)$ (m/s).

Khi vận tốc tức thời của con lắc bằng 0 thì

$\begin{array}{l} - 4\pi \,\sin \left( {\pi t - \frac{{2\pi }}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \pi t - \frac{{2\pi }}{3} = k\pi \,(k \in \mathbb{N})\\ \Leftrightarrow \pi t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \,(k \in \mathbb{N}) \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})\end{array}$

Vậy khi $t = \frac{2}{3} + k\,(k \in \mathbb{N})$thì vận tốc con lắc bằng 0.

Hướng dẫn giải

Ta giả sử các cạnh và đỉnh của kim tự tháp như hình vẽ.

H là tâm của đáy, I là trung điểm của BC.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $262{\rm{m}}$ nên $AC = 262\sqrt 2 \Rightarrow HC = 131\sqrt 2$.

Xét $\Delta SHC$ vuông tại $H,$ có

$SH = \sqrt {S{C^2} - H{C^2}} = \sqrt {{{230}^2} - {{(131\sqrt 2 )}^2}} = \sqrt {18578} \approx 136$(m).

Vậy chiều cao của kim tự tháp là khoảng 136 mét.

Kẻ HJ vuông góc với SI, suy ra HJ là đoạn đường ngắn nhất.

Trong tam giác SHI vuông tại H, HJ là đường cao, ta có: $\frac{1}{{H{J^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{18578}} + \frac{1}{{17161}} = \frac{{35739}}{{18578.17161}}$

$\Rightarrow H{J^2} = \frac{{18578.17161}}{{35739}} \Rightarrow HJ \approx 94$ (m)

$\Rightarrow IJ = \sqrt {H{I^2} - H{J^2}} = \sqrt {{{131}^2} - {{94}^2}} \approx 91$ (m).

Vậy vị trí để đào con đường đến kho báu sao cho đoạn đường ngắn nhất là tại điểm J nằm trên trung tuyến của mặt bên, cách cạnh đáy kim tự tháp khoảng 91 mét.