Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 1

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số cách chọn 2 số trong 21 số nguyên dương đầu tiên là $C_{21}^2 = 210$ (cách).

Trong 21 số nguyên dương đầu tiên có 11 số lẻ và 10 số chẵn.

Để tổng hai số chọn được là số chẵn thì 2 số được chọn có cùng tính chẵn lẻ tức là cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

TH1: Hai số được chọn cùng lẻ có $C_{11}^2 = 55$ (cách)

TH2: Hai số được chọn cùng chẵn có $C_{10}^2 = 45$(cách).

Vậy xác xuất để chọn được hai số có tổng là một số chẵn bằng: $\frac{{55 + 45}}{{210}} = \frac{{10}}{{21}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $P = {x^{\frac{3}{2}}}.\sqrt[5]{x}$$= {x^{\frac{3}{2}}}.{x^{\frac{1}{5}}} = {x^{\frac{{17}}{{10}}}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện $x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2.$

Tập xác định của hàm số $D = \left( {2; + \infty } \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có ${\log _3}\left( {2x - 1} \right) = 2$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x - 1 > 0\\2x - 1 > {3^2}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > \frac{1}{2}\\x = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${3^{x - 2}} = 9$$\Leftrightarrow {3^{x - 2}} = {3^2} \Leftrightarrow x - 2 = 2 \Leftrightarrow x = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $x > 21$.

Ta có $\log \left( {x - 21} \right) + \log x < 2$

$$\Leftrightarrow \log \left[ {x\left( {x - 21} \right)} \right] < 2$$

$$\Leftrightarrow x\left( {x - 21} \right) < 100$$

$$\Leftrightarrow {x^2} - 21x - 100 < 0$$

$\Leftrightarrow - 4 < x < 25$.

Kết hợp với điều kiện, ta có tập nghiệm của phương trình là $S = \left( {21;25} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${7^{ - {x^2} - 5x + 7}} > {\left( {\frac{1}{7}} \right)^{2x + 3}}$

$\Leftrightarrow {7^{ - {x^2} - 5x + 7}} > {7^{ - 2x - 3}}$

$\Leftrightarrow - {x^2} - 5x + 7 > - 2x - 3$

$\Leftrightarrow - {x^2} - 3x + 10 > 0$

$\Leftrightarrow - 5 < x < 2$.

Mà $x \in \mathbb{Z}$ nên $x \in \left\{ { - 4; - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: ${3.2^x} - 1 > 0 \Leftrightarrow {2^x} > \frac{1}{3} \Leftrightarrow x > {\log _2}\frac{1}{3}$.

${\log _2}\left( {{{3.2}^x} - 1} \right) = 2x + 1$

$\Leftrightarrow {3.2^x} - 1 = {2^{2x + 1}}$

$\Leftrightarrow {2.2^{2x}} - {3.2^x} + 1 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} = {2^{\frac{1}{2}}}\\{2^x} = 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{2}\\x = 0\end{array} \right.$ (thỏa mãn).

Vậy phương trình có hai nghiệm thực.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{x^2}}}$; $f'\left( 2 \right) = - \frac{1}{{{2^2}}} = - \frac{1}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $f'\left( x \right) = 2x$.

Ta có hệ số góc của tiếp tuyến tại ${x_0} = 1$ là $f'\left( 1 \right) = 2.1 = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $y' = {e^x}$. Có $y'\left( 0 \right) = {e^0} = 1$.

Với ${x_0} = 0$ thì ${y_0} = 1$.

Vậy tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = {e^x}$ tại điểm $\left( {0;1} \right)$có phương trình là $y = x + 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$y' = {\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$y' = {\left( {{{10}^x}} \right)^\prime } = {10^x}\ln 10$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $y' = {\left[ {\ln \left( {2x - 3} \right)} \right]^\prime } = \frac{2}{{2x - 3}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$y' = {\left( {x\ln x} \right)^\prime } = \ln x + x.\frac{1}{x} = \ln x + 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $v\left( t \right) = y' = 196 - 9{,}8t$.

Do đó $v = 0 \Leftrightarrow 196 - 9{,}8t = 0 \Leftrightarrow t = 20$(s).

Vậy khi $t = 20s$ thì viên đạn bắt đầu rơi, lúc đó viên đạn cách mặt đất:

$y = 196.20 - \frac{1}{2}{.9{,}8.20^2} = 1960{\rm{m}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $f'\left( x \right) = 4{x^3} - 8x$; $f''\left( x \right) = 12{x^2} - 8$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có $f'\left( x \right) = - \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$; $f''\left( x \right) = \frac{2}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}$.

Do đó $f''\left( 2 \right) = \frac{2}{{{{\left( {2 + 2} \right)}^3}}} = \frac{1}{{32}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $0^\circ \le \left( {a,b} \right) \le 90^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Dựa vào định nghĩa, ta có đường thẳng D được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $a$ vuông góc với hai đường thẳng phân biệt trong mặt phẳng $(P)$ thì $a$ có thể vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc giữa đường thẳng $a$ và mặt phẳng (P) bằng góc giữa đường thẳng b và mặt phẳng (P) khi a và b song song (hoặc a trùng với b).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $SO \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $OB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$.

Do đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $OB$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có $ABCD.A'B'C'D'$ là hình lập phương nên $(A'B'BA) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu $a \subset \left( P \right)$ thì có duy nhất một mặt phẳng chứa $a$ và vuông góc với $\left( P \right)$.

Nếu $a\not \subset \left( P \right)$ thì có vô số mặt phẳng chứa $a$ và vuông góc với $\left( P \right).$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

A sai. Hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba thì song song hoặc trùng nhau.

B sai. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng cho trước thì có vô số mặt phẳng qua đường thẳng và vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng cho trước thì không có mặt phẳng nào vuông góc với mặt phẳng đó.

D sai. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau hoặc cắt nhau (giao tuyến vuông góc với mặt phẳng kia).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right) = SA$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Có $\left( {ABCD} \right)//\left( {A'B'C'D'} \right)$ mà $BB' \bot \left( {ABCD} \right);BB' \bot \left( {A'B'C'D'} \right)$

Nên $d\left( {\left( {ABCD} \right),\left( {A'B'C'D'} \right)} \right) = BB' = 2a.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì $\Delta ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB = BC = 4$ và $AB \bot BC$ (1).

Do $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng nên $BB' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow BB' \bot BC$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $BC \bot \left( {ABB'A'} \right)$.

Vậy $d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right) = CB = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hạ $AH \bot SD$ tại $H$.

Do $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD \bot AD$ (1).

Mà $SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot CD$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra $CD \bot \left( {SAD} \right)$$\Rightarrow CD \bot AH$ mà $AH \bot SD$ $\Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right)$.

Do đó $d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH$.

Xét $\Delta SAD$ vuông tại $A$có $\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{5}{{4{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{2a}}{{\sqrt 5 }}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hình lăng trụ đứng có các mặt bên là các hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hình chóp tứ giác đều có các cạnh bên bằng nhau do đó các mặt bên của hình chóp tứ giác đều là các tam giác cân.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $BCC'B'$ là hình chữ nhật.

Khi đó $d\left( {C',\left( {AB'C} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AB'C} \right)} \right) = h$.

Có $BB',BC,BA$ đôi một vuông góc nên

$\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{B{{B'}^2}}} + \frac{1}{{B{C^2}}} + \frac{1}{{B{A^2}}}$$= \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}}$$\Rightarrow h = \frac{{2a}}{3}$.

Hướng dẫn giải

a) $y' = 3{x^2} - \cos x.$

b) Ta có $q\left( t \right) = {10^{ - 8}}\sin {10^6}\pi t$

Ta có cường độ dòng điện tại thời điểm $t$ là $I\left( t \right) = q'\left( t \right) = {\left( {{{10}^{ - 8}}\sin {{10}^6}\pi t} \right)^\prime } = {10^{ - 2}}\pi \cos {10^6}\pi t.$

Cường độ của dòng điện tại thời điểm $t = 6\left( {\rm{s}} \right)$ là $I\left( 6 \right) = {10^{ - 2}}\pi \cos {10^6}\pi .6 \approx 0{,}0314\left( {\rm{A}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Vì $\Delta SAB$ đều, $M$ là trung điểm của $AB$ nên $SM \bot AB$.

Mà $\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$ nên $SM \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SM \bot NC$ (1).

Vì $\Delta DAM = \Delta CDN$ (do $DA = DC,\widehat A = \widehat D = 90^\circ ;AM = DN$) nên $\widehat {DMA} = \widehat {CND}$.

Có $\widehat {DMA} + \widehat {ADM} = 90^\circ$ nên $\widehat {CND} + \widehat {ADM} = 90^\circ$.

Suy ra $CN \bot DM$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $CN \bot \left( {SMD} \right)$$\Rightarrow \left( {SMD} \right) \bot \left( {SNC} \right)$.

b) Gọi $E = MD \cap CN$

Hạ $MH \bot SE$ tại $H$ mà $CN \bot MH$(do $CN \bot \left( {SMD} \right)$) nên $MH \bot \left( {SNC} \right)$.

Do đó $d\left( {M,\left( {SNC} \right)} \right) = MH$.

Tam giác $SAB$ đều có SM là trung tuyến nên $SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Tam giác $CND$ vuông có $DE$ là đường cao nên $\frac{1}{{D{E^2}}} = \frac{1}{{D{N^2}}} + \frac{1}{{D{C^{^2}}}}$. Suy ra $DE = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$

$$\begin{array}{l}DM = \sqrt {A{M^2} + A{{\rm{D}}^{^2}}} \, = \,\frac{{a\sqrt 5 }}{2}\\ME = \,M{\rm{D}} - DE = \,\frac{{3{\rm{a}}\sqrt 5 }}{{10}}\end{array}$$

$SM \bot (ABC{\rm{D}})$ nên $SM \bot ME$.

Tam giác $SME$ vuông tại $M$ có $MH$ là đường cao nên $\frac{1}{{M{H^2}}} = \frac{1}{{S{M^2}}} + \frac{1}{{M{E^{^2}}}}$.

Suy ra: $MH = \frac{{3{\rm{a}}\sqrt 2 }}{8}$

Hướng dẫn giải

Gọi $N$ là trung điểm $BB'$$\Rightarrow MN//B'C\, \Rightarrow B'C//\left( {AMN} \right)\,$.

Khi đó $d\left( {AM,B'C} \right) = d\left( {B'C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right)$.

Ta có $BC \cap \left( {AMN} \right) = M$ và $MB = MC$ nên $d\left( {C,\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {AMN} \right)} \right)$.

Gọi $h$ là khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$. Tứ diện$BAMN$có $BA,\,BM,\,BN$ đôi một vuông góc nên: $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{B{A^2}}} + \frac{1}{{B{M^2}}} + \frac{1}{{B{N^2}}}$

$AB = 2a = BC$.

$BN = \frac{1}{2}BB' = \frac{1}{2}AA' = \frac{{2a}}{2} = a$.

$BM = \frac{1}{2}BC = a$.

Suy ra $\frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{9}{{4{a^2}}} \Rightarrow {h^2} = \frac{{4{a^2}}}{9} \Rightarrow h = \frac{{2a}}{3}$.