Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 7

Đáp án đúng là A

Hàm số $y = - {x^2} - 4x + 2024$ có hệ số $a = - 1 < 0$, $- \frac{b}{{2a}} = - 2$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $\left( { - \infty ;\, - 2} \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( { - 2;\, + \infty } \right)$.

Đáp án đúng là D

Xét $f\left( x \right) = - 3{x^2} + 2x - 1$.

Vì $\Delta ' = 1 - \left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) = - 2 < 0$ và $a = - 3 < 0$ nên $f\left( x \right) < 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Đáp án đúng là D

$$\sqrt {2{x^2} + 3x + 1} = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 0\\2{x^2} + 3x + 1 = 4{x^2}\end{array} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2{x^2} - 3x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{4}\,\left( {{\rm{loai}}} \right)\\x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}\,\left( {{\rm{nhan}}} \right)\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{4}$.

Đối chiếu đề bài ta có $a = 3;\,\,b = 17;\,\,c = 4$.

Vậy $S = ac - b = 3.4 - 17 = - 5.$

Đáp án đúng là C

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng ${\Delta _1}:2x + 3y - 19 = 0$ và ${\Delta _2}:5x - 2y = 0$ thỏa mãn hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 19 = 0\\5x - 2y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.$.

Toạ độ giao điểm cần tìm là $\left( {2;5} \right)$.

Đáp án đúng là A

Phương trình đường tròn: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$ với $I\left( {a,\,\,b} \right)$ là tâm của đường tròn.

Từ phương trình tổng quát của $\left( C \right):{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} = 12$ ta suy ra $a = 3$, $b = - 4$.

Vậy tâm của đường tròn $\left( C \right)$ là $I\left( {3;\,\, - 4} \right)$.

Đáp án đúng là C

Ta có ${a^2} = 25\,;\,\,{b^2} = 9$$\,\, \Rightarrow \,\,c = \sqrt {25 - 9} = 4$.

Do đó elip đã cho có hai tiêu điểm là ${F_1}\left( { - 4;0} \right)\,;\,\,{F_2}\left( {4;0} \right)$.

Đáp án đúng là B

Trường hợp $1$: Lấy một cây bút đỏ từ hộp bút có $3$ cách.

Trường hợp $2$: Lấy một cây bút xanh từ hộp bút có $4$ cách.

Theo quy tắc cộng ta có: $3 + 4 = 7$ cách.

Vậy có $7$ cách lấy ra một cây bút từ hộp bút.

Đáp án đúng là B

Ta có: $A_7^3 = \frac{{7!}}{{\left( {7 - 3} \right)!}} = \frac{{7!}}{{4!}} = 210$.

Đáp án đúng là C

Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^3}$ là $C_5^2{.2^3}{.3^2} = 720$.

Đáp án đúng là C

Có 3 cách chọn mặt đồng hồ và 2 cách chọn dây đồng hồ

Áp dụng quy tắc nhân, ta có số cách chọn một chiếc đồng hồ là: $3.2 = 6$(cách).

Đáp án đúng là B

Có $C_{12}^4$ cách phân công 4 nam về tỉnh thứ nhất

Với mỗi cách phân công trên thì có $C_8^4$ cách phân công 4 nam về tỉnh thứ hai và có $C_4^4$ cách phân công 4 nam còn lại về tỉnh thứ ba

Khi phân công nam xong thì có $3!$ cách phân công ba nữ về ba tỉnh đó.

Vậy có tất cả $C_{12}^4.C_8^4.C_4^4.3! = 207900$ cách phân công.

Đáp án đúng là A

Số cách xếp $5$ phiếu thành một hàng ngang là: $5! = 120$cách.

Số cách xếp các phiếu $1{,}2{,}3{,}5$ thành một hàng ngang là: $4! = 24$ cách. Sau đó xếp phiếu số $4$vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.

$\Rightarrow$có $24.2 = 48$cách xếp theo yêu cầu đề bài.

Vây xác suất để các phiếu mang số chẵn đứng cạnh nhau là: $P = \frac{{48}}{{120}} = 0{,}4$.

Ta có $h\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow - 0{,}5{t^2} + 2{,}75t + 1{,}5 = 0 \Leftrightarrow t = - 0{,}5;t = 6$.

$h\left( t \right) = - 0{,}5{t^2} + 2{,}75t + 1{,}5 = - 0{,}5{\left( {t - \frac{{11}}{4}} \right)^2} + \frac{{169}}{{32}} \le \frac{{169}}{{32}}$ khi $t = \frac{{11}}{4} = 2{,}75$(giây).

Quả bóng có độ cao lớn hơn $1{,}5$ mét so với mặt đất khi:

$h\left( t \right) > 0 \Leftrightarrow - 0{,}5{t^2} + 2{,}75t + 1{,}5 > 0 \Leftrightarrow - 0{,}5 < t < 6$

Mà $t > 0$ nên suy ra $0 < t < 6$.

a) Sai: Quả bóng chạm mặt đất khi $t = 6$ giây.

b) Sai: Quả bóng có độ cao lớn hơn $1{,}5$ mét so với mặt đất trong thời gian là $6$ giây.

c) Đúng: Quả bóng đạt độ cao lớn nhất khi $t = 2{,}75$ giây.

d) Đúng: Quả bóng có độ cao lớn hơn $1{,}5$ mét so với mặt đất trong khoảng thời gian $0 < t < 6$.

a) Sai: Do $\Delta$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right) \Rightarrow$ $\Delta$ cách tâm của đường tròn $\left( C \right)$ một khoảng bằng $R = \sqrt 5$.

b) Đúng: $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {0;1} \right)$

Đường thẳng $\Delta$ có VTPT $\overrightarrow n = \overrightarrow {IM} = \left( {1; - 2} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {1; - 1} \right) \Rightarrow \Delta :1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0$

$\Rightarrow \Delta :x - 2y - 3 = 0$$\Rightarrow \Delta :y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$.

Vậy $\Delta$ có hệ số góc $k = \frac{1}{2}$.

c) Đúng: $\Delta :x - 2y - 3 = 0 \Rightarrow \Delta$ cắt trục $Ox$ tại $A\left( {3;0} \right)$, cắt trục $Oy$ tại $B\left( {0; - \frac{3}{2}} \right)$.

Diện tích tam giác: ${S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{9}{4}$.

d) Đúng: $\left( {C'} \right)$ có tâm $I'\left( { - 2;0} \right)$, bán kính $R' = 3$.

Giả sử $\Delta$ cắt $\left( {C'} \right)$ theo dây cung $EF$ và $H$ là trung điểm của $EF$.

Ta có $I'H = d\left( {I';\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 2 - 2.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \sqrt 5$, $EF = 2EH = 2\sqrt {{{R'}^2} - I'{H^2}} = 2\sqrt {9 - 5} = 4$.

Vậy $\Delta$ cắt đường tròn $\left( {C'} \right)$ theo dây cung có độ dài bằng $4$.

a) Đúng: Gọi số tự nhiên có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là $\overline {ab}$.

Số cách chọn số a khác 0 là 4 cách.

Số cách chọn số b khác a là 4 cách.

Vậy có 4.4 = 16 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Sai: Số các số tự nhiên có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 16.

c) Sai: Gọi số tự nhiên lẻ có hai chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là $\overline {ab}$.

Số cách chọn số b là 2 cách.

Số cách chọn số a khác 0 và khác b là 3 cách.

Vậy có 2.3 = 6 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

d) Sai: Số các số tự nhiên lẻ có 2 chữ số khác nhau được lập từ năm chữ số trên là 6.

a) Sai: Số phần tử của không gian mẫu là $C_{16}^4$.

b) Đúng: Gọi A là biến cố: “ Lấy được đúng 3 viên bi trắng”

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là $C_7^4$

Vây $P\left( A \right) = \frac{{C_7^4}}{{C_{16}^4}} = \frac{1}{{52}}$

c) Đúng: Gọi B là biến cố: “ Lấy được đủ 3 mầu”

Lấy được 1 bi mầu trắng, 1 bi mầu đen và 2 bi mầu đỏ có $C_7^1.C_6^1.C_3^2$ cách.

Lấy được 1 bi mầu trắng, 2 bi mầu đen và 1 bi mầu đỏ có $C_7^1.C_6^2.C_3^1$ cách.

Lấy được 2 bi mầu trắng, 1 bi mầu đen và 1 bi mầu đỏ có $C_7^2.C_6^1.C_3^1$ cách.

Do đó: $n\left( B \right) = C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1 = 819$.

Vậy $P\left( B \right) = \frac{{819}}{{C_{16}^4}} = \frac{9}{{20}}$.

d) Sai: Gọi C là biến cố: “ Lấy được đúng 2 mầu”

Lấy được đúng 1 mầu có $C_7^4 + C_6^4$ cách.

Lấy được đủ 3 mầu có $C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1$ cách.

Do đó: $N\left( C \right) = C_{16}^4 - (C_7^4 + C_6^4 + C_7^1.C_6^1.C_3^2 + C_7^1.C_6^2.C_3^1 + C_7^2.C_6^1.C_3^1) = 951$.

Vậy $P\left( B \right) = \frac{{951}}{{C_{16}^4}} = \frac{{951}}{{1820}}$

Chọn hệ trục $Oth$ như hình vẽ với gốc tọa độ $O$ là vị trí trên mặt đất thẳng đứng với trực thăng.

Xét phương trình parabol $\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + bt + c,\,\,a \ne 0$.

Theo giả thiết ta có $S\left( {0;500} \right)$và đi qua điểm$A\left( {5;90} \right)$.

Đỉnh $S\left( {0;500} \right)$ của $\left( P \right)$ nằm trên trục tung nên $\left( P \right):h\left( t \right) = a{t^2} + 500.$

Mặt khác, $A\left( {5;90} \right) \in \left( P \right) \to a = - 16{,}4$. Từ đây ta được phương trình $\left( P \right):h\left( t \right) = - 16{,}4{t^2} + 500.$

Khi nước chạm đất ta được: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t > 0}\\{h\left( t \right) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{t > 0}\\{ - 16{,}4{t^2} + 500 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow t = \frac{{25\sqrt {82} }}{{41}}$.

Vậy $\left\{ \begin{array}{l}b = 82\\c = 41\end{array} \right. \Rightarrow T = 82 + 41 = 123$.

Ta có: $\sqrt { - {x^2} + 5x - 4} = \sqrt { - 2{x^2} + 4x + 2} \Rightarrow - {x^2} + 5x - 4 = - 2{x^2} + 4x + 2$

$$\Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\,\left( {tm} \right)\\x = - 3\,\,\left( {loai} \right)\end{array} \right.$$

Vậy phương trình có một nghiệm $x = 2$.

$\left( E \right)$ có phương trình chính tắc dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$. Theo giả thiết ta có $a = 4,\,b = 3$ nên phương trình của elip $\left( E \right)$ là $\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Tọa độ điểm giao điểm $A$, $B$ của $d$ và $\left( E \right)$ là nghiệm của hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\\frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 12 = 0\\9{x^2} + 16{y^2} = 144\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 0\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.$.

Do $\,OB > OA$ nên $A\left( {0;3} \right)$, $B\left( {4;0} \right) \to AB = 5$; $d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{5}$

${S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.d\left( {C,d} \right) = \frac{{\left| {3m + 4n - 12} \right|}}{2} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m + 4n = 0\end{array} \right.$.

Do $C\left( {m;n} \right) \in \left( E \right)$ nên.

$$\frac{{{m^2}}}{{16}} + \frac{{{n^2}}}{9} = 1 \Leftrightarrow 9{m^2} + 16{n^2} = 144 \Leftrightarrow {\left( {3m + 4n} \right)^2} - 24mn = 144$$

Trường hợp 1: $\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 24\\3m.4n = 216\end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Trường hợp 2: $\left\{ \begin{array}{l}3m + 4n = 0\\3m.4n = - 72\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện $\,\,m > 0$ ta tìm được $m = 2\sqrt 2 ;n = - \frac{3}{{\sqrt 2 }} \to T = \sqrt 2 \left( {m + n} \right) = 1$.

Ta có: $C_n^1 + C_n^3 = 3n \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{1!\left( {n - 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 3n \Leftrightarrow n + \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 3n$

$\Leftrightarrow \frac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)}}{6} = 2 \Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\,\left( {TM} \right)\\n = - 2\,\left( L \right)\end{array} \right.$.

Với $n = 5$ ta có $P\left( x \right) = {\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^5} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{5 - k}}{x^{ - 2k}}} = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k{x^{15 - 5k}}}$.

Hệ số của số hạng chứa ${x^5}$ ứng với $15 - 5k = 5 \Leftrightarrow k = 2$.

Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^5}$ là $C_5^2 = 10$.

Gọi số tự nhiên chia hết cho 5 có 4 chữ số đôi một khác nhau lập được từ các chữ số $\left\{ {0;1;2;3;4;5;6} \right\}$ là $\overline {abcd}$.

Để $\overline {abcd}$ chia hết cho 5 thì $d$ bằng 0 hoặc 5.

TH1: $d = 0$: Khi đó, mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại để lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài là một chỉnh hợp chập 3 của 6 chữ số $1;2;3;4;5;6$.

Vậy có $A_6^3 = 120$ cách chọn. Suy ra TH1 có 120 số.

TH2: $d = 5$: Do $a \ne 0$ nên có 5 cách chọn $a$.

Mỗi cách chọn 2 chữ số còn lại để lập được số thỏa mãn yêu cầu đề bài là một chỉnh hợp chập 2 của 5 chữ số.

Vậy có $A_5^2 = 20$ cách chọn. Suy ra TH2 có $5.20 = 100$ số.

Vậy có thể lập được 220 số thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ta có $n(\Omega ) = C_{21}^4 = 5985$

Đặt $A$ là biến cố chọn ra được $4$ nhà khoa học có đầy đủ cả $3$ lĩnh vực.

Khi đó:

Số cách chọn 2 nhà Toán học, 1 nhà Vật lý, 1 nhà Hóa học là: $C_6^2.C_7^1.C_8^1 = 840$.

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 2 nhà Vật lý, 1 nhà Hóa học là: $C_6^1.C_7^2.C_8^1 = 1008$.

Số cách chọn 1 nhà Toán học, 1 nhà Vật lý, 2 nhà Hóa học là: $C_6^1.C_7^1.C_8^2 = 1176$.

$$\Rightarrow n\left( A \right) = 840 + 1008 + 1176 = 3024$$

Đặt $B$ là biến cố chọn ra $4$ nhà khoa học đủ cả $3$ lĩnh vực mà trong đó

chỉ có nam hoặc chỉ có nữ.

Khi đó:

Số cách chọn chỉ có nam: $C_4^2.C_3^1.C_4^1 + C_4^1.C_3^2.C_4^1 + C_4^1.C_3^1.C_4^2 = 192$.

Số cách chọn chỉ có nữ: $C_2^2.C_4^1.C_4^1 + C_2^1.C_4^2.C_4^1 + C_2^1.C_4^1.C_4^2 = 112$.

$\Rightarrow n\left( B \right) = 192 + 112 = 304$.

Vậy số cách chọn ra được $4$ nhà khoa học có đày đủ cả $3$ lĩnh vực, trong

đó có cả nam lẫ nữ là: $3024 - 304 = 2720$ hay $n\left( A \right) = 2720$

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{2720}}{{5985}} = \frac{{544}}{{1197}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 544\\b = 1197\end{array} \right. \Rightarrow T = 1197 - 2.544 = 109$