Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 3

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$A \cap B$: “Học sinh đó là học sinh nữ và có tên bắt đầu bằng chữ Q”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $A$ và $B$là hai biến cố độc lập nên $P\left( {AB} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right) = 0{,}4.0{,}45 = 0{,}18$.

Do đó $P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {AB} \right) = 0{,}4 + 0{,}45 - 0{,}18 = 0{,}67$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $n\left( \Omega \right) = C_{10}^5 = 252$.

Gọi A là biến cố: “Chọn đúng 3 viên bi xanh”.

Suy ra $n\left( A \right) = C_7^3.C_3^2 = 105$.

Do đó $P\left( A \right) = \frac{{105}}{{252}} = \frac{5}{{12}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có ${a^{\frac{5}{3}}}.{a^{\frac{1}{3}}} = {a^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}}} = {a^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$P = \frac{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{9}{4}}}}}{{{a^{\frac{1}{4}}} - {a^{\frac{5}{4}}}}}$$= \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}}$$= \frac{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)\left( {1 + a} \right)}}{{{a^{\frac{1}{4}}}\left( {1 - a} \right)}} = 1 + a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${\log _b}x = {\log _b}a.{\log _a}x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có ${\log _{27}}5 = a \Rightarrow {\log _3}5 = 3a,{\rm{ }}{\log _8}7 = b \Rightarrow {\log _2}7 = 3b$.

Có ${\log _{12}}35 = \frac{{{{\log }_2}35}}{{{{\log }_2}12}} = \frac{{{{\log }_2}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}} = \frac{{{{\log }_2}3.{{\log }_3}5 + {{\log }_2}7}}{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}3}}$.

Do đó ${\log _{12}}35 = \frac{{3ac + 3b}}{{2 + c}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàm số $y = {a^x}$ đồng biến khi $a > 1$.

Mà $\sqrt 2 > 1$ nên $y = {\left( {\sqrt 2 } \right)^x}$ là hàm đồng biến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đây là dạng đồ thị hàm số mũ $y = {a^x}$. Hàm số này có $a > 1$.

Mà đồ thị hàm số đi qua điểm $\left( {2;2} \right)$ nên chọn A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện ${x^2} - 9x + 20 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < 4\\x > 5\end{array} \right.$.

Do đó tập xác định của hàm số là $D = \left( { - \infty ;4} \right) \cup \left( {5; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

${a^\alpha } = b$$\Leftrightarrow \alpha = {\log _a}b$ với $a,b$ là hai số dương, $a \ne 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${3^{{x^2} - 5x + 5}} = 3$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 5 = 1$$\Leftrightarrow {x^2} - 5x + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 4\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: $x > 1$.

${\log _2}x + {\log _2}(x - 1) = 1$$\Leftrightarrow {\log _2}\left[ {x(x - 1)} \right] = 1$$\Leftrightarrow x\left( {x - 1} \right) = 2$$\Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 1\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện, ta có $x = 2$ là nghiệm của phương trình.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$$f'\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f(x) - f(2)}}{{x - 2}} = 2.$$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$$y = {x^5} \Rightarrow y' = 5{x^4}.$$

Đáp án đúng là: C

Có $f'\left( x \right) = {\left( {\sqrt {2x} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x} }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $y' = {\left( {{{13}^x}} \right)^\prime } = {13^x}\ln 13$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $f'\left( x \right) = 2\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 3} \right)$.

Có $f'\left( 1 \right) = 2\left( {2.1 - 3} \right)\left( {{1^2} - 3.1 + 3} \right) = - 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$f'\left( x \right) = {\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}.$

Có $f'\left( 4 \right) = \frac{3}{{{{\left( {4 + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{25}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $f'\left( x \right) = 6{x^2};f''\left( x \right) = 12x$.

Do đó $f''\left( { - 1} \right) = 12.\left( { - 1} \right) = - 12$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp có tất cả các cạnh bằng nhau nên $ABCD,ABB'A',BCC'B'$ đều là hình thoi.

$A'B \bot AB'$ mà $AB'//DC'$. Do đó $A'B \bot DC'$.

$AC \bot BD$ mà $AC//A'C'$. Do đó $A'C' \bot BD$.

$B'C \bot BC'$ mà $B'C//A'D$. Do đó $BC' \bot A'D$.

Do đó đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $AD \bot AB$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Vì $AA' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow AA' \bot AD$mà $AD \bot AB$ nên $AD \bot \left( {ABB'A'} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Vì $\Delta ABC$ đều, $I$ là trung điểm của $BC$ nên $AI \bot BC$ (1).

Lại có $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAI} \right)$. Do đó A, B đúng.

+) Vì $BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot AJ$ (3).

Vì $AI$ là đường cao tam giác $ABC$ đều cạnh a nên $AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} = SA$.

Do đó $\Delta SAI$ cân tại A mà $J$ là trung điểm $SI$ nên $AJ \bot SI$ (4).

Từ (3) và (4), suy ra $AJ \bot \left( {SBC} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BA \bot AD$ (1)

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AB$(2)

Từ (1) và (2), suy ra $BA \bot \left( {SAD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$là $AB$.

Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$bằng $\widehat {SBA}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ mà $BC \bot AB \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow BC \bot SB$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SB \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SBA}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi $I$ là trung điểm $BC \Rightarrow AI \bot BC$ (vì $ABC$ là tam giác đều).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AI\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right) \Rightarrow BC \bot SI$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {S,BC,A} \right] = \widehat {SIA}$.

Mà $\Delta ABC$ đều cạnh $a \Rightarrow AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta SAI$ vuông tại $A$, ta có: ${\rm{tan}}\widehat {SIA} = \frac{{SA}}{{AI}} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SIA} = 60^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp chữ nhật nên $\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đáp án B sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì 2 đường thẳng đó có thể chéo nhau hoặc cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $AC \bot BD$ mà $BD//B'D'$ nên $AC \bot B'D'.$

Vì $BB' \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow BB' \bot AC$ mà $AC \bot BD$ nên $AC \bot \left( {BDD'B'} \right)$.

Suy ra $\left( {ACC'A'} \right) \bot \left( {BDD'B'} \right)$.

Vì $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp đứng nên $\left( {AA'B'B} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Do đó đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SO$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $BC \bot CD$ và $CD \bot AD$ ($ABCD$ là hình chữ nhật).

Lại có $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$ mà $CD \bot AD$ $\Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD$.

Do đó $CD$ là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau $BC,SD$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABC} \right)} \right) = SA = 2a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $V = B.h$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $AB//D'C'$ và $AB = D'C'$ (cùng song song và bằng $CD$).

Do đó $ABC'D'$ là hình bình hành. Suy ra $AD'//BC'$$\Rightarrow AD'//\left( {BC'D} \right)$.

Do đó $d\left( {AD',DC'} \right) = d(AD',\left( {BC'D} \right)) = d\left( {A,\left( {BC'D} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {BC'D} \right)} \right) = h$.

Xét tứ diện $C.BC'D$ có $CD,CB,CC'$ đôi một vuông góc.

Ta có:$\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{C{D^2}}} + \frac{1}{{C{B^2}}} + \frac{1}{{C{{C'}^2}}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{3}{2}$$\Rightarrow h = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Hướng dẫn giải.

a) Ta có $y' = {\left( {{2^{{x^2} - 3x}}} \right)^\prime } = {2^{{x^2} - 3x}}\ln 2.{\left( {{x^2} - 3x} \right)^\prime } = \left( {2x - 3} \right){.2^{{x^2} - 3x}}\ln 2$.

b) Gọi $v\left( t \right)$, $a\left( t \right)$ lần lượt là vận tốc và gia tốc của chất điểm.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 10\\a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5\end{array} \right.$.

Mà $a\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 2 \ge 2$ với mọi $t$, dấu “$=$” xảy ra khi chỉ khi $t = 1.$

Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm nhỏ nhất bằng $2{\rm{m/}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}$ khi $t = 1$.

Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất là

$v\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^3} - 3 \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 13$ $\left( {{\rm{m/}}\,{\rm{s}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $\Delta ABC$ đều, $I$ là trung điểm của $AB$ nên $CI \bot AB$.

Vì $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot CI$.

Ta có: $CI \bot AB$ và $CI \bot SA$

$\Rightarrow CI \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow \left( {ABC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$.
b) Trong $\left( {SAB} \right)$ kẻ $IH \bot SB$ tại $H$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}IH \bot SB\\IH \bot CI{\rm{ }}\left( {CI \bot \left( {SAB} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {SB;CI} \right) = IH$.

Ta có $IB = \frac{a}{2};SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = 2a$.

$\Delta IHB$ vuông tại $H$ nên:$IH = IB.\sin \widehat {IBH} = \frac{a}{2}.\frac{{SA}}{{SB}} = \frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = \frac{{\sqrt 3 a}}{4}$.

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá”

B là biến cố “Người đó mắc bệnh phổi”

A.B là biến cố “Người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi”

Xác suất để người đó nghiện thuốc lá là $P(A) = \frac{{752 + 1236}}{{5000}} = \frac{{1988}}{{5000}}$.

Xác suất để người đó mắc bệnh phổi là $P(B) = \frac{{752 + 575}}{{5000}} = \frac{{1327}}{{5000}}$.

Xác suất để người đó nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi là $P(A.B) = \frac{{752}}{{5000}}$.

Nhận thấy: $P(A).P(B) = \frac{{1988}}{{5000}}.\frac{{1327}}{{5000}} \ne \frac{{752}}{{5000}} = P(A.B)$

Vậy A và B không độc lập hay nghiện thuốc lá và mắc bệnh phổi có liên quan với nhau.