Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 2

Ta có :$\sqrt {x - 1} = x - 3 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x - 1 = {\left( {x - 3} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\{x^2} - 7x + 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 5\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 5$.

Đối chiếu điề kiện, suy ra phương trình có một nghiệm $x = 5$.

Phương trình đường tròn có dạng: ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} - 2a = 2\\ - 2b = - 4\\c = - 4\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 1\\b = 2\\c = - 4\end{array} \right.$

Đường tròn có tâm $I( - 1;2),R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c} = 3$.

Đáp án đúng là A

Ta có ${\left( {x - \frac{3}{x}} \right)^4} = {x^4} + 4{x^3}.\left( { - \frac{3}{x}} \right) + 6{x^2}.{\left( { - \frac{3}{x}} \right)^2} + 4x{\left( { - \frac{3}{x}} \right)^3} + {\left( { - \frac{3}{x}} \right)^4}$$= {x^4} - 12{x^2} + 54 - \frac{{108}}{{{x^2}}} + \frac{{81}}{{{x^4}}}$.

Vậy số hạng không chứa $x$ là $54$.

Đáp án đúng là C

Khi gieo con súc sắc xuất hiện mặt có số chấm không nhỏ hơn $2$suy ra số chấm xuất hiện có

thể là $2,\,3,\,4,\,5,\,6.$Vậy $A = \left\{ {2;\,3;\,4;\,5;\,6} \right\}$.

Đáp án đúng là D

Xếp 1 học sinh lớp C vào chỗ, xảy ra 2 trường hợp:

Trường hợp 1: học sinh lớp C ngồi ở một trong 2 đầu, có 2 cách xếp.

Khi đó, có $A_4^2$ cách xếp 2 học sinh lớp B và $A_3^3$ cách xếp 3 học sinh lớp A.

$\Rightarrow$ có $2.A_4^2.A_3^3$ cách xếp cho trường hợp 1.

Trường hợp 2: học sinh lớp C không ngồi ở hai đầu, có 4 cách xếp.

Khi đó, có $A_3^2$ cách xếp 2 học sinh lớp B và $A_3^3$ cách xếp 3 học sinh lớp A.

$\Rightarrow$ có $4.A_3^2.A_3^3$ cách xếp cho trường hợp 2.

Suy ra số cách xếp thỏa mãn là $2.A_4^2.A_3^3 + 4.A_3^2.A_3^3 = 216$.

Đáp án đúng là B

Lấy ngẫu nhiên $3$ viên bi từ $12$ viên bi, số cách lấy là $C_{12}^3 = 220$, nên $n\left( \Omega \right) = 220$. Gọi $A$ là biến cố “$3$viên bi lấy ra có ít nhất $2$ viên bi màu đỏ”

Suy ra số trường hợp thuận lợi của biến cố $A$ là $n\left( A \right) = C_7^2.C_5^1 + C_7^3.C_5^0 = 140$.

Xác suất cần tìm là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{140}}{{220}} = \frac{7}{{11}}$.

a) Đúng: Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $\left( {2; + \infty } \right)$.

b) Sai: Hệ số $a$ của hàm số bậc hai đã cho là một số âm

c) Sai: Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $\left( { - \frac{1}{4};2} \right)$.

d) Đúng: Giá trị lớn nhất của hàm số bằng $- 10$

a) Đúng: Ta có $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5 \Rightarrow {F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( { - 5;0} \right)$.

b) Sai: Độ dài trục thực $2a = 2\sqrt {16} = 8$.

c) Sai: Độ dài trục ảo $2b = 2\sqrt 9 = 6$.

d) Sai: Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên $\left( H \right)$đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối là $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 8$.

a) Đúng: Trên giá sách có $4 + 5 + 6 = 15$ quyển sách.

Lấy $1$ quyển tùy ý từ $15$ quyển nên có 15 cách lấy.

b) Đúng: Lấy một quyển sách Toán hoặc Vật lý từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có 4 cách lấy.

Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy

Việc lấy sách được hoàn thành bởi một trong hai hành động trên nên theo quy tắc cộng có $4 + 5 = 9$ cách lấy.

c) Sai: Lấy hai quyển sách gồm Toán và Hóa học từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có $4$ cách lấy.

Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.

Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp hai hành động trên nên theo quy tắc nhân có $4.{\rm{6}} = 24$ cách lấy.

d) Đúng: Lấy ba quyển sách có đủ ba môn học từ giá sách.

Lấy một quyển Toán: có $4$ cách lấy.

Lấy một quyển Vật lý: có 5 cách lấy

Lấy một quyển Hóa học: có 6 cách lấy.

Việc lấy sách được hoàn thành bởi liên tiếp ba hành động trên nên theo quy tắc nhân có $4.5.{\rm{6}} = 120$ cách lấy.

Không gian mẫu là $C_{20}^5 = 15504$.

a) Đúng: Số cách chọn $5$ học sinh nữ từ $7$ học sinh nữ là $C_7^5 = 21$.

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được $5$ học sinh nữ là $\frac{{21}}{{15504}} = \frac{7}{{5168}}$.

b) Đúng: Để chọn đúng $3$ học sinh nam thì cô chủ nhiệm sẽ chọn $3$ nam và $2$ nữ.

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được $3$ nam và $2$ nữ là $\frac{{C_{13}^3.C_7^2}}{{15504}} = \frac{{1001}}{{2584}}$.

c) Sai: Phần bù của biến cố “chọn được ít nhất $1$ học sinh nữ là chọn được $5$ học sinh nam”

Xác suất để cô chủ nhiệm chọn được ít nhất $1$ học sinh nữ là $\frac{{C_{20}^5 - C_{13}^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{4739}}{{5168}}$.

d) Đúng : Ta chia làm 3 trường hợp

Trường hợp 1: $3$ nữ $2$ nam

Trường hợp 2: $4$ nữ $1$ nam

Trường hợp 3: $5$ nữ

Xác suất để cô chủ nhiệm số học sinh nữ nhiều hơn số học sinh nam là

$\frac{{C_7^3.C_{13}^2 + C_7^4.C_{13}^1 + C_7^5}}{{C_{20}^5}} = \frac{{1603}}{{7752}}$.

Số giao điểm giữa đồ thị hàm số $y = \sqrt {2x - 3}$ và đường thẳng $y = 3 - x$ là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm: $\sqrt {2x - 3} = 3 - x{\rm{ }}\left( * \right)$

$\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {2x - 3} } \right)^2} = {\left( {3 - x} \right)^2}$$\Leftrightarrow 2x - 3 = {x^2} - 6x + 9$$\Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 = 0$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 2}\\{x = 6}\end{array}} \right.$.

Thay lần lượt $x = 2;\,x = 6$ vào phương trình $\left( * \right)$ ta thấy $x = 2$ thoả mãn.

Vậy đồ thị hàm số $y = \sqrt {2x - 3}$ và đường thẳng $y = 3 - x$ có 1 giao điểm chung.

Ta có: $f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = m\\x = m + 3\end{array} \right.$.

$f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow x \in \left( {m;m + 3} \right)$

Do đó: $f\left( x \right) < 0,\forall x \in \left( { - 1;0} \right)$ $\Leftrightarrow$ $\left( { - 1;0} \right) \subset \left( {m;m + 3} \right)$ $\Leftrightarrow$ $m \le - 1 < 0 \le m + 3$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\0 \le m + 3\end{array} \right.$.$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le - 1\\ - 3 \le m\end{array} \right. \Leftrightarrow - 3 \le m \le - 1$

Vậy $- 3 \le m \le - 1$$\Rightarrow m \in \left\{ { - 3;\, - 2;\, - 1} \right\}$ nên có $3$ giá trị nguyên thỏa mãn.

Trường hợp 1: Chọn mua ô tô và máy bay

Chọn mua ô tô có 8 cách.

Chọn mua máy bay có 7 cách.

Theo quy tắc nhân có $7.8 = 56$ cách chọn một ô tô và một máy bay.

Trường hợp 2: Chọn mua ô tô và đồ chơi xếp hình

Chọn mua ô tô có 8 cách.

Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.

Theo quy tắc nhân có $8.10 = 80$ cách chọn một ô tô và một món đồ chơi xếp hình.

Trường hợp 3: Chọn mua máy bay và đồ chơi xếp hình

Chọn mua máy bay có 7 cách.

Chọn mua đồ chơi xếp hình có 10 cách.

Theo quy tắc nhân có $7.10 = 70$ cách chọn một máy bay và một món đồ chơi xếp hình.

Vậy theo quy tắc cộng có $56 + 70 + 80 = 206$ cách mua hai món đồ chơi khác loại.

Đường tròn $\left( C \right)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$có phương trình là: ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25$.

Tứ giác$BCHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$ (vì $\widehat {BHC} = \widehat {BKC} = {90^0}$).

Dựng tiếp tuyến của đường tròn $\left( C \right)$ tại $A.$ Ta có $\widehat {CAx} = \widehat {CBA} =$ sđ $\left( 1 \right)$

Mặt khác: $\widehat {CBA} = \widehat {AHK}$ (Vì tứ giác $BCHK$ nội tiếp) $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {CAx} = \widehat {AHK}$. Vậy $HK//Ax$, nên $HK \bot AI$.

Đường thẳng $AI$ đi qua $I$ và nhận $\overrightarrow {HK}$ làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là:

$3\left( {x - 1} \right) + 4y = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 3 = 0$.

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 3;3} \right)$ (vì $A$có tung độ dương).

Đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và $K$ nên có phương trình: $2x + y + 3 = 0$.

Tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 3 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {1; - 5} \right)$ (vì $B$ khác $A$).

Đường thẳng $AC$đi qua $A$ và $H$ nên có phương trình: $x + 3y - 6 = 0$.

Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}x + 3y - 6 = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} = 25\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6;0} \right)$ (vì $C$ khác$A$).

Vậy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có đường kính $BC$ bằng $\frac{{25}}{2} = 12{,}5$.

Cách 1.

Để tính số cách chọn được 4 học sinh trong đó có đúng hai học sinh cùng lớp ta thực hiện như sau:

Trường hợp 1: Tính tổng tất cả số cách chọn ra 4 học sinh từ 16 học sinh có $C_{16}^4 = 1820$cách.

Trường hợp 2: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 2 lớp (hai cặp học sinh cùng lớp) có $C_8^2 = 28$ cách (Mỗi cách chọn ra 2 lớp học từ 8 lớp học là một cách chọn ra hai cặp học sinh học cùng lớp)

Trường hợp 3: Tính số cách chọn ra 4 học sinh học trong 4 lớp khác nhau có $C_8^4.2.2.2.2 = 1120$ cách

(Chọn 4 lớp từ 8 lớp có $C_8^4$ cách, ứng với mỗi cách chọn ra 4 lớp thì mỗi lớp có 2 cách chọn một học sinh)

Từ đó suy ra số cách chọn 4 học sinh trong đó có đúng 2 học sinh học cùng lớp là $1820 - 28 - 1120 = 672$ cách.

Cách 2: Ta gọi 8 lớp 10 là A1, A2, A3,…, A8.

Chọn 2 học sinh của lớp A1, và chọn 2 học sinh không cùng lớp trong 7 lớp còn lại.

Có 1 cách chọn 2 học sinh lớp A1.

Trong 7 lớp còn lại có tất cả $C_{14}^2$ cách chọn 2 học sinh trong đó có 7 cách chọn 2 học sinh cùng lớp suy ra trong 7 lớp còn lại có $C_{14}^2 - 7 = 84$ cách chọn 2 học sinh không cùng lớp

Tương tự cho 7 trường hợp còn lại

Vậy có $8.1.84 = 672$ cách.

Chọn ngẫu nhiên $3$ đỉnh từ $32$ đỉnh ta có $n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960$.

Đa giác đều có $32$ đỉnh sẽ có $16$ đường chéo đi qua tâm của đa giác.

Mà cứ $2$ đường chéo sẽ tạo thành $1$ hình chữ nhật. Cứ 1 hình chữ nhật lại tạo thành $4$ tam giác vuông. Do đó, số tam giác vuông được tạo thành là $4C_{16}^2 = 480$.

Mặt khác, trong số $C_{16}^2$ hình chữ nhật lại có $8$ hình vuông. Suy ra, số tam giác vuông cân là $4 \cdot 8 = 32$.

Gọi $X$ là biến cố “Chọn được một tam giác vuông, không cân”$\Rightarrow n\left( X \right) = 480 - 32 = 448$.

Xác suất của biến cố $X$ là:

$P\left( X \right) = \frac{{n\left( X \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{448}}{{4960}} = \frac{{14}}{{155}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 14\\b = 155\end{array} \right. \Rightarrow T = b - 3a = 155 - 3.14 = 113$.