Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 2

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có ${\left( {{a^m}} \right)^n} = {\left( {{a^n}} \right)^m}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: ${x^2} - 2x - 3 > 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1\\x > 3\end{array} \right.$.

Vậy tập xác định của hàm số là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện $x > 0$.

Ta có $\log x \ge 1$$\Leftrightarrow x \ge 10$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ {10; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $\frac{2}{3} < x < \frac{6}{5}$.

${\log _2}\left( {3x - 2} \right) > {\log _2}\left( {6 - 5x} \right)$

$\Leftrightarrow 3x - 2 > 6 - 5x$

$\Leftrightarrow 8x > 8$

$\Leftrightarrow x > 1$.

Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left( {1;\frac{6}{5}} \right)$.

Khi đó $1 + \frac{6}{5} = \frac{{11}}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${3^{4 - {x^2}}} \ge 27$$\Leftrightarrow {3^{4 - {x^2}}} \ge {3^3}$$\Leftrightarrow 4 - {x^2} \ge 3$$\Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left[ { - 1;1} \right]$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có ${9^x} + {2.3^x} - 3 > 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{3^x} < - 3\\{3^x} > 1\end{array} \right.$ mà ${3^x} > 0$ nên ${3^x} > 1 \Leftrightarrow x > 0$.

Do đó tập nghiệm của bất phương trình là $\left( {0; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $v\left( t \right) = S'\left( t \right) = - {t^2} + 12t$

Có $v\left( 3 \right) = - {3^2} + 12.3 = 27\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right) - 2\left( {x + 1} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}$$= \frac{{ - 5}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}$.

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ ${x_0} = - 1$là:

$y'\left( { - 1} \right) = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {2.\left( { - 1} \right) - 3} \right)}^2}}} = - \frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$y' = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^\prime } = \cos x - \sin x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

${\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }},\left( {x > 0} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $f'\left( x \right) = \frac{{2\left( {x + 4} \right) - \left( {2x + 7} \right)}}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}}$.

Khi đó $f'\left( 2 \right) = \frac{1}{{{{\left( {2 + 4} \right)}^2}}} = \frac{1}{{36}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $y' = 2\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right){\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)^\prime }$$= 2\left( {{x^3} - 2{x^2}} \right)\left( {3{x^2} - 4x} \right)$$= 6{x^5} - 20{x^4} + 16{x^3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có $y' = {x^2} - 4x - 5$.

Để $y' \ge 0$ thì ${x^2} - 4x - 5 \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 5\end{array} \right.$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {5; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$y' = {\left( {\sin 2x} \right)^\prime } = 2\cos 2x$; $y'' = {\left( {2\cos 2x} \right)^\prime } = - 4\sin 2x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x$.

$y'' = {\left( {\cos x} \right)^\prime } = - \sin x$.

Do đó $y'' + y = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có $y' = 5{x^4} - 12{x^3} + 1$; $y'' = 20{x^3} - 36{x^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$f'\left( x \right) = - \frac{2}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$;

$f''\left( x \right) = \frac{8}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}$. Khi đó $f''\left( { - 1} \right) = \frac{8}{{{{\left( {2.\left( { - 1} \right) - 1} \right)}^3}}} = - \frac{8}{{27}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $y' = 3{x^2} - 6x + 1$; $y'' = 6x - 6$

Ta có $y'' = 0$$\Leftrightarrow 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $AC//A'C'$ nên $\left( {A'C',BD} \right) = \left( {AC,BD} \right) = 90^\circ$ (do $ABCD$ là hình vuông).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $d$ vuông góc với mặt phẳng$\left( \alpha \right)$chỉ đúng khi hai đường thẳng đó cắt nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC \bot AB$ (1).

Mà $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AM$(3).

Vì $M$ là hình chiếu của $A$ trên $SB$ nên $AM \bot SB$ (4).

Từ (3) và (4), suy ra $AM \bot \left( {SBC} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB \bot BC$ (1).

Mà $SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC$(2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow BC \bot SB$ mà $AB \bot BC$

Nên $\left[ {A,BC,S} \right] = \widehat {SBA}$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A,$có $\tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3$$\Rightarrow \widehat {SBA} = 60^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Do đó $\left( {SC,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SC,AC} \right) = \widehat {SCA} = \alpha$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $AC = a\sqrt 2$.

Xét $\Delta SAC$ vuông tại $A,$ có $\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đều nên $AA' \bot \left( {A'B'C'} \right)$.

Do đó $A'B'$ là hình chiếu của $AB'$ trên mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$.

Suy ra $\left( {AB',\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {AB',A'B'} \right) = \widehat {AB'A'}$.

Vì $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đều có tất cả các cạnh bằng $a$ nên $\Delta AA'B'$ vuông cân tại $A'$. Do đó $\widehat {AB'A'} = 45^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Qua $M$có vô số mặt phẳng vuông góc với $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Do $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $\left( {ADD'A'} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \bot BD$ (1).

Mà $SB \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SB \bot AC$ (2).

Từ (1) và (2), ta có $AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow \left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC \bot BD$ (1).

Mà $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BD$ (2).

Từ (1), (2) ta có $BD \bot \left( {SAC} \right)$$\Rightarrow BD \bot SO$

Mà $AO \bot BD$. Do đó $\left[ {S,BD,A} \right] = \widehat {SOA}$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a$ nên $AC = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = a\sqrt 2$.

Xét $\Delta SAO$ vuông tại $A$, ta có $\tan \widehat {SOA} = \frac{{SA}}{{AO}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {SOA} = 60^\circ .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét $\Delta ADC$ vuông tại $D$, có $AC = \sqrt {A{D^2} + D{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5$.

Xét $\Delta ACC'$ vuông tại C, có $AC' = \sqrt {A{C^2} + C{{C'}^2}} = \sqrt {5{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 7$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hạ $AH \bot SB$ tại $H$.

Vì tam giác $ABC$vuông tại $B$ nên $BC \bot AB$ (1).

Mà $SA \bot \left( {ABC} \right)$$\Rightarrow SA \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow BC \bot AH$ mà $AH \bot SB$ nên $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Do đó $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A,$ có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}}$$= \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}}$$= \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow AH = a\sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hạ $OE \bot CD$ tại E (1).

Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow SO \bot CD$ (2).

Từ (1) và (2), ta có $CD \bot \left( {SOE} \right)$.

Hạ $OH \bot SE$ tại H (3).

Vì $CD \bot \left( {SOE} \right)$$\Rightarrow CD \bot OH$ (4).

Từ (3) và (4), suy ra $OH \bot \left( {SCD} \right)$.

Do đó $d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH$.

Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ nên $DO = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$; $OE = \frac{a}{2}$.

Xét $\Delta SOD$ vuông tại $O$, có $SO = \sqrt {S{D^2} - O{D^2}} = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét $\Delta SOE$ vuông tại $O$, có $\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{E^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{6}{{{a^2}}} \Rightarrow OH = \frac{a}{{\sqrt 6 }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi $E$ là trung điểm của $BC$.

Vì $\Delta ABC$ đều nên $AE \bot BC$ mà $BC \bot AA'$ (do $AA' \bot \left( {ABC} \right)$).

Suy ra $BC \bot \left( {A'AE} \right)$.

Hạ $AH \bot A'E$ tại H (1).

Vì $BC \bot \left( {A'AE} \right)$$\Rightarrow BC \bot AH$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $AH \bot \left( {A'BC} \right)$.

Do đó $d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = AH$.

Vì $\Delta ABC$ đều cạnh $a$ nên $AE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Xét $\Delta A'AE$ vuông tại $A$, ta có

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{{A'}^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}}$$= \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{7}{{3{a^2}}}$$\Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt {21} }}{7}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hạ $AH \bot SB$ tại $H$.

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC \bot AB$ (1).

Mà $SA \bot \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow SA \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow BC \bot AH$ mà $AH \bot SB$ nên $AH \bot \left( {SBC} \right)$.

Do đó $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Xét $\Delta SAB$ vuông tại $A,$ ta có

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} \Rightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} - \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow SA = a$.

Khi đó ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: $x > 0$.

${\log _2}\left( {\frac{x}{4}} \right)\log _2^2x \ge 0$$\Leftrightarrow \left( {{{\log }_2}x - {{\log }_2}4} \right)\log _2^2x \ge 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = 0\\\left\{ \begin{array}{l}{\log _2}x - {\log _2}4 \ge 0\\{\log _2}x \ne 0\end{array} \right.\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \ge 4\\0 < x \ne 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x \ge 4\end{array} \right.$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0$).

Vậy có $2021$ số tự nhiên $x$ thỏa mãn bài ra.

Hướng dẫn giải

Ta có $y' = f'(x) = - 3{x^2} + 2,\forall x \in \mathbb{R}.$

$\Delta$: $x + y + 4 = 0 \Rightarrow y = - x - 4 \Rightarrow$$\Delta$có hệ số góc ${k_\Delta } = - 1.$

Gọi $d$ là tiếp tuyến thỏa mãn đề bài.

Giả sử $d$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ tại $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$thì $d$ có hệ số góc là ${k_d} = f'({x_0}) = - 3{x_0}^2 + 2$.

$d{\rm{//}}\Delta \Rightarrow$ ${k_d} = {k_\Delta } \Leftrightarrow - 3{x_0}^2 + 2 = - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 1\end{array} \right..$

${x_0} = 1 \Rightarrow M\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow d:y = - x$, thỏa mãn $d{\rm{//}}\Delta .$

${x_0} = - 1 \Rightarrow M\left( { - 1; - 3} \right) \Rightarrow d:y = - x - 4$, trường hợp này $d \equiv \Delta$ nên không thỏa mãn.

Vậy có duy nhất một tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là $d:y = - x.$

Hướng dẫn giải

Gọi $H$ là trung điểm $AD$, ta có $SH \bot AD$, $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\,\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD$ nên $SH \bot \left( {ABCD} \right)$ và $SH = a\sqrt 3$.

Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right)$$\Rightarrow SH \bot BC$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$, ta có $BC \bot HM,\,BC \bot SH \Rightarrow BC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BC \bot SM$.

Do đó góc giữa mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và mặt phẳng đáy là $\widehat {SMH} = 30^\circ$.

Xét $\Delta SHM$ vuông tại $H,$ có $\tan 30^\circ = \frac{{SH}}{{HM}} \Rightarrow HM = \frac{{SH}}{{\tan 30^\circ }} = 3a$.

Khi đó: ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.AD.HM = \frac{1}{3}a\sqrt 3 .2a.3a = 2\sqrt 3 {a^3}$.