Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 6

Đáp án đúng là C

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c$, $\left( {a \ne 0} \right)$.

Do đó, $f\left( x \right) = 3{x^2} + 2x - 10$ là tam thức bậc hai.

Đáp án đúng là C

Bất phương trình nghiệm đúng $\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\{m^2} - 6m - 7 \le 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow - 1 \le m \le 7$.

Đáp án đúng là C

Ta có : $\sqrt {3{x^2} + 6x + 3} = 2x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 1 \ge 0\\3{x^2} + 6x + 3 = 4{x^2} + 4x + 1\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\{x^2} - 2x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x = 1 - \sqrt 3 \left( l \right)\\x = 1 + \sqrt 3 \left( n \right)\end{array} \right.\end{array} \right.$.

Đáp án đúng là C

Dựa vào $\left( d \right)$ ta có véctơ chỉ phương: $\overrightarrow a = \left( {2; - 4} \right)$

Đáp án đúng là B

$R = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {52}$.

Phương trình đường tròn tâm $I\left( { - 2;3} \right)$, $R = \sqrt {52}$ là: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52.$

Đáp án đúng là A

Gọi ${F_1} = \left( { - c;0} \right);{F_2} = \left( {c;0} \right)$ là hai tiêu điểm của $\left( H \right)$.

Từ phương trình $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{9} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$, ta có: ${a^2} = 9$ và ${b^2} = 4$ suy ra ${c^2} = {a^2} + {b^2} = 13 \Rightarrow c = \sqrt {13} ,\left( {c > 0} \right)$.

Vậy tọa độ các tiêu điểm của $\left( H \right)$là ${F_1} = \left( { - \sqrt {13} ;0} \right);{F_2} = \left( {\sqrt {13} ;0} \right)$.

Đáp án đúng là C

Số cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đi trực nhật là $6 + 8 = 14$.

Đáp án đúng là A

${\left( {x + 2y} \right)^5} = C_5^0{x^5} + C_5^1{x^4}{\left( {2y} \right)^1} + C_5^2{x^3}{\left( {2y} \right)^2} + C_5^3{x^2}{\left( {2y} \right)^3} + C_5^4x{\left( {2y} \right)^4} + C_5^5{\left( {2y} \right)^5}$.

$= {x^5} + 10{x^4}y + 40{x^3}{y^2} + 80{x^2}{y^3} + 80x{y^4} + 32{y^5}$.

Gọi A là biến cố xuất hiện mặt hai chấm.

Ta có $n\left( \Omega \right) = 6$, $n\left( A \right) = 1$ suy ra $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{6}$.

Đáp án đúng là D

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{10}^3$.

Gọi A là biến cố: “Chọn được 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam” thì $n\left( A \right) = C_6^2.C_4^1$.

Xác suất chọn được 2 học sinh nữ và 1 học sinh nam là $P\left( A \right) = \frac{{C_6^2.C_4^1}}{{C_{10}^3}} = \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là B

Gọi biến cố $A$: “Hai quả cầu được chọn ra cùng màu”.

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = 10.9 = 90$.

Chọn hai quả cầu cùng màu xảy ra $2$ trường hợp: hoặc $2$ quả cùng màu xanh hoặc $2$ quả cùng màu đỏ. Khi đó $n\left( A \right) = 3.2 + 7.6 = 48$.

Xác suất để hai quả cầu được chọn ra cùng màu là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{48}}{{90}} = \frac{8}{{15}}$.

a) Sai: Tập xác định của hàm số là $\left( { - \infty ;5} \right]$.

b) Sai: Vì khi $x = 0 \Rightarrow f\left( 0 \right) = \sqrt {0 + 1} = 1$.

c) Đúng: Vì khi $x = 4 \Rightarrow f\left( 4 \right) = {4^2} - 1 = 15$.

d) Đúng: với $x = 0$ ta có $f\left( 0 \right) = \sqrt {0 + 1} = 1$ và với $x = - 1$ ta có $f\left( { - 1} \right) = - 1$

Vậy $f\left( 0 \right) + f\left( { - 1} \right) = 0$.

a) Sai : Ta có: $d\left( {A,BC} \right) = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow BC = \frac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{d\left( {A,BC} \right)}} = \sqrt 2$

b) Đúng : Đường cao $AH$ vuông góc với $BC$ nên nhận $\vec u = \left( {1; - 1} \right)$ làm vectơ chỉ phương, suy ra $AH$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;1} \right)$.

Phương trình tổng quát $AH:1\left( {x + 1} \right) + 1\left( {y + 2} \right) = 0$ hay $x + y + 3 = 0$.

Dễ thấy điểm $M\left( { - 4;1} \right)$ thuộc đường $AH$

c) Sai : Chọn điểm $K(0;4)$ thuộc $BC$, gọi $E$ là trung điểm đoạn $AK$ nên $E\left( { - \frac{1}{2};1} \right)$. Gọi $d$ là đường trung bình ứng với cạnh đáy $BC$ của tam giác $ABC$, suy ra $d$ qua $E$ và có một vectơ pháp tuyến .

Phương trình tổng quát $d:1\left( {x + \frac{1}{2}} \right) - 1\left( {y - 1} \right) = 0$ hay $2x - 2y + 3 = 0$.

Vậy đường trung bình không đi qua gốc toạ độ.

d) Đúng : Gọi $M$là trung điểm của $BC$. Ta có: $\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Rightarrow M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)$

Gọi $d$ là đường trung trực của cạnh $BC$ thì $d$đi qua $M\left( {1;\frac{1}{2}} \right)$ và có vec tơ pháp tuyến là $\vec n = \left( {1;1} \right)$ nên $d$: $2x + 2y - 3 = 0$.

a) Sai: vì có $5!$ cách xếp 5 học sinh nữ vào 5 chỗ ngồi.

b) Đúng: vì có $10!$ cách xếp 10 học sinh vào 10 ghế.

c) Sai: vì trường hợp 1, xếp 5 học sinh nam ngồi vào vị trí chẵn có $5!$ cách, sau đó xếp 5 học sinh nữ vào 5 vị trí còn lại có $5!$ cách. Trường hợp 2 xếp 5 học sinh nam ngồi ở vị trí lẻ cũng tương tự như vậy $\Rightarrow$ có $2.5!.5!$ cách xếp nam, nữ ngồi xem kẽ nhau.

d) Sai: vì xem 5 nam là 1 tổ và 5 nữ là một tổ, ta có 2 tổ. Xếp 2 tổ ngồi vào bàn ta có $2!$ cách. Đổi chỗ 5 nam cho nhau có $5!$ cách, đổi chỗ 5 nữ cho nhau có $5!$ cách.

Vậy ta có $2!.5!.5! = 28800$ cách.

a) Sai: Số phần tử của không gian mẫu là $N\left( \Omega \right) = 2.2.2 = 8$

Cụ thể: SSS, SSN, SNS, NSS, NNS, NSN, SNN, NNN

b) Đúng: A:” 3 lần gieo trúng mặt sấp “. Khi đó, $A = \left\{ {SSS} \right\}$ nên $n\left( A \right) = 1,\,\,P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{1}{8}$

c) Sai: B:” 2 lần gieo trúng mặt sấp “.

Khi đó, $A = \left\{ {SSN,\,SNS,\,NSS} \right\}$$n\left( B \right) = 3,\,\,P\left( B \right) = \frac{{n\left( B \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{8}$

d) Đúng: C:” gieo được ít nhất một mặt sấp “.

$\overline C :$” 3 lần nhận được mặt ngửa” nên $P\left( C \right) = 1 - P\left( {\overline C } \right) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Vì đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là $6$ nên $c = 6.$

Mặt khác hàm số đạt giá trị nhỏ nhất là $4$ tại $x = 2$ nên đồ thị hàm số có đỉnh $I\left( {2\,;\,4} \right)$. Do đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - \frac{b}{{2a}} = 2\\4a + 2b + c = 4\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = - 4a\\4a + 2b = - 2\\c = 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{1}{2}\\b = - 2\\c = 6\end{array} \right.$ (nhận). Vậy $2a + b - 3c = - 19.$

Điều kiện: $\left( {4 - x} \right)\left( {x + 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 2;\,4} \right]$.

${x^2} - 2x - 8 = 4\sqrt {\left( {4 - x} \right)\left( {x + 2} \right)}$$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = 4\sqrt { - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)} \left( 1 \right)$.

Đặt $t = \sqrt { - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)}$, $t \ge 0$ $\Leftrightarrow {t^2} = - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)$$\Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 = - {t^2}$.

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow - {t^2} = 4t$$\Leftrightarrow {t^2} + 4t = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\left( n \right)\\t = - 4\left( l \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \sqrt { - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right)} = 0$$\Leftrightarrow - \left( {{x^2} - 2x - 8} \right) = 0$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 2\left( n \right)\\x = 4\left( n \right)\end{array} \right.$. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Phương trình đường tròn tác động có dạng: $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ có tâm $I\left( {a;b} \right)$

Vì $K( - 3;10),N(8;0) \in \left( C \right)$nên ta có hệ phương trình:$\left\{ \begin{array}{l}6a - 20b + c = - 109\\ - 16a + c = - 64\end{array} \right.\,\,(1)$.

Tâm $I$cách đều $K$và $N$nên$IK = IN \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 3 - a} \right)}^2} + {{\left( {10 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {8 - a} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2}} \Leftrightarrow - 10a - 20b = - 45\,\,(2)$

Từ $\left( 1 \right)$và $\left( 2 \right)$suy ra $\left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = \frac{9}{4}\\c = - 64\end{array} \right.$.

Vậy bán kính tác động tính từ tâm chấn là $R = \sqrt {{0^2} + {{\left( {\frac{9}{4}} \right)}^2} - \left( { - 64} \right)} = 8{,}31$ (km).

Nhóm mỗi cặp vợ chồng lại với nhau có $2!.2!.2!.2!$ cách

Sắp xếp 4 cặp vợ chồng lên một dãy ghế dài có $4!$ cách

Theo quy tắc nhân, ta có $2!.2!.2!.2!.4! = 384$.

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = A_6^3 = 120$.

Gọi $A$ là biến cố: "Số chọn được là một số chia hết cho $5$".

Số chia hết cho $5$ được lập từ các chữ số trên có dạng $\overline {ab5}$.

Chọn $2$ số $a,b$ từ các chữ số $1{,}2{,}3{,}4{,}6$ là một chỉnh hợp chập $2$ của $5$ phần tử.

Số cách chọn là $n\left( A \right) = A_5^2 = 20$.

Vậy xác suất cần tìm là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{20}}{{120}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 6\end{array} \right. \Rightarrow T = 2 + 6 = 8$.

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{15}^8$

Gọi A là biến cố: “ Số quyển sách còn lại của thầy giáo có đủ 3 môn”.

$\overline A$ là biến cố: “Số quyển sách còn lại của thầy giáo không đủ 3 môn”.

Xét các khả năng xảy ra:

TH1: Số sách còn lại gồm 2 môn Lý, Hóa (tặng hết sách Toán). Số cách chọn là $C_{11}^4$

TH2: Số sách còn lại gồm 2 môn Toán, Hóa (tặng hết sách Lý). Số cách chọn là $C_{10}^3$

TH3: Số sách còn lại gồm 2 môn Toán, Lý (tặng hết sách Hóa): Số cách chọn là $C_9^2$

Xác suất để số quyển sách còn lại của thầy giáo có đủ 3 môn Toán, Lý và Hóa là:

$$P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{C_{11}^4 + C_{10}^3 + C_9^2}}{{C_{15}^8}} = \frac{{661}}{{715}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 661\\b = 715\end{array} \right. \Rightarrow T = 661 + 715 = 1376$$