Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 03

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Dựa vào bảng biến thiên ta có các kết luận sau:

- Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - 1; + \infty } \right)$ nên cũng đồng biến trên khoảng $\left( {1; + \infty } \right)$. Do đó A đúng.

- Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ nhưng không nghịch biến trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$. Do đó D sai.

- Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Do đó B sai.

- Hàm số đạt giá trị lớn nhất là $5$ tại $x = - 1$. Do đó C sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số $y = {x^2} + 2x - 1$ là hàm số bậc hai có $a = 1,\,\,b = 2,\,\,c = - 1$. Khi đó ta có:

Toạ độ đỉnh $I\left( {m;n} \right)$ với $m = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.1}} = - 1;n = {\left( { - 1} \right)^2} + 2.\left( { - 1} \right) - 1 = - 2$.

Suy ra $m + n = - 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì Parabol có bề lõm quay xuống dưới nên $a < 0$.

Ta gọi I là đỉnh của Parabol có ${x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - 1 < 0$ mà $a < 0$ nên $b < 0$.

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c > 0$.

Vậy $a < 0,\,\,b < 0,\,\,c > 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - 8{\rm{x}} + 16$ có $a = 1 > 0$ và $\Delta = {\left( { - 8} \right)^2} - 4.1.16 = 0$ nên $f\left( x \right)$ có nghiệm kép $x = 4$ và $f\left( x \right) > 0$ với mọi $x \ne 4$.

Suy ra $f\left( x \right) \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $f\left( x \right) = {x^2} - mx + 4m$ có $a = 1 > 0$ nên để $f\left( x \right)$ luôn dương với mọi $x \in \mathbb{R}$ thì$\Delta < 0 \Leftrightarrow {m^2} - 16m < 0 \Leftrightarrow 0 < m < 16$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện $x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1$

Để phương trình có nghiệm thì $5 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 5$

Khi đó $\sqrt {x - 1} = 5 - m \Leftrightarrow x - 1 = {\left( {5 - m} \right)^2}$suy ra phương trình có nghiệm là $x = {(5 - m)^2} + 1 \ge 1$ với mọi $m$.

Vậy các giá trị nguyên dương của tham số $m$ để phương trình có nghiệm là: $m \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\}$.

Vậy có $5$ giá trị của $m$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $\Delta :\,\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = - 3 + 3t\end{array} \right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( { - 1;3} \right)$ suy ra có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)$. Do đó đường thẳng $\Delta$ cũng có một vectơ pháp tuyến có tọa độ $\left( {6;2} \right) = 2\left( {3;1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( {5; - 9} \right)$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u \left( {1; - 2} \right)$ suy ra đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {2;1} \right)$. Do đó phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ là: $d:\,2\left( {x - 5} \right) + 1\left( {y + 9} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khoảng cách từ điểm $A\left( {1;1} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :5x - 12y - 6 = 0$ là

$d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5.1 - 12.1 - 6} \right|}}{{\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 12} \right)}^2}} }} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng ${\Delta _1}$có một vectơ pháp tuyến là là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {{\mkern 1mu} 1; - 2{\mkern 1mu} } \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}$có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u \left( { - 1;2} \right)$ suy ra ${\Delta _2}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} \left( {2;1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.2 + \left( { - 2} \right).1 = 0$ suy ra ${\Delta _1} \bot {\Delta _2}$.

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ bằng $90^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có đường thẳng ${d_1}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {2m - 1;{m^2}} \right)$.

Đườn thẳng ${d_2}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {3;4} \right)$.

Để hai đường thẳng trùng nhau thì $\frac{{2m - 1}}{3} = \frac{{{m^2}}}{4} = \frac{{10}}{{10}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m - 1 = 3\\{m^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $\Delta$ là${d_{\left( {A,\Delta } \right)}} = \frac{{\left| { - m + 2 - m + 4} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + 1} }} = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = \sqrt 5 .\sqrt {{m^2} + 1} \Leftrightarrow 4{m^2} + 6m - 4 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 2\\m = \frac{1}{2}\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình đường tròn tâm $I\left( {a;b} \right)$ có bán kính $R$ có dạng:

${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$.

Vậy phương trình đường tròn $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 9$ có tâm $I\left( { - 1;2} \right)$ bán kính $R = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường tròn có tâm $I\left( {1;2} \right)$ và bán kính $R = 5$ là ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {5^2}$

$\Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + {y^2} - 4y + 4 = 25 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Giả sử phương trình đường tròn đi qua ba điểm $A,B,C$ có dạng $\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$

Vì ba điểm $A\left( {0;4} \right)$, $B\left( {2;4} \right)$, $C\left( {2;0} \right)$ thuộc đường tròn nên ta có:$\left\{ \begin{array}{l}8b + c = - 16\\4a + 8b + c = - 20\\4a + c = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = - 2\\c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y = 0$.

Vậy $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm là gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$ và có bán kính $R = 2$.

Họ đường thẳng $\Delta$ qua$A\left( { - 1;2} \right)$ là $a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 2} \right) = 0$, với ${a^2} + {b^2} \ne 0$.

Vì $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn nên: ${d_{\left( {O;\Delta } \right)}} = R$ hay $\frac{{\left| {a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2$$\Leftrightarrow {\left( {a - 2b} \right)^2} = 4\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$$\Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 0\\3a = - 4b\end{array} \right.$.

Với $a = 0$, chọn $b = 1$ ta có ${\Delta _1}:y - 2 = 0$.

Với $3a = - 4b$, chọn $a = 4$ và $b = - 3$ ta có :

${\Delta _2}:4\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x - 3y + 10 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 16\end{array} \right. \Rightarrow {c^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow c = 3$.

Vậy tiêu cự $2c = 6$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình chính tắc của $\left( E \right)$: $\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right.$

Độ dài trục lớn $2a = 10$; độ dài trục bé $2b = 6$

Diện tích hình chữ nhật cơ sở ngoại tiếp $\left( E \right)$ là $S = 2a.2b = 10.6 = 60$ (đvdt).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi phương trình chính tắc của $\left( P \right):{y^2} = 2px\,\,\left( {p > 0} \right)$.

Toạ độ tiêu điểm $F\left( {\frac{p}{2};0} \right)$ .

Ta có khoảng cách từ $F$ đến đường thẳng $d$ bằng $2\sqrt 2$ nên

${d_{\left( {F;d} \right)}} = \frac{{\left| {\frac{p}{2} - 12} \right|}}{{\sqrt 2 }} = 2\sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {\frac{p}{2} - 12} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{p}{2} - 12 = 4\\\frac{p}{2} - 12 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}p = 32\\p = 16\end{array} \right.$

Vậy phương trình chính tắc của $\left( P \right):{y^2} = 32x$ hoặc ${y^2} = 64x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đặt phương trình chính tắc của $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$.

Ta có $2a = 12 \Rightarrow a = 6$, $2b = 8 \Rightarrow b = 4$. Suy ra $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$.

Chọn $C\left( {{x_C};\,{y_C}} \right)$ là đỉnh hình chữ nhật và ${x_C} > 0,{y_C} > 0$.

$\Rightarrow \frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}} = 1$;

Diện tích hình chữ nhật là $S = 4{x_C}{y_C} = 48.2.\frac{{{x_C}}}{6}.\frac{{{y_C}}}{4} \le 48\left( {\frac{{x_C^2}}{{36}} + \frac{{y_C^2}}{{16}}} \right) = 48$.

Vậy diện tích trồng hoa lớn nhất có thể là $48{m^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Chọn học sinh nữ có $5$ cách chọn.

Chọn học sinh nam có $6$ cách chọn.

Áp dụng quy tắc cộng ta có: chọn một học sinh đi trực nhật có $5 + 6 = 11$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi số tự nhiên có $3$ chữ số cần tìm là: $\overline {abc} ,{\rm{ }}a \ne 0$, khi đó:

Chọn $c$ có $3$ cách (vì là số lẻ nên $c$ có thể chọn một trong các số $2;4;6$)

$a$ có $6$ cách (vì $a$ có thể chọn một trong các số $2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7$)

$b$ có $6$ cách (vì $b$ có thể chọn một trong các số $2;\,\,3;\,\,4;\,\,5;\,\,6;\,\,7$)

Vậy có: $3.6.6 = 108$ số

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số chia hết cho $2$ và $3$ là số chẵn và có tổng các chữ số của nó chia hết cho $3$.

Gọi $\overline {{a_1}{a_2}{a_3}}$là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau, chia hết cho $2$ và $3$ được lập từ các chữ số $0;1;2;3;4;5;8$.

Trường hợp 1: ${a_3} = 0$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {1;\,2} \right\}$, $\left\{ {1;\,5} \right\}$, $\left\{ {1;\,8} \right\}$, $\left\{ {2;4} \right\}$, $\left\{ {4;5} \right\}$, $\left\{ {4;\,8} \right\}$.

Trường hợp này có $6.2! = 12$ số.

Trường hợp 2: ${a_3} = 2$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {1;\,0} \right\}$, $\left\{ {4;\,0} \right\}$, $\left\{ {1;\,3} \right\}$, $\left\{ {3;4} \right\}$, $\left\{ {5;8} \right\}$.

Trường hợp này có $2 + 3.2! = 8$ số.

Trường hợp 3: ${a_3} = 4$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {2;\,0} \right\}$, $\left\{ {2;\,3} \right\}$, $\left\{ {3;\,5} \right\}$, $\left\{ {3;8} \right\}$.

Trường hợp này có $1 + 3.2! = 7$ số.

Trường hợp 4: ${a_3} = 8$

Khi đó các chữ số ${a_1},\,{a_2}$ được lập từ các tập $\left\{ {0;\,1} \right\}$, $\left\{ {0;\,4} \right\}$, $\left\{ {1;\,3} \right\}$, $\left\{ {2;5} \right\}$, $\left\{ {3;4} \right\}$.

Trường hợp này có $2 + 3.2! = 8$ số.

Vậy có tất cả $12 + 8 + 7 + 8 = 35$ số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách chọn $3$ người, một người làm tổ trưởng, một tổ phó và một thành viên là một chỉnh hợp chập $3$ của $12$ phần tử $A_{12}^3 = 1320$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số cách sắp xếp $5$ học sinh thành một hàng dọc là $5!$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chọn ra $3$ người có cả nam và nữ, có cả nhà toán học và vật lý ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Chọn được $1$ nhà vật lý nam, $2$ nhà toán học nữ có $C_4^1C_3^2 = 18$ cách chọn.

Trường hợp 2: Chọn được $1$ nhà vật lý nam, $1$ nhà toán học nữ và $1$ nhà toán học nam có $C_4^1C_3^1C_5^1 = 60$ cách chọn.

Trường hợp 3: Chọn được $2$ nhà vật lý nam, $1$ nhà toán học nữ có $C_4^2C_3^1 = 18$ cách chọn.

Vậy, có $18 + 60 + 18 = 96$ cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số tam giác có thể tạo ra từ $n$ điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: $C_n^3\left( {n \ge 3} \right)$.

Số đoạn thẳng có thể tạo ra từ $n$ điểm không có ba điểm nào thẳng hàng là: $C_n^2$.

Vì số tam giác gấp đôi số đoạn thẳng được tạo ra nên ta có:

$C_n^3 = 2C_n^2\left( {n \in \mathbb{N},n \ge 3} \right)$

$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n - 3} \right)!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}}$$

$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2}$

$\Leftrightarrow n - 2 = 6$

$\Leftrightarrow n = 8$ (thỏa mãn điều kiện).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left( {a + b} \right)^{n - 3}}$ có $6$ số hạng nên ta có:

$n - 3 = 5 \Leftrightarrow n = 8$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

${\left( {1 - 3x} \right)^5} = C_5^0 + C_5^1{\left( { - 3x} \right)^1} + C_5^2{\left( { - 3x} \right)^2} + C_5^3{\left( { - 3x} \right)^3} + C_5^4{\left( { - 3x} \right)^4} + C_5^5{\left( { - 3x} \right)^5}$$= 1 - 15x + 90{x^2} - 270{x^3} + 405{x^4} - 243{x^5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có

${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4} = C_4^0{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}{\left( {{x^3}} \right)^0} + C_4^1{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3}{\left( {{x^3}} \right)^1} + C_4^2{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2}{\left( {{x^3}} \right)^2} + C_4^3{\left( {\frac{1}{x}} \right)^1}{\left( {{x^3}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^0}{\left( {{x^3}} \right)^4}$$= \frac{1}{{{x^4}}} + 4 + 6{x^4} + 4{x^8} + {x^{12}}$

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}$ là $4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: $n \in \mathbb{N},n \ge 3$

$A_n^3 + 2A_n^2 = 48 \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} = 48$

$\Leftrightarrow$$n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) + 2.n\left( {n - 1} \right) = 48$

$\Leftrightarrow$${n^3} - {n^2} - 48 = 0 \Leftrightarrow n = 4$

Ta có ${\left( {1 - 3x} \right)^4} = C_4^0{1^4}{\left( { - 3x} \right)^0} + C_4^1{1^3}{\left( { - 3x} \right)^1} + C_4^2{1^2}{\left( { - 3x} \right)^2} + C_4^3{1^1}{\left( { - 3x} \right)^3} + C_4^4{1^0}{\left( { - 3x} \right)^4}$

$= 1 - 12x + 54{x^2} - 108{x^3} + 81{x^4}$

Vậy hệ số của ${x^3}$ trong khai triển ${\left( {1 - 3x} \right)^4}$ là $- 108$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Mỗi lần gieo con xúc xắc có sáu trường hợp có thể xảy ra.

Vậy $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$.

Gọi $A$ là biến cố mặt hai chấm xuất hiện cả hai lần.

Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = 1$

Xác suất biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{1}{{36}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{52}^1 = 52$

Gọi $A$ là biến cố: “Rút được lá $K$ ”

Suy ra: số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = C_4^1 = 4$

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{4}{{52}} = \frac{1}{{13}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{10}^2$.

Gọi biến cố $A$: “Hai bi lấy ra có tích hai số trên chúng là một số lẻ”.

Vì tích hai số là số lẻ nên hai số được chọn phải được đánh số lẻ nên ta chọn $2$ trong $5$ viên bi đánh số lẻ.

Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = C_5^2$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{C_5^2}}{{C_{10}^2}} = \frac{2}{9}$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác $AIB$ có $IH$ là đường cao.

Mà $IH = {d_{\left( {I,d} \right)}} = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2$.

Ta có ${S_{\Delta IAB}} = \frac{1}{2}IH.AB \Rightarrow AB = \frac{{2{S_{\Delta IAB}}}}{{IH}} = \frac{{2.4}}{2} = 4 \Rightarrow AH = 2$.

Xét tam giác $AIH$ vuông tại $H$ ta có:

$IA = \sqrt {A{H^2} + I{H^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$.

Mà $AI = R = 2\sqrt 2$

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ là: $\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8$.

Hướng dẫn giải

Gọi số tự nhiên có bốn chữ số là $\overline {abcd} \left( {a \ne 0} \right)$. Do số cần lập có tổng bằng $7$ nên ta có các trường hợp.

+ Trường hợp 1: $a = 7,b = c = d = 0$ có $1$ số

+ Trường hợp 2: Trong $4$ chữ số có $2$ chữ số bằng $0$

Chọn vị trí cho hai số $0$ có $C_3^2 = 3$ cách

Tổng hai chữ số còn lại bằng $7$ ta có:

$7 = 6 + 1 = 5 + 2 = 4 + 3$ có $3.2 = 6$ cách chọn hai số còn lại

Trường hợp này có $3.6 = 18$ số.

+ Trường hợp 3: Trong $4$ chữ số có $1$ chữ số bằng $0$

Chọn vị trí cho số $0$ có $C_3^1 = 3$ cách

Tổng ba chữ số còn lại bằng $7$ ta có:

$7 = 1 + 1 + 5 = 1 + 2 + 4 = 1 + 3 + 3 = 2 + 2 + 3$

Với bộ số $1;2;4$ có $3! = 6$ cách chọn ba chữ số còn lại

Với ba bộ số còn lại có $\frac{{3!}}{{2!}} = 3$ cách chọn ba chữ số còn lại

Trường hợp này có $3.\left( {6 + 3.3} \right) = 45$ số

+ Trường hợp 4: Không có chữ số nào bằng $0$

Ta có $7 = 1 + 1 + 1 + 4 = 1 + 1 + 2 + 3 = 1 + 2 + 2 + 2$

Với bộ số $1;1;1;4$ có $\frac{{4!}}{{3!}} = 4$ số

Với bộ số $1;1;2;3$ có $\frac{{4!}}{{2!}} = 12$ số

Với bộ số $1;2;2;2$ có $\frac{{4!}}{{3!}} = 4$ số

Trường hợp này có $4 + 12 + 4 = 20$ số.

Vây có $1 + 18 + 45 + 20 = 84$ số.

Hướng dẫn giải

Số phần tử của không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = {17^3} = 4913$.

Trong các số tự nhiên thuộc đoạn $\left[ {1;17} \right]$ có $5$ số chia hết cho $3$ là $3;6;9;12;15$, có $6$ số chia cho $3$ dư $1$ là $1;4;7;10;13;16$, có $6$ số chia cho $3$ dư $2$ là $3;5;8;11;14;17$.

Gọi $A$ là biến cố “ba số được viết ra có tổng chia hết cho $3$” có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Cả ba số viết ra đều chia hết cho $3$. Trường hợp này có: ${5^3}$ cách viết.

Trường hợp 2: Cả ba số viết ra đều chia cho $3$ dư $1$. Trường hợp này có: ${6^3}$ cách viết.

Trường hợp 3: Cả ba số viết ra đều chia cho $3$ dư $2$. Trường hợp này có: ${6^3}$ cách viết.

Trường hợp 4: Trong ba số được viết ra có $1$ số chia hết cho $3$ , có $1$ số chia cho $3$ dư $1$, có $1$ số chia cho $3$ dư $2$. Trong trường hợp này có: $5.6.6.3!$ cách viết.

Vậy xác suất cần tìm là:

Số phần tử của biến cố $A$ là: ${5^3} + {6^3} + {6^3} + 5.6.6.3! = 1637$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{1637}}{{4913}}$.