Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 5

Đáp án đúng là C

Từ định nghĩa hàm số bậc hai ta có hàm số bậc hai là $y = - 2{x^2} + 7$.

Đáp án đúng là B

Tam thức bậc hai $f\left( x \right) = {x^2} - 4x + 3$ có hai nghiệm ${x_1} = 1,\,\,\,{x_2} = 3$.

Lại có hệ số $a = 1 > 0$. Do đó $f\left( x \right) < 0$ khi và chỉ $x \in \left( {1;3} \right)$.

Đáp án đúng là C

$\sqrt {{x^2} - 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\{x^2} - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\2x = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1$.

Đáp án đúng là D

Cách 1: Gọi $M = {d_1} \cap {d_2} \Rightarrow M\left( { - 1 + t;3 + 3t} \right)$

Mà $M \in Ox \Rightarrow 3 + 3t = 0 \Leftrightarrow t = --1$, suy ra $M\left( { - 2;0} \right)$.

Lại do $M \in {d_1}$ nên $a\left( { - 2} \right) + 3.0--4 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow a = --2$. Vậy $a = - 2$ là giá trị cần tìm.

Cách 2: Thay $x$,$y$ từ phương trình ${d_2}$vào phương trình ${d_1}$ ta được: $a\left( { - 1 + t} \right) + 3\left( {3 + 3t} \right)--4 = 0{\rm{ }} \Leftrightarrow \left( {a + 9} \right)t = a - 5 \Leftrightarrow t = \frac{{a - 5}}{{a + 9}}$

Gọi $M = {d_1} \cap {d_2}$ $\Rightarrow M\left( {\frac{{ - 14}}{{a + 9}};\frac{{6a + 12}}{{a + 9}}} \right)$. Theo đề $M \in Ox \Rightarrow 6a + 12 = 0 \Leftrightarrow a = - 2$.

Vậy $a = --2$ là giá trị cần tìm.

Đáp án đúng là D

Ta thấy phương trình ${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 1$ là phương trình đường tròn có bán kính $R = 1$ và tâm $I\left( {1\,;\, - 2} \right)$.

Đáp án đúng là C

Từ phương trình $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{25}} = 1$ $\Rightarrow {b^2} = 25 \Rightarrow b = 5$.

Do đó $\left( E \right)$ có độ dài trục bé là $2b = 10$.

Đáp án đúng là D

Theo quy tắc cộng, có $36 + 35 = 71$ cách cử một học sinh thuộc một trong hai lớp tham gia công việc tình nguyện.

Đáp án đúng là C

Trường hợp 1: Lấy được $2$ viên bi đỏ, ta thực hiện liên tiếp hai hành động sau:

Lấy được $1$ viên bi đỏ từ hộp thứ nhất có: $4$ cách.

Lấy được $1$ viên bi đỏ từ hộp thứ hai có: $5$ cách.

Theo qui tắc nhân có: $4.5 = 20$ cách.

Trường hợp 2: Lấy được $2$ viên bi trắng, ta thực hiện liên tiếp hai hành động sau:

Lấy được $1$ viên bi trắng từ hộp thứ nhất có: $3$ cách.

Lấy được $1$ viên bi trắng từ hộp thứ hai có: $3$ cách.

Theo qui tắc nhân có: $3.3 = 9$ cách.

Vậy theo qui tắc cộng có: $20 + 9 = 29$cách thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là C

Ta có ${\left( {{x^2} + \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0{\left( {{x^2}} \right)^4} + C_4^1{\left( {{x^2}} \right)^3}.\left( {\frac{1}{x}} \right) + C_4^2{\left( {{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + C_4^3\left( {{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + C_4^4{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}$

$= C_4^0{x^8} + C_4^1{x^6}.\left( {\frac{1}{x}} \right) + C_4^2{x^4}.\frac{1}{{{x^2}}} + C_4^3\left( {{x^2}} \right).\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right) + C_4^4\left( {\frac{1}{{{x^4}}}} \right) = {x^8} + 4{x^5} + 6{x^2} + \frac{4}{x} + \frac{1}{{{x^4}}}$.

Ta có: $20$ viên bi khác nhau được đánh số từ $1$ đến $20$, chia làm ba phần:

Phần $1$: gồm các viên bi mang số chia hết cho $3$, có $6$viên.

Phần $2$: gồm các viên bi mang số chia cho $3$ dư $1$, có $7$viên.

Phần $3$:gồm các viên bi mang số chia cho $3$ dư $2$, có $7$viên.

Lấy ba viên bi từ hộp trên rồi cộng số ghi trên đó lại, được một số chia hết cho $3$có các trường hợp sau:

Trường hợp $1$: lấy được $3$ viên bi ở phần $1$, có $C_6^3$ cách.

Trường hợp $2$: lấy được $3$ viên bi ở phần $2$, có $C_7^3$ cách.

Trường hợp $3$: lấy được $3$ viên bi ở phần $3$, có $C_7^3$ cách.

Trường hợp $4$: lấy được $1$ viên bi ở phần $1$, $1$ viên bi ở phần $2$và $1$ viên bi ở phần $3$, có $C_6^1.C_7^1.C_7^1$ cách.

Vậy có $C_6^3 + C_7^3 + C_7^3 + C_6^1.C_7^1.C_7^1 = 384$ cách lấy được ba viên bi thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là A

Không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = 16$.

Gọi $E$ là biến cố: “ Có đúng hai lần xuất hiện mặt sấp”.

Ta có $E = \left\{ {SSNN;\,SNSN;\,SNNS;\,NSSN;\,NSNS;NNSS} \right\}$$\Rightarrow N\left( E \right) = 6$.

Do đồng xu cân đối nên các kết quả có thể là đồng khả năng.

Vậy xác suất của biến cố $E$ là $P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{16}} = \frac{3}{8}$.

Đáp án đúng là C

Gọi $A$ là biến cố “số được chọn là một số chẵn”.

Giả sử số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau là $\overline {abcde}$, $a \ne 0$.

Có 7 cách chọn chữ số $a$.

Số cách chọn 4 chữ số còn lại bằng số chỉnh hợp chập 4 của 7 hay $A_7^4 = 840$ cách.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = 7.A_7^4 = 5880$.

Số tự nhiên chẵn được chia làm 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Số có chữ số tận cùng là 0.

Số cách chọn 4 chữ số còn lại bằng số chỉnh hợp chập 4 của 7 hay $A_7^4 = 840$ cách

Khi đó có $A_7^4 = 840$ cách chọn số tự nhiên chẵn có chữ số tận cùng là 0.

Trường hợp 2: Số có chữ số tận cùng khác 0. Suy ra có 3 cách chọn chữ số $e$ ( 2; 4; 6)

Có 6 cách chọn chữ số $a$ ( $a \ne 0$ và $a \ne e$).

Số cách chọn 3 chữ số còn lại bằng số chỉnh hợp chập 3 của 6 hay $A_6^3 = 120$ cách.

Khi đó có $3.6.A_6^3 = 2160$ cách chọn số tự nhiên chẵn có chữ số tận cùng khác 0.

Do đó số kết quả thuận lợi của biến cố $A$ là $n\left( A \right) = 840 + 2160 = 3000$.

Vậy xác suất để số được chọn là một số chẵn là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{3000}}{{5880}} = \frac{{25}}{{49}}$.

Gọi $x$ (nghìn đồng) là số tiền giảm giá. Ta có $0 < x < 30$.

Số lượng dưa bán ra khi giảm giá: $40 + 2x$ (trái).

Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá: $30 - x$ (nghìn đồng).

Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày là: $\left( {40 + 2x} \right)\left( {30 - x} \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200$ (nghìn đồng).

Xét hàm số $f\left( x \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200$ trên khoảng $\left( {0;30} \right)$.

Do hàm số có hệ số $a = - 2 < 0$ nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại $x = - \frac{b}{{2a}} = 5$.

Vậy cửa hàng cần giảm giá 5000 đồng cho mỗi quả để đạt được lợi nhuận cao nhất.

Vậy giá bán mỗi quả dưa cần tìm là 45000 đồng.

a) Sai: Số lượng dưa bán ra khi giảm giá là $50$ trái.

b) Sai: Lợi nhuận trên mỗi trái dưa sau khi giảm giá $25.000$ đồng.

c) Đúng: Lợi nhuận bán dưa mỗi ngày được biểu thị bằng tam thức $f\left( x \right) = - 2{x^2} + 20x + 1200$

d) Đúng: Giá bán mỗi quả dưa $45.000$ đồng thì cửa hàng thu được lợi nhuận mỗi ngày cao nhất.

a) Đúng: Tiêu cự là ${F_1}{F_2} = 2\sqrt 3$

b) Sai: Điểm $N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$ đối xứng với $M$ qua trục tung. Do đó $N\left( {1; - \frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$thuộc Elip.

c) Sai: Ta có: $M{F_1} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{2 + \sqrt 3 }}{2}$.

d) Đúng: Phương trình chính tắc của elip có dạng:$\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0 \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} - {b^2}} = \sqrt 3 \Rightarrow {a^2} - {b^2} = 3$ $\left( 1 \right)$

$M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right) \Rightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{4{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}$ $\left( 2 \right)$

Giải hệ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta được:$\left\{ \begin{array}{l}{a^2} - {b^2} = 3\\4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^2} + 3\left( {3 + {b^2}} \right) = 4\left( {3 + {b^2}} \right){b^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 3 + {b^2}\\4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 4\\{b^2} = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình elip là: $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.

a) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm có 2 chữ số nên $a$ có 4 cách chọn, $b$ có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có $4.4 = 16$ số có hai chữ số được lập từ tập hợp $A$.

b) Sai: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm có 2 chữ số khác nhau nên $a$ có 4 cách chọn, $b$ có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có $4.3 = 12$ số có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp $A$.

c) Sai: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm là số chẵn có 2 chữ số khác nhau nên $b$ có 2 cách chọn, $a$ có 3 cách chọn.

Như vậy, ta có $2.3 = 6$ số chẵn có hai chữ số khác nhau được lập từ tập hợp $A$.

d) Đúng: Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$ với $a\,;\,b \in A$

Vì số cần tìm là số lẻ có 2 chữ số nên $b$ có 2 cách chọn, $a$ có 4 cách chọn.

Như vậy, ta có $2.4 = 8$ số lẻ có hai chữ số được lập từ tập hợp $A$.

a) Đúng: Không gian mẫu của phép thử $n\left( \Omega \right) = C_{20}^3 = 1140$.

b) Sai: Gọi $A$là biến cố chọn được hai quả cầu trắng suy ra chọn 2 quả trắng, 1 quả đen.

$\Rightarrow n\left( A \right) = C_{15}^2.C_5^1 = 525$

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{525}}{{1140}} = \frac{{35}}{{76}}$.

c) Đúng: Gọi $B$là biến cố chọn được ít nhất một quả cầu đen suy ra chọn $\overline B$ là biến cố không chọn được quả đen nào, tức là chọn được 3 quả trắng$\Rightarrow n\left( {\overline B } \right) = C_{15}^3 = 455$

Xác suất của biến cố $\overline B$ là: $P\left( {\overline B } \right) = \frac{{n\left( {\overline B } \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{455}}{{1140}} = \frac{{91}}{{228}}$.

Xác suất của biến cố $B$ là: $P\left( B \right) = 1 - P\left( {\overline B } \right) = 1 - \frac{{91}}{{228}} = \frac{{137}}{{228}}$.

d) Sai: Gọi $C$là biến cố chọn được ba quả cầu thuộc hai loại khác nhau.

Trường hợp 1: Chọn $1$ quả trắng, $2$ quả đen$\Rightarrow$có: $C_{15}^1.C_5^2 = 150$ cách.

Trường hợp 2: Chọn $2$ quả trắng, $1$ quả đen$\Rightarrow$có: $C_{15}^2.C_5^1 = 525$ cách.

$\Rightarrow n\left( C \right) = 150 + 525 = 675$cách.

Xác suất của biến cố $C$ là: $P\left( C \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{675}}{{1140}} = \frac{{45}}{{76}}$.

Hàm số $y = \sqrt {{x^2} - 2mx - 2m + 3}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ khi ${x^2} - 2mx - 2m + 3 \ge 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\a > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 2m - 3 \le 0\\1 > 0\end{array} \right.$$\Leftrightarrow - 3 \le m \le 1$.

Do $m$ nguyên âm nên $m \in \left\{ { - 3; - 2; - 1} \right\}$.

Vậy có $3$ giá trị nguyên âm của $m$ thỏa yêu cầu bài toán.

Bất phương trình ${x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 \le 0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 8m + 1 > 0,\forall x \in \mathbb{R}$.

Điều kiện: $\Delta < 0 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} - 4\left( {8m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 28m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 28\end{array} \right.$.

Kết hợp điều kiện nên có $2$ giá trị thỏa mãn.

Ta có ${\Delta _m}:\left( {m - 2} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 5m + 1 = 0 \Leftrightarrow m\left( {x + y - 5} \right) + \left( { - 2x + y + 1} \right) = 0$

Khi đó, ${\Delta _m}$ luôn đi qua điểm cố định $M\left( {2;3} \right)$.

Gọi $d = d\left( {A,{\Delta _m}} \right) = AH,H \in {\Delta _m}$ $\Rightarrow d \le AM$.

$\Rightarrow d$ lớn nhất khi $H \equiv M$ hay $M$ là hình chiếu của $A$ trên $\Delta$.

Ta có $\overrightarrow {AM} \left( {5; - 6} \right)$ và ${\Delta _m}$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u \left( {m + 1;2 - m} \right)$.

Đường thẳng $AM \bot {\Delta _m}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} .\overrightarrow u = 0$

$\Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) - 6\left( {2 - m} \right) = 0 \Leftrightarrow 11m - 7 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{7}{{11}} \Rightarrow S = 2a - b = 2.7 - 11 = 3$.

Gọi số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau là $\overline {abcd} ;a \ne 0$.

Trường hợp 1: Số được lập có $4$ chữ số chẵn, có $4! = 24$ (số).

Trường hợp 2: Số được lập có $1$ chữ số lẻ và $3$ chữ số chẵn:

Chọn 1 số lẻ có 5 cách

Chọn vị trí cho số lẻ có 4 cách

Chọn 3 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 3 vị trí có: $A_4^3$ cách

Suy ra, có $5.4.A_4^3 = 480$ (số).

Trường hợp 3: Số được lập có 2 chữ số lẻ và $2$ chữ số chẵn,

Chọn vị trí cho hai số lẻ có 3 cách (hai số lẻ xếp vào các vị trí: ac;bd;ad)

Chọn 2 số lẻ từ 5 số lẻ và xếp vào 2 vị trí có: $A_5^2$ cách

Chọn 2 số chẵn từ 4 số chẵn và xếp vào 2 vị trí còn lại có: $A_4^2$ cách

Suy ra, có $3.A_5^2.A_4^2 = 720$ (số).

Do đó, số các số tự nhiên có $4$ chữ số đôi một khác nhau và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ là: $24 + 480 + 720 = 1224$.

Không gian mẫu$\Omega \Rightarrow$ $n\left( \Omega \right) = C_{11}^3$

Gọi A: "tổng số ghi trên 3 tấm thẻ ấy là một số lẻ"

Từ 1 đến 11 có 6 số lẻ và 5 số chẵn. Để có tổng của 3 số là một số lẻ ta có 2 trường hợp.

Trường hợp 1: Chọn được 1 thẻ mang số lẻ và 2 thẻ mang số chẵn có: $C_6^1 \cdot C_5^2 = 60$ cách.

Trường hợp 2: Chọn được 3 thẻ mang số lẻ có: $C_6^3 = 20$

Do đó $n\left( A \right) = 60 + 20 = 80 \Rightarrow$$P\left( A \right) = \frac{{16}}{{33}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 16\\b = 33\end{array} \right. \Rightarrow T = a + b = 49$

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu $\Rightarrow n\left( \Omega \right) = 10!$

Kí hiệu 10 ghế như sau: DXXD XXD XXD

Trong đó: D là ghế đỏ (dành cho nam) và X là ghế xanh (dành cho nữ)

Gọi A là biến cố “giữa hai bạn nam liên tiếp có đúng hai bạn nữ”

Xếp 4 bạn nam vào ghế đỏ có $4!$ (cách)

Xếp mỗi cặp 2 bạn nữ vào 3 ô trống giữa 4 bạn nam có $A_6^2.A_4^2.A_2^2$ (cách)

$\Rightarrow n\left( A \right) = 4!.A_6^2.A_4^2.A_2^2 = 17280$.

Vậy xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \frac{{17280}}{{10!}} = \frac{1}{{210}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 210\end{array} \right. \Rightarrow T = 2a + b = 212$.