Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 05

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để đa thức $\left( {m + 1} \right){x^2} + 2x + m$ là tam thức bậc hai khi $m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàm số $f\left( x \right) = 2{x^2} - 2x + 1$ là tam thức bậc hai có $\Delta = {\left( { - 2} \right)^2} - 4.2.1 = - 4 < 0$ nên $f(x)$ vô nghiệm và $a = 2 > 0$ do đó có bảng xét dấu:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\rm{\Delta '}} = {b^2} - 4ac = {10^2} - 4.25 = 0$ mà $a > 0$ nên $25{x^2} + 10x + 1 \ge 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $AB$ ngắn hơn $AC$ là $2\,\,cm$ nên $AC = x + 2\,\,\left( {cm} \right)$.

Ta lại có $BC$ lớn hơn $AC$ là $3\,cm$ nên $BC = x + 5\,\,\left( {cm} \right)$

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

${x^2} + {\left( {x + 2} \right)^2} = {\left( {x + 5} \right)^2}$

$\Rightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} = \left| {x + 5} \right|$

$\Rightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( {x + 2} \right)}^2}} = x + 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 1 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{6} \ne \frac{1}{{ - 10}} \Rightarrow {d_1}\,\parallel \,{d_2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khi hai đường thẳng có từ hai điểm chung thì chúng trùng nhau. Như vậy bài toán trở thành tìm đường thẳng trùng với đường thẳng đã biết. Ta có:

$d:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\vec u}_d} = \left( {1;\,0} \right)\\A\left( {0;\, - 1} \right) \in d\end{array} \right.$.

Vậy $d'$ là đường thẳng đi qua $A\left( {0; - 1} \right)$ và có vectơ chỉ phương cùng phương với ${\vec u_d} = \left( {1;\,0} \right)$. Suy ra chọn D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}:mx + y - 19 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_{{\Delta _1}}} = \left( {m;\,1} \right)\\{\Delta _2}:\left( {m - 1} \right)x + \left( {m + 1} \right)y - 20 = 0 \Rightarrow {{\vec n}_{{\Delta _2}}} = \left( {m - 1;\,m + 1} \right)\end{array} \right.$

Để ${\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Rightarrow m\left( {m - 1} \right) + 1\left( {m + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow m \in \emptyset$.

Vậy nên không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn điều kiện.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1; - 3} \right)$ nên vectơ chỉ phương là $\left( {3;1} \right)$.

Vì $d \bot d'$ nên $d'$ nhận $\left( {3;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $A\left( {0;2} \right)$ có phương trình là:

$3\left( {x - 0} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)$ nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {B; - A} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + Bt\\y = {y_0} - At\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tọa độ điểm $C$ là giao điểm của $AC$ và $BC$ nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 2 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 9\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;9} \right)$.

Tọa độ điểm $B$ là giao điểm của $AB$ và $BC$ nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 1} \right)$.

Gọi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc đường phân giác tại đỉnh $A$, khi đó ta có:

$d\left( {M;AB} \right) = d\left( {M;AC} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {7x - y + 2} \right|}}{{5\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\left( {x + y - 1} \right) = 7x - y + 2\\5\left( {x + y - 1} \right) = - 7x + y - 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 6y + 7 = 0\\12x + 4y - 3 = 0\end{array} \right.$

+) Xét $f\left( {x;y} \right) = 2x - 6y + 7$

Tại $B\left( {2; - 1} \right)$ có $f\left( {2; - 1} \right) = 2.2 - 6.\left( { - 1} \right) + 7 = 17 > 0$

Tại $C\left( {1;9} \right)$ có $f\left( {1;9} \right) = 2.1 - 6.9 + 7 = - 45 < 0$.

Do đó $B$ và $C$ khác phía với đường thẳng $2x - 6y + 7 = 0$.

+) Xét $f\left( {x;y} \right) = 12x + 4y - 3$

Tại $B\left( {2; - 1} \right)$ có $f\left( {2; - 1} \right) = 12.2 + 4.\left( { - 1} \right) - 3 = 17 > 0$

Tại $C\left( {1;9} \right)$ có $f\left( {1;9} \right) = 12.1 + 4.9 - 3 = 45 > 0$.

Do đó $B$ và $C$ khác phía với đường thẳng $12x + 4y - 3 = 0$.

Vậy phương trình đường phân giác trong tại đỉnh $A$ là $2x - 6y + 7 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nếu $\overrightarrow u$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$. Vậy nên có vô số vectơ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 2; - 2} \right)$ nên tiếp tuyến tại $M$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \overrightarrow {IM} = \left( {4;\,3} \right)$ nên có phương trình $4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 11 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét ${x^2} + {y^2} - 2x + 3y - 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{33}}{4}$

$\Rightarrow R = \frac{{\sqrt {33} }}{2}$.

Vậy $R \in \left( {1;3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${x^2} + {y^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4y - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \left( {m + 1} \right)\\b = - 2\\c = - 1\end{array} \right.$

Để $\left( * \right)$ là phương trình đường tròn thì ${a^2} + {b^2} - c = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0$

(luôn đúng với mọi $m$).

$\Rightarrow {R^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5$.

Vì ${\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}$ nên ${\left( {m + 1} \right)^2} + 5 \ge 5\,\,\forall m \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow {R_{\min }} = 5 \Leftrightarrow m = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {0;\,0} \right)$, bán kính $R = 2$

$\Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {y^2} = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\end{array} \right.$

Nên độ dài trục ảo là: $2.3 = 6$ và độ dài trục thực là: $2.6 = 12$.

Khi đó, tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực là $\frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của $\left( P \right)$ có dạng: ${y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)$

Vì $\left( P \right)$ có đường chuẩn $\Delta :x + 4 = 0$ nên $\frac{p}{2} = 4 \Leftrightarrow \;p = 8$.

Do đó phương trình chính tắc của $\left( P \right)$ là ${y^2} = 16x$.

Gọi $M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( P \right)$, ta có:

$$d\left( {M;\,\Delta } \right) = MF = 5$$

$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 5$$

$$\Leftrightarrow \left| {{x_0} + 4} \right| = 5$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 4 = 5\\{x_0} + 4 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 9\end{array} \right.$$

+) Với ${x_0} = 1$ có ${y_0}^2 = 16.1 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{y_0} = - 4}\\{{y_0} = 4}\end{array}} \right.$

+) Với ${x_0} = - 9$ có ${y_0}^2 = 16.\left( {--9} \right) = --144$(vô lí).

Vậy $M\left( {1;\,4} \right)$ hoặc $M\left( {1;\, - 4} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 36\\{b^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\end{array} \right.$

Vậy độ dài trục lớn ${A_1}{A_2} = 2.6 = 12$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp:

+) Chọn một học sinh nữ trong số $23$ học sinh nữ nên có $23$ cách chọn

+) Chọn một học sinh nam trong số $17$ học sinh nam nên có $17$ cách chọn

Theo quy tắc nhân, có $23.17 = 391$ cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Việc chọn ba viên bi khác màu phải tiến hành ba hành động liên tiếp:

+) Chọn một bi đỏ trong $7$ bi đỏ nên có $7$ cách chọn.

+) Chọn một bi xanh trong $8$ bi xanh nên có $8$ cách chọn.

+) Chọn một bi vàng trong $5$ bi vàng nên có $5$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân ta có: $7.8.5 = 280$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do hai viên bi cùng màu không được ớ cạnh nhau nên ta có trường hợp sau:

+) Phương án 1: Các bi đỏ ở vị trí lẻ.

Có $8$ cách chọn bi đỏ ở vị trí số $1$.

Có $7$ cách chọn bi đỏ ở vị trí số $3$.

….

Có $1$ cách chọn bi đỏ ở vị trí số $15$.

Suy ra có $8.7.6...3.2.1\;$cách xếp $8$ bi đỏ. Tương tự có $8.7.6...3.2.1\;$ cách xếp $8$ bi đen.

Vậy có ${\left( {8.7.6...3.2.1\;} \right)^2}$ cách xếp.

+) Phương án 2: Các bi đỏ ở vị trí chẵn ta cũng có cách xếp tương tự.

Vậy theo quy tắc cộng ta có ${\left( {8!} \right)^2} + {\left( {8!} \right)^2} = 3251404800$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số cách chọn $10$ bông trong đó có đúng $3$ bông đỏ là: $C_8^3.C_{11}^7 = 18\,\,480$.

Vậy bạn Lan có thể làm được $18\,\,480$ bó hoa như vậy.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tổ hợp chập $k$ của $n$ có tính chất: $C_n^k = C_n^{n - k}$. Vậy nên chọn C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có $4$ bì thư khác nhau, chọn $2$ bì thư có $C_4^2$ cách chọn.

Có $6$ con tem khác nhau, chọn $2$ con tem thì có $C_6^2$ cách chọn.

Dán $2$ con tem lên $2$ bì thư có $2!$ cách dán khác nhau.

Theo quy tắc nhân ta có $2!C_4^2.C_6^2$ cách dán $2$ con tem lên $2$ bì thư.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

$${\left( {3x + xy} \right)^4}$$

$$= C_4^0.{\left( {3x} \right)^4}.{\left( {xy} \right)^0} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.{\left( {xy} \right)^1} + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( {xy} \right)^2} + C_4^3.{\left( {3x} \right)^1}.{\left( {xy} \right)^3} + C_4^4.{\left( {3x} \right)^0}.{\left( {xy} \right)^4}$$

Khai triển ${\left( {3x + xy} \right)^4}$ có tất cả $5$ số hạng nên số hạng đứng giữa là số hạng thứ $3$: $C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( {xy} \right)^2} = C_4^2.9{x^4}.{y^2}$.

Vậy số hạng đứng giữa cần tìm là $C_4^2.9{x^4}.{y^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Khai triển nhị thức Newton ta được:

$${\left( {3a + 2} \right)^4} = C_4^0{\left( {3a} \right)^4}.1 + C_4^1{\left( {3a} \right)^3}.2 + C_4^2{\left( {3a} \right)^2}{2^2} + C_4^3.\left( {3a} \right){.2^3} + C_4^4{.2^4}$$

$= 81{a^4} + 216{a^3} + 216{a^2} + 96a + 16$.

Vậy ba số hạng đầu của khai triển là $81{a^4} + 216{a^3} + 216{a^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Từ phương trình:

$$A_n^2 - C_n^2 = 105$$

$$\Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105$$

$$\Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} - \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 105$$

$$\Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105$$

$$\Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) = 105$$

$$\Leftrightarrow {n^2} - n - 210 = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 14\\n = 15\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.$$

Thay $n = 15$ vào khai triển có:

$${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^{\frac{{15 - 7}}{2}}} = {\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^3}.\frac{1}{x} + C_4^2.{x^2}.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + C_4^3.x.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + C_4^4.{\left( {\frac{1}{x}} \right)^4}$$

${\left( {x - \frac{1}{x}} \right)^4} = C_4^0.{x^4} + C_4^1.{x^2} + C_4^2 + C_4^3.\frac{1}{{{x^2}}} + C_4^4.\frac{1}{{{x^4}}}$.

Vậy số hạng không chứa biến $x$ trong khai triển là $C_4^2$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khai triển nhị thức ta được:

${\left( {x - 2} \right)^5}$$= C_5^0.{x^5}.{\left( { - 2} \right)^0} + C_5^1.{x^4}.{\left( { - 2} \right)^1} + C_5^2.{x^3}.{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{x^1}.{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{x^0}.{\left( { - 2} \right)^5}$

Hệ số hạng thứ $3$ trong khai triển là $C_5^2.{\left( { - 2} \right)^2} = C_5^2{.2^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số tập con có hai phần tử của tập $A$ là: $C_{10}^2$.

Do đó $n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45$.

Số các tập con của tập $A$ có hai phần tử và luôn có phần tử $9$ có: $1.C_9^1 = 9$.

Gọi M là biến cố tập con có hai phần tử luôn có phần tử 9.

$\Rightarrow n\left( M \right) = 9$

$\Rightarrow \frac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{45}} = \frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo nguyên lí xác suất bé, ta có:

Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số cần tìm là $\overline {abc} \,\,\left( {a \ne 0} \right)$

Để số đó chia hết cho $6$ thì số đó vừa chia hết cho $2$ và $3$.

Do đó số cần tìm là số chẵn nên $c \in \left\{ {0;2;4} \right\}$.

+) TH1 $c = 0$:

Ta có các bộ số có tổng chia hết cho $3$ là:

$\left( {0;\,\,1;\,\,2} \right),\,\left( {0;\,\,1;\,\,5} \right),\,\,\left( {0;\,\,2;\,\,4} \right),\,\,\left( {0;\,\,4;\,\,5} \right)$.

Do đó có $1 + 1 + 1 + 1 = 4$ số.

+) TH2 $c = 2$:

Ta có các bộ số có tổng chia hết cho $3$ là:

$\left( {0;\,\,1;\,\,2} \right),\,\,\left( {0;\,\,2;\,\,4} \right),\,\,\left( {1;\,\,2;\,\,3} \right),\,\left( {2;3;4} \right)$.

Do đó có $1 + 1 + 2! + 2! = 6$ số.

+) TH3 $c = 4$:

Ta có các bộ số có tổng chia hết cho $3$ là:

$\,\left( {0;\,\,2;\,\,4} \right),\,\,\left( {0;5;4} \right),\,\,\left( {2;3;4} \right),\left( {3;4;5} \right)$.

Do đó có $1 + 1 + 2! + 2! = 6$ số.

Vậy $4 + 6 + 6 = 16$ số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số cách xếp khác nhau cho $4$ người ngồi vào $6$ chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập $4$ của $6$ phần tử.

Suy ra $n\left( \Omega \right) = A_6^4 = 360$ cách.

Gọi $A$ là biến cố để bạn An luôn ngồi cạnh bạn Nhi.

Vì An luôn ngồi cạnh bạn Nhi nên coi hai bạn này là một phần tử, trong phần tử này có $2!$ cách xếp. Khi đó ta cần xếp $3$ người vào $5$ chỗ có $A_5^3 = 60$ cách.

$\Rightarrow n\left( A \right) = 2!.60 = 120$.

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{120}}{{360}} = \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biến cố đối của $A$ là biến cố $A$ không xảy ra.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Lấy $1$ quả bóng trong $10$ quả bóng có $10$ cách chọn. Do đó $n\left( \Omega \right) = 10$.

Gọi $A$ là quả bóng lấy ra màu đen nên $n\left( A \right) = 5$.

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{5}{{10}} = \frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải

$$C_{n + 1}^n + 3C_{n + 2}^2 = C_{n + 1}^3\,\left( {n \in N,\,n \ge 2} \right)$$

$$\Leftrightarrow \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{1!n!}} + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{2!.n!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{3!.\left( {n - 2} \right)!}}$$

$$\Leftrightarrow n + 1 + 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)}}{6}$$

$$\Leftrightarrow 1 + 3.\frac{{\left( {n + 2} \right)}}{2} = \frac{{\left( {n - 1} \right).n}}{6}$$

$$\Leftrightarrow 6 + 9n + 18 = {n^2} - n$$

$$\Leftrightarrow {n^2} - 10n - 24 = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\\n = 12\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.$$

Vậy $n = 12$ là giá trị cần tìm.

Hướng dẫn giải

Gọi $I\left( { - 2t + 3;\,t} \right) \in d$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$.

Theo giả thiết, ta có:

$$d\left( {I,\,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2t + 3 + 3t - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = - 2\end{array} \right.$$

+) Với $t = 6 \Rightarrow I\left( { - 9;\,6} \right)$, mà $R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}$ nên phương trình đường tròn là $\left( C \right):{\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = \frac{8}{5}$.

+) Với $t = - 2 \Rightarrow I\left( {7;\, - 2} \right)$, mà $R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}$ nên phương trình đường tròn là $\left( C \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{8}{5}$.

Hướng dẫn giải

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là $\overline {abc} \,\left( {a \ne 0} \right)$.

Chọn $a$ có $6$ cách chọn (vì $a$ chọn tuý ý một trong các số từ $1$ đến $6$).

Chọn $b$ có $5$ cách chọn (vì $b \ne a$ nên $b$ có thể chọn một trong các số từ $1$ đến $6$ nhưng không được chọn số mà $a$ đã chọn).

Chọn $c$ có $4$ cách chọn (vì $c \ne a,\,c \ne b$ nên $c$ có thể chọn một trong các số từ $1$ đến $6$ nhưng không được chọn số mà $a,\,b$ đã chọn).

Áp dụng quy tắc nhân, ta có $6.5.4 = 120$ số có ba chữ số khác nhau được lập từ các số $1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6$.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = 120$.

Gọi $A$ là biến cố: “chọn được số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho số đó nhỏ hơn $323$”.

TH1: $a = 3$, khi đó:

Nếu $b < 2$ thì $b \in \left\{ {0;1} \right\}$ hay $b$ có $2$ cách; $c$ có $5$ cách.

Do đó có: $1.2.5 = 10$ số.

Nếu $b = 2$ thì $b$ có $1$ cách; $c$ phải nhỏ hơn $3$ và khác $b$ nên $c \in \left\{ {0;1} \right\}$ hay $c$ có $2$ cách.

Do đó có: $1.1.2 = 2$ số.

TH2: $a < 3$ nên $a \in \left\{ {1;2} \right\}$ hay $a$ có hai cách chọn, khi đó:

$b$ có $6$ cách chọn, $c$ có $5$ cách chọn.

Do đó có $2.6.5 = 60$ số.

Vậy có $10 + 2 + 60 = 72$ số.