Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 06

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của hàm số là: ${x^2} - x + 3 \ne 0$ (luôn đúng với mọi giá trị của $x$)

Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng $- \frac{7}{2}$ tại $x = \frac{3}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét hàm số $f(x) = {x^2} - 8x + 7$ có $a = 1 > 0$ và $\Delta = {\left( { - 8} \right)^2} - 4.1.7 = 36 > 0$ nên $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = 1$ và ${x_2} = 7$. Khi đó ta có bảng xét dấu sau:

Vậy hàm số không âm khi $x \in \left( { - \infty ;1} \right] \cup \left[ {7; + \infty } \right)$ hay $x \in \left[ {7;\,\,9} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình $\sqrt {2x - 3} = x - 3$ $\left( 1 \right)$

Bình phương hai vế của phương trình là: $2x - 3 = {x^2} - 6x + 9$

$\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 6\end{array} \right.$

Thay lần lượt $x = 2$ và $x = 6$ vào phương trình $\left( 1 \right)$ ta thấy chỉ có $x = 6$ thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

+) Đường thẳng $x + 2y = 9$ có tọa độ vectơ pháp tuyến là $\left( {1;\,2} \right)$. Do đó A sai.

+) Đường thẳng $- 3x - 6y + 7 = 0$ có tọa độ vectơ pháp tuyến là $\left( { - 3;\,\, - 6} \right) = - 3\left( {1;\,2} \right)$. Do đó B sai.

+) Đường thẳng $x - 2y - 19 = 0$ có tọa độ vectơ pháp tuyến là $\left( {1; - 2} \right) \ne \left( {1;\,2} \right)$. Do đó C đúng.

+) Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\left( {2; - 1} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là

$\left( {1;\,2} \right)$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {2;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến là$\left( {3; - 4} \right)$ nên vectơ chỉ phương là $\left( {4;\,\,3} \right)$. Do đó phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên tọa độ điểm $I$ là $\left( {4;\,\, - 2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {10; - 10} \right) = 10\left( {1; - 1} \right)$

Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ nhận $\left( {1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $I\left( {4;\,\, - 2} \right)$ nên có phương trình: $x - 4 - \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 6 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2y = x \Leftrightarrow x - 2y = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1; - 2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ là:

$d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tọa độ trọng tâm $G$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{3 + \left( { - 2} \right) + 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{4 + 0 + 7}}{3} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{{11}}{3}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d:2x - 2y + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right)$.

Đường thẳng $d':x - y + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 1} \right)$.

Ta có $\frac{1}{1} \ne \frac{1}{{ - 1}}$ nên ta hai vectơ này không cùng phương.

Do đó hai đường thẳng $d$ và $d'$ cắt nhau.

Ta lại có: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) = 0$ nên $d$ và $d'$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng ${\Delta _1}:x + 2y - 6 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}:x - 3y + 9 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 3} \right)$.

Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là:

${\rm{cos}}\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$\Rightarrow \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = 45^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có dạng: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$, với tâm $I\left( {a;b} \right)$ và bán kính $R > 0$.

Ta thấy chỉ có phương trình ở phương án A thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Có duy nhất một đường tròn đi qua ba điểm không thẳng hàng cho trước.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $R = IB = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5$.

Đường tròn có tâm $I\left( {1;\,\,4} \right)$ và đi qua điểm $R = \sqrt 5$ có phương trình là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5$

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {2;2} \right)$, bán kính $R = 3$.

Gọi $d$ là tiếp tuyến cần tìm có vectơ pháp tuyến $\vec n = \left( {A;B} \right)$.

Vì $d$ đi qua điểm $A\left( {5; - 1} \right)$nên phương trình d có dạng: $A\left( {x - 5} \right) + B\left( {y + 1} \right) = 0$

$$\Leftrightarrow Ax + By - 5A + B = 0$$

Vì $d$ là tiếp tuyến của $\left( C \right)$ nên ta có $d\left( {I,d} \right) = R$.

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {A.2 + B.2 - 5A + B} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 3$

$\Leftrightarrow \left| { - 3A + 3B} \right| = 3\sqrt {{A^2} + {B^2}}$

$\Leftrightarrow 9{A^2} - 18AB + 9{B^2} = 9\left( {{A^2} + {B^2}} \right)$

$\Leftrightarrow AB = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.$

Với $A = 0$, ta chọn $B = 1$.

Suy ra phương trình $d:y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = - 1$

Với $B = 0$, ta chọn $A = 1$.

Suy ra phương trình $d:x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$.

Vậy có 2 tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán có phương trình là: $y = - 1$ hoặc $x = 5$.

Do đó ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( {0;0} \right)$, bán kính $R = 3$.

Vì $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ nên ta có $d\left( {O;\Delta } \right) = R$.

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {4.0 + 3.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 3$

$\Leftrightarrow \left| m \right| = 15$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 15\\m = - 15\end{array} \right.$

Vậy $m = 15$ hoặc $m = - 15$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình của Parabol là ${y^2} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{12}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = 1$

$\Rightarrow a = 12,b = \sqrt 2$

$\Rightarrow 2a = 24$.

Điểm $M$ thuộc Elip $\left( E \right)$ khi $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.12 = 24$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$. Suy ra $c = \sqrt 3$.

Khi đó ${c^2} = 3$

Vì vậy ${a^2} - {b^2} = 3$

Do đó ${a^2} = {b^2} + 3$

Phương trình chính tắc của (E) có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ (a > b > 0).

Ta có $M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)$.

Suy ra $\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1$

$\Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}$

$\Leftrightarrow 4{b^2} + 3\left( {{b^2} + 3} \right) = 4\left( {{b^2} + 3} \right){b^2}$

$\Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}$

$\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0$

$\Leftrightarrow {b^2} = 1$ hoặc ${b^2} = - \frac{9}{4}$ (vô lí)

$\Leftrightarrow b = 1$ (vì $\left( {b > 0} \right)$

Với $b = 1$, ta có ${a^2} = {1^2} + 3 = 4$.

Vậy phương trình chính tắc của (E): $\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách để đi từ thành phố $A$ đến thành phố $C$ phải đi qua thành phố $B$ gồm $2$ giai đoạn:

- Giai đoạn 1: Đi từ thành phố $A$ đến thành phố $B$ có 4 cách.

- Giai đoạn 1: Ứng với mỗi cách của giai đoạn 1, từ thành phố $B$ đến thành phố $C$ có $3$ cách.

Áp dụng quy tắc nhân có $4.3 = 12$ cách để đi từ thành phố $A$ đến thành phố $C$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để chọn $3$ món ăn cho một bữa tiệc gồm ba giai đoạn:

- Giai đoạn 1: Chọn món khai vị có 5 cách;

- Giai đoạn 2: Chọn món chính có $6$ cách;

- Giai đoạn 3: Chọn món tráng miệng có $4$ cách.

Vậy có $5.6.4 = 120$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số các chỉnh hợp chập $k$ của một tập hợp có $n$ phần tử $\left( {1 \le k \le n} \right)$ là $A_n^k$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số gồm ba chữ số khác nhau từ $3$chữ số $1;\,\,2;\,\,3$ là hoán vị của $3$ nên có: $3! = 6$ số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số các vectơ khác vectơ không có điểm đầu và điểm cuối từ các điểm đã cho là chỉnh hợp chập 5 của 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

${\left( {3x + y} \right)^5} = {\left( {3x} \right)^5} + 5.{\left( {3x} \right)^4}.y + 10.{\left( {3x} \right)^3}.{y^2} + 10.{\left( {3x} \right)^2}.{y^3} + 5.\left( {3x} \right).{y^4} + {y^5}$

$= 243{x^5} + 405{x^4}y + 270{x^3}{y^2} + 90{x^2}{y^3} + 15x{y^4} + {y^5}$

Số hạng có chứa ${x^3}{y^2}$ là $270{x^3}{y^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\left( {a + b} \right)^4} = {a^4} + 4{a^3}b + 6{a^2}{b^2} + 4a{b^3} + {b^4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Biến cố đối của biến cố $A$ là $\overline A$: “$4$ viên bi lấy ra đều màu đen”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khai triển nhị thức ta được: ${\left( {x + 1} \right)^5} = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1$.

Hệ số của ${x^2}$ là $10$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các phần tử của không gian mẫu là:

$\Omega = \left\{ {SSS;\,SSN;\,SNS;\,NSS;\,SNN;\,NSN;\,NNS;\,NNN} \right\}$

$\Rightarrow n\left( \Omega \right) = 8$.

Gọi $A$ là biến cố: “Gieo được $2$ đồng xu sấp và $1$ đồng xu ngửa”.

Khi đó $A = \left\{ {SSN;\,\,SNS;\,\,NSS} \right\}$

$\Rightarrow n\left( A \right) = 3$

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{8}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Công thức tính xác suất biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( \Omega \right)}}{{n\left( A \right)}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = 6$

Gọi $A$ là biến cố gieo được mặt $6$ chấm

Khi đó $n\left( A \right) = 1$.

Vì vậy $P\left( A \right) = \frac{1}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{16}^5 = 4\,368$.

Gọi $A$ là biến cố trong $5$ bông hoa được cắt có cả ba màu và số hoa hồng đỏ bằng số hoa hồng trắng.

Khi đó các kết quả thuận lợi cho biến cố là:

TH1: $1$ bông hồng đỏ, $1$ bông hồng trắng và $3$ bông hồng vàng, có $C_7^1.C_6^1.C_3^3$ cách.

TH2: $2$ bông hồng đỏ, $2$ bông hồng trắng và $1$ bông hồng vàng, có $C_7^2.C_6^2.C_3^1$ cách.

$\Rightarrow n\left( A \right) = C_7^1.C_6^1.C_3^3 + C_7^2.C_6^2.C_3^1 = 987$.

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{47}}{{208}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có cách chia 9 người thành 3 tổ có $C_9^3.C_6^3.C_3^3 = 1\,\,680$

Tổ 1 có $C_3^1$ cách chọn bác sĩ, $C_6^2$ cách chọn người còn lại. Do đó $C_3^1.C_6^2 = 45$ cách.

Tổ 2 có $C_2^1$ cách chọn bác sĩ, $C_4^2$ cách chọn người còn lại. Do đó $C_2^1.C_4^2 = 12$ cách.

Tổ 3 có $C_1^1$ cách chọn bác sĩ, $C_2^2$ cách chọn người còn lại. Do đó $C_1^1.C_2^2 = 1$ cách.

Tổng có: $45.12.1 = 540$ cách chia thành 3 tổ để mỗi tổ đều có bác sĩ .

Do đó xác suất để mỗi tổ đều có bác sĩ là $\frac{{540}}{{1\,\,680}} = \frac{9}{{28}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( { - 1;\,\,2} \right)$

Gọi $d'$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AB$ tại $A$.

Khi đó phương trình đường thẳng $d'$ là:

$- \left( {x - 6} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y - 6 = 0$.

Điểm $M$ là giao điểm của $d$ và $d'$ nên toạ độ điểm $M$là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 2 = 0\\x - 2y - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{10}}{3}\\y = - \frac{{14}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{{10}}{3}; - \frac{{14}}{3}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {6;\,\,4} \right) = 2\left( {3;2} \right)$

Khi đó $\left( {3;\,\,2} \right)$ là một vectơ chỉ phương đường thẳng $\left( \Delta \right)$ hay ta có $\left( {2; - 3} \right)$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( \Delta \right)$.

Vậy phương trình đường thẳng $\left( \Delta \right)$ là:

$2\left( {x + 2} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 7 = 0$.

b) Vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\left( d \right):3x - y + 2 = 0$ là $\left( {3; - 1} \right)$.

Vì đường thẳng $\left( \Delta \right)$ song song với đường thẳng $\left( d \right)$ nên $\left( {3; - 1} \right)$ cũng là một vectơ pháp tuyến của $\left( \Delta \right)$.

Vì vậy phương trình đường thẳng $\left( d \right)$là:

$3\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y + 7 = 0$.

c) Gọi $d'$ là đường thẳng vuông góc với đường thẳng $AB$ tại điểm $A$.

Một vectơ pháp tuyến của $\left( d \right)$ là $\left( {1;\,\, - 4} \right)$ nên vectơ chỉ phương là $\left( {4;1} \right)$.

Vì $d' \bot d$ nên $\left( {d'} \right)$ nhận $\left( {4;1} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến, nên phương trình $\left( {d'} \right)$ là:

$4\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - y + 9 = 0$.

Tọa độ điểm $M$ cần tìm là giao điểm của đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( {d'} \right)$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}4x - y + 9 = 0\\x - 4y + 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{31}}{{15}}\\y = - \frac{{11}}{{15}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( { - \frac{{31}}{{15}}; - \frac{{11}}{{15}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

a) Để tạo đề kiểm tra gồm $5$ câu hỏi sao cho có đủ ba loại câu hỏi và có đúng $2$ câu hỏi dễ sẽ có các phương án sau:

- Phương án 1: Đề gồm $2$ câu hỏi dễ, $2$ câu trung bình và $1$ câu khó có $C_{10}^2.C_6^2.C_4^1 = 2700$ đề.

- Phương án 2: Đề gồm $2$ câu hỏi dễ, $3$ câu trung bình có $C_{10}^2.C_6^3 = 900$ đề.

- Phương án 3: Đề gồm $2$ câu hỏi dễ, $1$ câu trung bình và $2$ câu khó có $C_{10}^2.C_6^1.C_4^2 = 1620$ đề.

Áp dụng quy tắc cộng có $2700 + 900 + 1620 = 5220$ đề.

b) Ta có: $T = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4$

$= C_4^0{.1^4} + C_4^1{.1^3}.2 + C_4^2{.1.2^2} + C_4^3{.1.2^3} + C_4^4{.1.2^4}$

$= {\left( {1 + 2} \right)^4}$

$= {3^4}$

$= 81$.

Hướng dẫn giải

Ta có $n\left( \Omega \right) = 5\,\,985$

Gọi $A$ là biến cố trong $4$ đội có ít nhất $2$ đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.

Khi đó $\overline A$ là biến cố trong $4$ đội có nhiều nhất $1$ đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline A$ được chia làm $2$ phương án:

- Phương án 1: Không có đội của các Trung tâm y tế cơ sở có: $C_6^4$ cách.

- Phương án 2: Có $1$ đội của Trung tâm y tế cơ sở có $C_6^3.C_{15}^1$ cách.

$\Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_6^4 + C_6^3.C_{15}^1 = 315$

$\Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{315}}{{5\,\,985}} = \frac{1}{{19}}$.

$\Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{{19}} = \frac{{18}}{{19}}$.