Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 08

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi số cần tìm có dạng $\overline {ab}$

Vì đều là số chẵn nên

$a$ có $4$ cách chọn (vì $a$ được chọn từ một trong bốn số $2;4;6;8$)

$b$ có $5$ cách chọn (vì $b$ được chọn từ một trong năm số $0;2;4;6;8$)

Như vậy, ta có $4.5 = 20$ số cần tìm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Dựa vào sơ đồ cây tất cả các cách bạn Hà đi từ Lạng Sơn xuống Hà Nội rồi từ Hà Nội vào Đà Lạt là: Xe khách – Xe khách, Xe khách – Máy bay, Tàu – Xe khách, Tàu – Máy bay, Xe máy – Xe khách, Xe máy – Máy bay.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số các tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử trên là

$C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)...\left( {n - k + 1} \right)}}{{k!}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Các đoạn thẳng được lập không phân biệt điểm đầu và điểm cuối (ví dụ đoạn thẳng $AB$ và đoạn thẳng $BA$ là giống nhau).

Vậy cứ hai điểm phân biệt sẽ cho ta một đoạn thẳng.

Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong tám điểm nói trên là $C_{10}^2 = 45$ đoạn thẳng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khai triển với $n = 4$ là:

${\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam thức bậc hai $f\left( x \right):{x^2} - 3x + 2$ có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.2 = 1 > 0$.

Do đó $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 1 }}{{2.1}} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 1 }}{{2.1}} = 2.$

Ta lại có $a = 1 > 0$.

Do đó ta có:

⦁ $f\left( x \right)$ âm trên khoảng $\left( {1;2} \right)$;

⦁ $f\left( x \right)$ dương trên hai khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$;

⦁ $f\left( x \right) = 0$ khi $x = 1$ hoặc $x = 2$.

Vì vậy bất phương trình ${x^2} - 3x + 2 < 0$ có tập nghiệm là $\left( {1;2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số cách chọn $5$ cầu thủ từ $11$ trong một đội bóng để thực hiện đá $5$ quả luân lưu $11{\rm{ m}}$, theo thứ tự quả thứ nhất đến quả thứ năm là số chỉnh hợp chập $5$ của $11$ phần tử nên số cách chọn là $A_{11}^5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

⦁ ${\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^4} = {1^4} + {4.1^3}.\sqrt 3 + {6.1^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} + 4.1.{\left( {\sqrt 3 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 3 } \right)^4}$.

⦁ ${\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^4} = {1^4} + {4.1^3}.\left( { - \sqrt 3 } \right) + {6.1^2}.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^2} + 4.1.{\left( { - \sqrt 3 } \right)^3} + {\left( { - \sqrt 3 } \right)^4}$.

Suy ra ${\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^4} + {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^4} = 2.\left[ {{1^4} + {{6.1}^2}.{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^4}} \right]$

$= 2.\left( {1 + 6.1.3 + 9} \right) = 56$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi $S$ là kí hiệu khi đồng xu xuất hiện mặt sấp, $N$ là kí hiệu khi đồng xu xuất hiện mặt ngửa.

Không gian mẫu là:

$\Omega = \left\{ {SSS;SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN} \right\}$nên $n\left( \Omega \right) = 8$.

Gọi biến cố $A$: “ít nhất một lần mặt ngửa”. Các kết quả thuận lợi của biến cố $A$ là:

$SSN;SNS;NSS;SNN;NSN;NNS;NNN$. Do đó $n\left( A \right) = 7$.

Vậy $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{7}{8}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tổng số học sinh trong lớp: $15 + 17 = 32$(học sinh)

Biến cố $A$: “đội kỉ luật có ít nhất một bạn nữ”

Biến cố đối $\overline A$: “đội kỉ luật không có bạn nữ nào” tức là chỉ có $3$ bạn nam

Ta có:

$n\left( \Omega \right) = C_{32}^3 = 4960$

$n\left( {\overline A } \right) = C_{15}^3 = 455$

Do đó, $P(\overline A ) = \frac{{n(\overline A )}}{{n(\Omega )}} = \frac{{455}}{{4960}} = \frac{{91}}{{992}}$

Vậy $P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{{91}}{{992}} = \frac{{901}}{{992}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cho biến cố $A$ có biến cố đối $\overline A$. Ta có: $P\left( A \right) + P\left( {\overline A } \right) = 1$ và $0 \le P\left( A \right),P\left( {\overline A } \right) \le 1$.

Do đó C đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+ Đường thẳng $d$ và đường thẳng $x + 2y + 1 = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {1;2} \right)$ không cùng phương nên đường thẳng $d$ và đường thẳng $x + 2y + 1 = 0$ không song song.

+ Đường thẳng $d$ và đường thẳng $2x - y = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( {2; - 1} \right)$ không cùng phương nên đường thẳng $d$ và đường thẳng $2x - y = 0$ không song song.

+ Đường thẳng $d$ và đường thẳng $- x + 2y + 1 = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;2} \right)$ cùng phương nên đường thẳng $d$ và đường thẳng $- x + 2y + 1 = 0$ song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm $M\left( {3;1} \right)$ thuộc đường thẳng $d$ và cũng thuộc đường thẳng $- x + 2y + 1 = 0$ nên hai đường thẳng trùng nhau.

+ Đường thẳng $d$ và đường thẳng $- 2x + 4y - 1 = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {1; - 2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 2;4} \right)$ cùng phương nên đường thẳng $d$ và đường thẳng $- 2x + 4y - 1 = 0$ song song hoặc trùng nhau. Mặt khác, điểm $M\left( {3;1} \right)$ thuộc đường thẳng $d$ và nhưng không thuộc đường thẳng $- 2x + 4y - 1 = 0$ nên hai đường thẳng song song.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương án A, B đúng.

Phương án C sai. Sửa lại: Nếu $\vec a$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ thì $k\vec a\,\,\,\left( {k \ne 0} \right)$ cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có ${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$.

Do đó $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình tham số của đường thẳng $AB$ đi qua điểm $A\left( {3; - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {AB} \left( { - 9;3} \right) = - 3\left( {3; - 1} \right)$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 3t\\y = - 1 - t\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $\Delta :x + y - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1;1} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương $\left( {1; - 1} \right)$. Lấy điểm $\left( {0;1} \right)$ thuộc $\Delta$, khi đó phương trình tham số của $\Delta$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\x = 1 - t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {t;1 - t} \right)\,\,\left( {t < - 3} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MN} \left( { - 3 - t;t + 3} \right) \Rightarrow MN = \sqrt 2 \left| {t + 3} \right|$

Mà $MN = \sqrt 2$ nên $\sqrt 2 \left| {t + 3} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {t + 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 3 = 1\\t + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 4\end{array} \right.$.

Do đó $t = - 4$ thỏa mãn vậy $M\left( { - 4;5} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$${\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \left| {{\rm{cos}}\left( {{d_1};{d_2}} \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.6 + 3.9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {3^2}} .\sqrt {{6^2} + {9^2}} }} = 1$$

Vậy góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ bằng $0^\circ$ hay hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ song song hoặc trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khoảng cách từ điểm $O\left( {0;\,\,0} \right)$ tới đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ là: $d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a.0 + b.0 + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| c \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Nếu hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ song song thì ${\vec a_1}$ cùng phương với ${\vec a_2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay điểm A(2; 4) vào phương trình tham số ta có: $\left\{ \begin{array}{l}2 = 2t + 1\\4 = 3t + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{1}{2}\\t = \frac{2}{3}\end{array} \right.$(vô lí).

Vậy A(2; 4) không thuộc đường thẳng d.

Tương tự điểm C(10; 1) và điểm D(3; ‒10) không thuộc đường thẳng d.

Thay điểm B(3; 5) vào phương trình tham số ta có: $\left\{ \begin{array}{l}3 = 2t + 1\\5 = 3t + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 1$.

Vậy B(3; 5) thuộc đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec n_1} = \left( {2;2\sqrt 3 } \right),\,\,{\vec n_2} = \left( {0;1} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra (∆1, ∆2) = 30°.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kẻ $AH \bot d$ (tại $H$)

Ta có: $AM \ge AH$ (quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc)

Do đỏ để $AM$ ngắn nhất thì $M$ trùng $H$.

Đường thẳng $d:2x + 5y - 10 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\left( {2;5} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left( {5; - 2} \right)$.

Khi đó phương trình đường thẳng $AH$ nhận $\left( {5; - 2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua $A\left( {3; - 1} \right)$ có phương trình là:

$5\left( {x - 3} \right) - 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 5x - 2y - 17 = 0$.

Tọa độ của điểm $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 5y - 10 = 0\\5x - 2y - 17 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{105}}{{29}}\\y = \frac{{16}}{{29}}\end{array} \right. \Rightarrow H\left( {\frac{{105}}{{29}};\frac{{16}}{{29}}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình đường tròn là:

$\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$.

Vậy tâm đường tròn là: $I\left( { - 2; - 3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình ${x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

${a^2} + {b^2} > c$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {3;1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {IA} \left( {1;3} \right)$

Khi đó phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( {4;4} \right)$ là:

$x - 4 + 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 16 = 0$.

Ta có $M\left( {1;5} \right)$ là điểm thỏa mãn phương trình trên.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình chính tắc của Elip là: $\frac{{{x^2}}}{{49}} + \frac{{{y^2}}}{{36}} = 1$ với $a = 7,b = 6$ thỏa mãn $a > b > 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có $3x + 5 = 0 \Leftrightarrow x + \frac{5}{3} = 0 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow p = \frac{{10}}{3}$

Vì vậy phương trình chính tắc của Parabol $\left( P \right)$ là ${y^2} = \frac{{20}}{3}x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của (H) có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$, với $\left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 16\\{b^2} = 9\end{array} \right.$

Ta có ${c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 + 9 = 25$.

Suy ra $c = 5$.

Khi đó hai tiêu điểm của $\left( H \right)$ là $\overrightarrow {{F_1}} \left( { - 5;0} \right),\overrightarrow {{F_2}} \left( {5;0} \right)$.

Ta có $\Delta :x + y = 3 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0$.

Ta có $d\left( {{F_1},\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 4\sqrt 2$ và $d\left( {{F_2},\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + 0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \sqrt 2$.

Khi đó tích các khoảng cách từ hai tiêu điểm của $\left( H \right)$ đến $\Delta$ là: $4\sqrt 2 .\sqrt 2 = 8$.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Biến cố chắc chắn là $\Omega$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố: “Số được chọn là số chia hết cho $5$” là:

$\left\{ {10;\,\,15;\,\,20;\,\,25;\,\,30;\,\,35} \right\}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Hàm số $y = x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và $a = 1 > 0$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

+) Hàm số $y = - \sqrt {x + 1}$ có tập xác định là $\left[ { - 1; + \infty } \right)$.

+) Hàm số $y = - 3{x^2} + 2x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và $- \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.\left( { - 3} \right)}} = \frac{1}{3}$ nên hàm số nghịch biến trên $\left( {\frac{1}{3}; + \infty } \right)$.

+) Hàm số $y = - \frac{1}{2}x$ có tập xác định là $\mathbb{R}$ và $a = - \frac{1}{2} < 0$ nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp $4$ hành khách lên $4$ toa tàu.

Vì chọn mỗi hành khách có $4$ cách chọn toa nên ta có ${4^4}$ cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = {4^4}$.

Gọi biến cố A: “$1$ toa có $3$ người, $1$ toa có $1$ người và $2$ toa còn lại không có ai”.

Để tìm số phần tử của biến cố A, ta chia thành hai giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Chọn $3$ hành khách trong số $4$ hành khách và chọn $1$ toa trong số $4$ toa.

Sau đó xếp lên toa đó $3$ hành khách vừa chọn.

Khi đó ta có $C_4^3.C_4^1$ cách.

Giai đoạn 2: Chọn $1$ toa trong số $3$ toa còn lại và xếp $1$ hành khách còn lại lên toa đó.

Suy ra có $C_3^1$ cách. Hiển nhiên khi đó $2$ toa còn lại sẽ không có hành khách nào.

Theo quy tắc nhân, ta có $n\left( A \right) = C_4^3.C_4^1.C_3^1$.

Vậy xác suất của biến cố A là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^3.C_4^1.C_3^1}}{{{4^4}}} = \frac{3}{{16}}$.

Ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x + 2y - 2 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} = 4$

Khi đó tâm của đường tròn $\left( C \right)$ là $I\left( {1; - 1} \right)$ và $R = 2$.

Vì đường thẳng $\left( \Delta \right)$ song song với $\left( d \right):4x - 3y + 3 = 0$ nên $\left( \Delta \right)$ có dạng $4x - 3y + c = 0\left( {c \ne 3} \right)$.

Ta có đường thẳng $\left( \Delta \right)$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ nên:

$d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {4.1 - 3.\left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\left| {c + 7} \right|}}{5} = 2$

$\Leftrightarrow \left| {c + 7} \right| = 10$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c + 7 = 10\\c + 7 = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 3\\c = - 17\end{array} \right.$

Vậy tiếp tuyến là $4x - 3y - 17 = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x - y - 2 = 0}\\{x + 2y - 5 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 1\end{array} \right.$ suy ra $A\left( {3;1} \right)$

Gọi $B\left( {b;\,b - 2} \right)$ và $C\left( {5 - 2c;\;c} \right)$, $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên $b,\;c$ là nghiệm của hệ $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{5 - 2c + b + 3 = 9}\\{c + b - 2 + 1 = 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = 5}\\{c = 2}\end{array}} \right.$.

Vậy $B(5;3);\,C(1;2)$$\Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( { - 4; - 1} \right)$

Phương trình đường thẳng $BC$ đi qua $B\left( {1;2} \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {1; - 4} \right)$ có dạng $BC:1\left( {x - 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow BC:x - 4y + 7 = 0$.

Vậy ta có $m = - 4;n = 7 \Rightarrow m + n = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động không biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình $A_n^3 = 12n$ (n ≥ 3)

$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 3} \right)!}} = 12n$

$\Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 12n$

$\Leftrightarrow {n^2} - 3n - 10 = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\\n = - 2\end{array} \right.$

Do đó chỉ có $n = 5$ thỏa mãn điều kiện.

Khi đó ${\left( {2{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5} = {\left( {2{x^2}} \right)^5} + 5.{\left( {2{x^2}} \right)^4}.\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right) + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^3}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^2} + 10.{\left( {2{x^2}} \right)^2}.{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^3}$

$+ 5.\left( {2{x^2}} \right).{\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^4} + {\left( {\frac{1}{{{x^3}}}} \right)^5}$

$= 32{x^{10}} + 80{x^5} + 80 + \frac{{40}}{{{x^5}}} + \frac{{10}}{{{x^{10}}}} + \frac{1}{{{x^{15}}}}$.

Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $80{x^5}$.

Hướng dẫn giải

Ta có sơ đồ sau:

Ở ghế 1: có $8$ cách chọn học sinh ngồi vào ghế

Ở ghế 5: có $4$ cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).

Ở ghế 2: có $6$ cách chọn học sinh ngồi vào ghế

Ở ghế 6: có $3$ cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).

Ở ghế 3: có $4$ cách chọn học sinh ngồi vào ghế

Ở ghế 7: có $2$ cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).

Ở ghế 4: có $2$ cách chọn học sinh ngồi vào ghế

Ở ghế 8: có $1$ cách chọn học sinh ngồi vào ghế (khác trường với học sinh ghế 1).

Vậy có: $8.4.6.3.4.2.2.1 = 9\,\,216$ cách xếp sao cho bất cứ hai học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau khác trường với nhau.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\widehat {BCM} = \widehat {BAM}$ $\left( 1 \right)$

$\widehat {BAM} = \widehat {MAT} = \widehat {DAC}$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right)$ suy ra $\widehat {DAC} = \widehat {BCM}$, mà $\widehat {BCM} = \widehat {CDA} + \widehat {AMC},\,\,\widehat {DAC} = \widehat {ACM} + \widehat {AMC}$ từ đó suy ra $\widehat {CDA} = \widehat {ACM}$, do đó$MC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACD$ có tâm $J$ nên $JC \bot MC$. Hay $C$ là hình chiếu của $J$ lên đường thẳng $CM$.

Đường thẳng qua $J$ và vuông góc với $CM$ có phương trình:

$\left( {x + 2} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y + 4 = 0$

Tọa độ điểm $C$ là nghiệm của hệ: $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\x - y = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow C\left( { - 1;\,\,3} \right)$.

$AC$ là đường thẳng qua $C$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {IJ} \left( { - 4;\,\,0} \right)$ nên có phương trình: $- 4\left( {x + 1} \right) + 0\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0$.

Do đó tọa độ điểm $A$ có dạng $A\left( { - 1;\,\,a} \right)$. Ta có

$I{A^2} = I{C^2} \Leftrightarrow 9 + {\left( {a - 2} \right)^2} = 9 + 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a = 3\end{array} \right.$.

Vì $A \ne C$ nên $A\left( { - 1;\,\,1} \right)$.

Tọa độ điểm $M$ có dạng $M\left( {m;\,\,2 - m} \right)$. Ta có

$I{M^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {m - 2} \right)^2} + {m^2} = 10 \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = 3\end{array} \right.$.

Vì $M \ne C$ nên $M\left( {3;\,\, - 1} \right)$.

$BC$ là đường thẳng qua $C$ và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {MI} \left( { - 1;\,\,3} \right)$ nên có phương trình:

$- \left( {x + 1} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 10 = 0$.

Tọa độ điểm $B$ có dạng $B\left( {3b - 10;\,\,b} \right)$. Ta có

$I{B^2} = I{C^2} \Leftrightarrow {\left( {3b - 12} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 10 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 3\\b = \frac{{23}}{5}\end{array} \right.$.

Vì $B \ne C$ nên $B\left( {\frac{{19}}{5};\,\,\frac{{23}}{5}} \right)$.

Vậy tổng hoành độ của các đỉnh $A,\,\,B,\,\,C$ là $- 1 - 1 + \frac{{19}}{5} = \frac{9}{5}$.