Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Kết nối tri thức cấu trúc mới có đáp án - Đề 10

Đáp án đúng là C

Đỉnh của parabol là $I\left( {1{,}4} \right)$.

Đáp án đúng là A

Dựa vào bảng xét dấu, ta có $f\left( x \right) \le 0,\forall x \in \mathbb{R}$ và $\Delta$.

Nên $A\left( {1;3} \right)$.

Đáp án đúng là A

Ta có: $\sqrt {3{x^2} - 4x + 4} = 3x + 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2 \ge 0\\3{x^2} - 4x + 4 = {\left( {3x + 2} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{2}{3}\\6{x^2} + 16x = 0\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - \frac{2}{3}\\x = 0,x = - \frac{8}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0$.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{ 0 \right\}$.

Đáp án đúng là D

Điều kiện: ${m^2} + {\left( { - m + 1} \right)^2} \ne 0$ và ${\left( {m + 3} \right)^2} + 1 \ne 0$.

Véc tơ pháp tuyến của ${d_1}$ là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {m; - m + 1} \right)$.

Véc tơ pháp tuyến của ${d_2}$ là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {m + 3;1} \right)$.

Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$$\Leftrightarrow m\left( {m + 3} \right) + \left( { - m + 1} \right) = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 1$

Đáp án đúng là B

$R = \left| {\overrightarrow {IM} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} = \sqrt {52}$.

Phương trình đường tròn tâm $I\left( { - 2;3} \right)$, $R = \sqrt {52}$ là: ${\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 52.$

Đáp án đúng là B

Phương trình chính tắc của parabol là: ${y^2} = 6x$

Đáp án đúng là A

Để chọn được bộ quần áo theo yêu cầu bài toán phải thực hiện liên tiếp các hành động:

Hành động 1: Chọn chiếc áo: Có 5 cách chọn.

Hành động 2: Chọn chiếc quần: Có 4 cách chọn.

Hành động 3: Chọn đôi giầy: Có 3 cách chọn.

Hành động 4: Chọn chiếc mũ: Có 2 cách chọn.

Vậy theo qui tắc nhân, có $5.4.3.2 = 120$ cách chọn.

Đáp án đúng là B

Mỗi cách xếp $3$ học sinh nam và $2$ học sinh nữ vào một bàn dài có $5$ ghế ngồi là 1 hoán vị của 5 phần tử. Vậy có $5!$ cách sắp xếp.

Đáp án đúng là D

Số chỉnh hợp chập $2$ của $5$ phần tử là $A_5^2 = 20$.

Đáp án đúng là A

Ta có:

${\left( {{x^2} - y} \right)^5} = {\left[ {{x^2} + \left( { - y} \right)} \right]^5} = C_5^0{x^{10}} + C_5^1{x^8}{\left( { - y} \right)^1} + C_5^2{x^6}{\left( { - y} \right)^2} + C_5^3{x^4}{\left( { - y} \right)^3} + C_5^4{x^2}{\left( { - y} \right)^4} + C_5^5{\left( { - y} \right)^5}$

Hay ${\left( {{x^2} - y} \right)^5} = {x^{10}} - 5{x^8}y + 10{x^6}{y^2} - 10{x^4}{y^3} + 5{x^2}{y^4} - {y^5}$.

Đáp án đúng là B

Gọi A là biến cố “lấy ba quả cầu cùng màu”.

Ta có $n\left( \Omega \right) = C_9^3 = 84$.

Lấy ba quả cầu cùng màu: $n\left( A \right) = C_6^3 + C_3^3 = 21$.

Xác suất lấy được ba quả cầu cùng màu là $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{1}{4}$.

Đáp án đúng là A

Không gian mẫu $\Omega$: “lấy hai quả bất kì” $\Rightarrow n\left( \Omega \right) = C_{15}^2$.

Biến cố $A$: “lấy hai quả có màu khác nhau” $\Rightarrow n\left( A \right) = 10.5 = 50$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{10}}{{21}}$.

a) Đúng: Người ta cắt ở mỗi góc tấm sắt một hình vuông cạnh bằng $4cm$ nên diện tích phần cắt đi là: $4.4.4 = 64\,(c{m^2})$.

b) Sai: Theo bài ta có nửa chu vi của tấm sắt là $96:2 = 48\,(cm)$

Gọi chiều dài của tấm sắt là $x(cm)\,$

Chiều rộng của tấm sắt sẽ là $48 - x\,(cm)$.

c) Đúng: Do chiều dài lớn hơn chiều rộng nên ta có:$x > 48 - x \Leftrightarrow x > 24\,(cm)$

Diện tích của tấm sắt ban đầu là $x(48 - x)\,\,(c{m^2})$.

Diện tích phần còn lại của tấm sắt là $x\left( {48 - x} \right)\, - 64 = - {x^2} + 48x - 64\,\,\left( {c{m^2}} \right)$.

d) Sai: Để diện tích còn lại của tấm sắt ít nhất bằng 448 $c{m^2}$nên ta có phương trình :

$x\left( {48 - x} \right) - 64 \ge 448 \Leftrightarrow {x^2} - 48x + 512 \le 0$

Đặt $f\left( x \right) = {x^2} - 48x + 512$$\Rightarrow f(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 32\\x = 16\end{array} \right.$

Do hệ số $a = 1 > 0$ nên bảng xét dấu của $f\left( x \right)$ là:

Dựa vào bảng xét dấu ta có: $x \in \left[ {16;32} \right]$. Kết hợp với điều kiện của $x$ ta có $x \in (24;32]$

a) Đúng: vì ta có $c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {16 + 9} = 5 \Rightarrow {F_1}\left( { - 5;0} \right),{F_2}\left( { - 5;0} \right)$.

b) Sai: vì độ dài trục thực $2a = 2\sqrt {16} = 8$.

c) Sai: vì độ dài trục ảo $2b = 2\sqrt 9 = 6$.

d) Sai: vì hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên $\left( H \right)$đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối là $\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 2a = 8$.

a) Đúng: Số cách xếp ngẫu nhiên $7$ học sinh không kể nam nữ lên ghế là một hoán vị của $7$: ${P_7} = 5040$.

b) Sai: Các học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau, ta coi các bạn nam là nhóm A, các bạn nữ là nhóm B. Xếp $2$ nhóm này lên ghế có: $2! = 2$ cách.

Hoán vị $5$ học sinh nam có: $5! = 120$ cách

Hoán vị $2$ học sinh nữ có: $2! = 2$ cách

Vậy số cách xếp để học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau là $2.120.2 = 480$cách.

c) Đúng: Xếp $2$ học sinh nữ vào $2$ đầu ghế có: $2! = 2$ cách.

Xếp $5$ học sinh nam vào $5$ vị trí ở giữa có: $5! = 120$ cách

Vậy số cách xếp để $2$ học sinh nữ ngồi ở $2$đầu ghế là $2.120 = 240$cách.

d) Đúng: Để $2$ học sinh nữ ngồi cạnh nhau ta coi $2$ học sinh nữ là nhóm A.

Xếp nhóm $A$ và $5$ học sinh nam ghế có: $6! = 720$ cách.

Hoán vị $2$ học sinh nữ có: $2! = 2$ cách

Vậy số cách xếp để $2$ học sinh nữ ngồi cạnh nhau là $720.2 = 1440$cách.

Suy ra xếp $7$ học sinh vào ghế, số cách xếp để$2$ học sinh nữ không ngồi cạnh nhau là $5040 - 1440 = 3600$.

a) Đúng: Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{20}^2 = 190$.

b) Đúng: Số phần tử của biến cố lấy được hai thẻ mang số lẻ là $C_{10}^2 = 45$.

c) Sai: Chọn hai thẻ mang số chẵn $C_{10}^2$.

Chọn hai thẻ mang số lẻ $C_{10}^2$.

Suy ra số phần tử của biến cố hai thẻ lấy ra có tổng chia hết cho $2$ là $C_{10}^2 + C_{10}^2 = 90$.

Xác suất của biến cố hai thẻ lấy ra có tổng chia hết cho $2$ là $\frac{{90}}{{190}} = \frac{9}{{19}}$.

d) Đúng: Chọn hai thẻ mang số chẵn $C_{10}^2$.

Chọn một thẻ mang số chẵn và một thẻ mang số lẻ $C_{10}^1.C_{10}^1$.

Suy ra số phần tử của biến cố hai thẻ lấy ra có tích chia hết cho $2$ là $C_{10}^2 + C_{10}^1.C_{10}^1 = 145$.

Xác suất của biến cố hai thẻ lấy ra có tích chia hết cho $2$ là $\frac{{145}}{{190}} = \frac{{29}}{{38}}$.

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Giả sử quỹ đạo của quả bóng là parabol $\left( P \right)$ có phương trình $y\; = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)$.

Gắn hệ trục tọa độ tại các điểm $x\, = \,0;\,x\, = 1;\,x\, = \,3{,}5$.

Theo giả thiết suy ra|C|D|0|2|5| parabol $\left( P \right)$ đi qua các điểm $A\left( {0;1} \right),\,B\left( {1;6} \right),\,C\left( {3{,}5;\,9{,}75} \right)$ ta có hệ

$\left\{ \begin{array}{l}c\, = \,1\\a\, + b\, + c\, = 6\\\frac{{49}}{4}a + \frac{7}{2}b\, + c\, = \,9{,}75\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}c\, = \,1\\b\, = \,6\\a\, = \, - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right):\,y\, = \, - {x^2} + 6x\, + 1$.

Ta có $y\, = \, - {x^2} + 6x + 1\, = \, - {\left( {x - 3} \right)^2} + 10 \le \,10$.

Suy ra độ cao nhất mà quả bóng đạt được là $10m$.

Ta có: ${x^2} + (m - 2)x + 5m + 1 > 0$$,\forall x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a > 0}\\{\Delta < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{1 > 0}\\{{{\left( {m - 2} \right)}^2} - 4\left( {5m + 1} \right) < 0}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow {m^2} - 24m < 0 \Leftrightarrow m \in \left( {0\,;\,24} \right)$.

Vậy có tất cả $23$ giá trị thoả mãn.

Ranh giới vùng phủ sóng là đường tròn $\left( C \right)$ tâm $I$ bán kính $3\,km$.

Phương trình đường tròn đó là: $\left( C \right):\,{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9$.

Giả sử người đó di chuyển khoảng cách ngắn nhất (tính theo đường chim bay) từ vị trí $B$ đến vị trí $A$ thuộc vùng phủ sóng thì $A$ là giao điểm của đường thẳng $BI$ và đường tròn $\left( C \right)$ và $A$ thuộc góc phần tư thứ (II) trên mặt phẳng tọa độ.

Ta có $\overrightarrow {BI} = \left( {1; - 3} \right)$ suy ra vecto pháp tuyến của đường thẳng $BI$ là $\overrightarrow n = \left( {3;1} \right)$.

Suy ra phương trình tổng quát của $BI$ là: $\left( {BI} \right):\,3x + y + 5 = 0$.

Tọa độ của $A$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + y + 5 = 0\\{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 9\\y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{20 + 3\sqrt {10} }}{{10}}\\y = \frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - \frac{{20 + 3\sqrt {10} }}{{10}};\frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}}} \right)$.

$\Rightarrow AB = \sqrt {{{\left( { - \frac{{20 + 3\sqrt {10} }}{{10}} + 2} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{10 + 9\sqrt {10} }}{{10}} - 1} \right)}^2}} = 3$.

Vậy khoảng cách ngắn nhất (tính theo đường chim bay) để một người đang ở vị trí $B\left( { - 3;4} \right)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng là $3\,km$.

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_7^2 = 21$.

Gọi $A$ là biến cố: “ Chọn được 2 viên phấn xanh”.

Số phần tử của biến cố $A$ là $n\left( A \right) = C_3^2 = 3$.

Vậy xác suất chọn được 2 viên phấn xanh từ hộp trên là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{{21}} = \frac{1}{7}$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 7\end{array} \right. \Rightarrow T = 2.1 + 4.7 = 30$

Ta có: Gọi A là biến cố “trong 3 đoàn viên được chọn có cả nam và nữ”

Số cách chọn 3 đoàn viên trong 35 đoàn viên để tham dự đại hội là: $C_{35}^3$$\Rightarrow n\left( {\rm{\Omega }} \right)$= $C_{35}^3$

Trường hợp 1: trong 3 đoàn viên được chọn có 1 nam và 2 nữ có: $C_{15}^1.C_{20}^2$

Trường hợp 2: trong 3 đoàn viên được chọn có 2 nam và 1 nữ có: $C_{15}^2.C_{20}^1$

Số cách chọn 3 đoàn viên có đủ cả nam và nữ là $C_{15}^1.C_{20}^2$+ $C_{15}^2.C_{20}^1$$\Rightarrow n\left( A \right) = C_{15}^1.C_{20}^2 + C_{15}^2.C_{20}^1$

Xác suất để trong 3 đoàn viên được chọn có cả nam và nữ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{C_{15}^1.C_{20}^2 + C_{15}^2.C_{20}^1}}{{C_{35}^3}} = \frac{{90}}{{119}}$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}a = 90\\b = 119\end{array} \right. \Rightarrow T = 90 + 2.119 = 328$

Tổng số hộp sữa được gửi đến để kiểm nghiệm là 12 hộp sữa.

Chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa từ 12 hộp sữa thì mỗi một cách chọn là một tổ hợp chập 3 của 12 phần tử. Các trường hợp đồng khả năng xảy ra.

Số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = C_{12}^3 = 220$.

Biến cố $A$: “3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại”.

Như vậy sẽ chọn 1 hộp sữa cam, 1 hộp sữa dâu và 1 hộp sữa nho.

Số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = 3.4.5 = 60$.

Xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{60}}{{220}} = \frac{3}{{11}}$.

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 11\end{array} \right. \Rightarrow T = 3 + 11 = 14$