Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 04

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thứ tự đúng để xét dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)$ là:

4. Tính và xác định dấu của biệt thức $\Delta$;

1. Xác định nghiệm của $f\left( x \right)$ nếu có;

3. Xác định dấu của $a$;

2. Xác định dấu của $f\left( x \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

+) Với $m = 0\;$ thì $f\left( x \right) = - x - 1$ lấy cả giá trị âm và dương (ví dụ $f\left( { - 2} \right) = 1$) nên $m = 0\;$ không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

+) Với $m \ne 0$ thì $f\left( x \right) = m{x^2} - x - 1$ là tam thức bậc hai, do đó:

$f\left( x \right) < 0,\,\forall x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = m < 0\\\Delta = 1 + 4m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 0\\m < \frac{{ - 1}}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \frac{1}{4}$.

Vậy với $m < - \frac{1}{4}$ thì biểu thức $f\left( x \right)$ luôn nhận giá trị âm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam thức $- {x^2} + x + 6$ có hai nghiệm là $x = - 2$ và $x = 3$;

Tam thức $- {x^2} + 3x + 4$ có hai nghiệm $x = - 1$ và $x = 4$.

Áp dụng định lí xét dấu, ta có bảng xét dấu sau:

Vậy $f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + x + 6}}{{ - {x^2} + 3x + 4}}$ dương khi và chỉ khi $x \in \left( { - 2;\, - 1} \right) \cup \left( {3;4} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình $\sqrt {4{x^2} - 1} = 2x - 3$

Bình phương hai vế của phương trình ta được: $4{x^2} - 1 = 4{x^2} - 12x + 9$

$\Rightarrow 12x = 10$

$\Rightarrow x = \frac{5}{6}$

Thay $x = \frac{5}{6}$ vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

Vì vậy tập nghiệm của phương trình là $S = \emptyset$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khoảng cách từ điểm $A\left( {1;1} \right)$ đến đường thẳng $d:x - y + 3 = 0$ là:

$d\left( {A;d} \right) = \frac{{\left| {1 - 1 + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt 2 }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {OH} = 5\overrightarrow i - 6\overrightarrow j$ nên$H\left( {5; - 6} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ${d_1}$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_1} = \left( { - 2;\,4} \right)$, lấy $A\left( {2;\,8} \right) \in {d_1}$

Đường thẳng ${d_2}$ có vectơ chỉ phương ${\vec u_2} = \left( {1;\, - 2} \right)$

Ta có: $\frac{1}{{ - 2}} = \frac{{ - 2}}{4}$ nên $\overrightarrow {{u_1}}$ và $\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương

Ta lại có: $A \in {d_2}$

Do đó đường thẳng ${d_1}$ trùng đường thẳng ${d_2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2\overrightarrow b = \left( {8; - 6} \right)$

Khi đó $\overrightarrow a - 2\overrightarrow b = \left( {9 - 8;2 - \left( { - 6} \right)} \right) = \left( {1;8} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $d:x - 3y + 4 = 0$ có VTPT ${\vec n_d} = \left( {1;\, - 3} \right)$

+) Xét $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{d'}} = \left( {3;\, - 1} \right)$ $\Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}$ không cùng phương.

+) Xét $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 + t\end{array} \right.$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{d'}} = \left( {1;\,3} \right)$ $\Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}$ không cùng phương.

+) Xét $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{d'}} = \left( {3;\,1} \right)$ $\Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}$ không cùng phương.

+) Xét $d':\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = 2 - t\end{array} \right.$ có vectơ pháp tuyến ${\vec n_{d'}} = \left( {1;\, - 3} \right)$ $\Rightarrow {\vec n_d},\,{\vec n_{d'}}$ cùng phương. Lấy điểm $M\left( {1;2} \right) \in d'$ thay vào phương trình đường thẳng $d:x - 3y + 4 = 0$ ta thấy $1 - 3.2 + 4 = - 1 \ne 0$ nên $M\left( {1;2} \right) \in d$. Do đó hai đường thẳng này song song.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $d:\frac{1}{2}y = 7x + 3 \Leftrightarrow y = 14x + 6$.

Vì vậy hệ số góc của đường thẳng $d$ là $k = 14$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trục $Ox:\,y = 0$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow i = \left( {1;\,0} \right)$ nên một đường thẳng vuông góc với $Ox$ cũng có vectơ chỉ phương là ${\vec u_1} = \left( {0; - \,1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau thì $\frac{{2m - 1}}{3} \ne \frac{{{m^2}}}{4} \Leftrightarrow 3{m^2} - 8m + 4 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne \frac{2}{3}\end{array} \right.$.

Với điểm $\left( {1;1} \right)$, có $3.1 + 4.1 - 7 = 0$ nên điểm này thuộc đường thẳng ${d_1}$.

Do đó để ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại $\left( {1;1} \right)$ thì điểm này cũng thuộc ${d_2}$ nên ta có $\left( {2m - 1} \right).1 + {m^2}.1 - 2 = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 3\end{array} \right.$.

Vậy với $m = 1$ và $m = - 3$ thì hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại $\left( {1;1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: ${x^2} + {y^2} + 2mx + 2\left( {m - 1} \right)y + 2{m^2} = 0$ có $\left\{ \begin{array}{l}a = - m\\b = 1 - m\\c = 2{m^2}\end{array} \right.$

Để $\left( * \right)$ là phương trình đường tròn thì:

${a^2} + {b^2} - c > 0 \Rightarrow {m^2} + {\left( {1 - m} \right)^2} - 2{m^2} > 0 \Leftrightarrow - 2m + 1 > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left( C \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 16$ nên đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 1;\,3} \right)$ và $R = \sqrt {16} = 4$. Vậy nên chọn đáp án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

+) ${x^2} + {y^2} - 2x + 7y + 15 = 0$ có $a = 1,b = - \frac{7}{2},c = 15$

Khi đó ${a^2} + {b^2} - c = {1^2} + {\left( { - \frac{7}{2}} \right)^2} - 15 = - \frac{7}{4} < 0$. Do đó đây không phải là phương trình đường tròn.

+) ${x^2} + 2{y^2} - 2x + 2y - 5 = 0$ có hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ không bằng nhau do đó đây không phải là phương trình đường tròn.

+) $2{x^2} + 2{y^2} + 4x - 12y - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + 2x - 6y - \frac{1}{2} = 0$ có $a = - 1,b = 3,c = - \frac{1}{2}$. Khi đó ${a^2} + {b^2} - c = {\left( { - 1} \right)^2} + {3^2} - \left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{21}}{2} > 0$. Do đó đây là phương trình đường tròn.

+) ${x^2} - {y^2} = 1$ có hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ không bằng nhau do đó đây không phải là phương trình đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 2;\,1} \right)$ và bán kính $R = d\left( {I,\,d} \right) = \frac{{\left| { - 6 - 4 + 5} \right|}}{{\sqrt {9 + 16} }} = 1$.

$\Rightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $9{x^2} + 16{y^2} = 144 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{16}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1$.

Khi đó $a = 4;\,b = 3;\,c = \sqrt 7 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{F_1}\left( { - \sqrt 7 ;\,0} \right)\\{F_2} = \left( {\sqrt 7 ;\,0} \right)\\{F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt 7 \\M{F_1} + M{F_2} = 8\end{array} \right.$

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $M{F_1}{F_2}$ ta có:

$${F_1}{F_2}^2 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - 2M{F_1}.{\rm{ }}M{F_2}.cos\widehat {{F_1}M{F_2}}$$

$$\Leftrightarrow 28 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - 2M{F_1}.M{F_2}.cos60^\circ$$

$$\Leftrightarrow \;28 = M{F_1}^2 + M{F_2}^2 - M{F_1}.M{F_2}$$

$$\Leftrightarrow M{F_1}^2 + M{F_2}^2 + 2M{F_1}.M{F_{2\;}} - 3M{F_1}.M{F_2} = 28$$

$$\Leftrightarrow {\left( {M{F_1} + M{F_2}} \right)^{2\;}} - 3M{F_1}.M{F_2} = 28$$

$$\Leftrightarrow 64 - 3M{F_1}.M{F_2} = 28$$

$\Leftrightarrow M{F_1}.M{F_2} = 12$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $2p = \frac{{64}}{5} \Leftrightarrow p = \frac{{32}}{5} \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{{16}}{5}$

Khi đó ta có tiêu điểm $F\left( {\frac{{16}}{5};\,0} \right)$.

Với $F\left( {\frac{{16}}{5};\,0} \right)$ và $M\left( {5;\,8} \right)$, ta có $\overrightarrow {FM} = \left( {\frac{9}{5};\,8} \right) \Rightarrow FM = \sqrt {{{\left( {\frac{9}{5}} \right)}^2} + {8^2}} = \frac{{41}}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hypebol có dạng chính tắc là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ với $a,\,b > 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi $A$ là biến cố để An và Bình chung nhóm.

Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^5$.

Nếu An và Bình ở chung nhóm thứ nhất thì có: $C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5$ cách.

Nếu An và Bình ở chung nhóm thứ hai thì có: $C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5$ cách.

Nếu An và Bình ở chung nhóm thứ ba thì có: $C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5$ cách.

$\Rightarrow n\left( A \right) = 3.C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5$

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{3.C_{13}^3.C_{10}^5.C_5^5}}{{C_{15}^5.C_{10}^5.C_5^5}} = \frac{2}{7}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xếp bạn Chi ngồi giữa có $1$ cách.

Số cách xếp bốn bạn An, Bình, Dũng, Lệ vào $4$ chỗ còn lại là một hoán vị của $4$ phần tử nên có: $4! = 24$ cách.

Vậy có: $1.24 = 24$ cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Muốn lấy được hai viên bi khác màu từ trong túi đã cho xảy ra các trường hợp sau:

+) Lấy một bi đỏ và một bi xanh: có $7$ cách để lấy một bi đỏ và $8$ cách để lấy một bi xanh. Do đó có $7.8 = 56$ cách lấy.

+) Lấy một bi đỏ và một bi vàng: có $7$ cách lấy một bi đỏ và $5$ cách lấy một bi vàng. Do đó co $7.5 = 35$ cách lấy.

+) Lấy một bi xanh và một bi vàng: có $8$ cách để lấy một bi xanh và $5$ cách để lấy một bi vàng. Do đó có $8.5 = 40$ cách để lấy.

Áp dụng quy tắc cộng cho 3 trường hợp trên, ta có $56 + 35 + 40 = 131$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Lấy $2$ phần tử trong $20$ phần tử có $C_{20}^2$ cách.

Vậy tập hợp $A$ có $C_{20}^2$ tập con có $2$ phần tử.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì hai học sinh ngồi đối diện nhau thì khác lớp nên mỗi cặp ghế đối diện nhau sẽ được xếp bởi một học sinh lớp A và một học sinh lớp B.

Số cách xếp $5$ học sinh lớp A vào $5$ cặp ghế là $5!$ cách. Số cách xếp $5$ học sinh lớp B vào $5$ cặp ghế là $5!$ cách. Số cách xếp chỗ ở mỗi cặp ghế là 2 cách.

Theo quy tắc nhân thì có ${\left( {5!} \right)^2}{.2^5} = 460\,\,800$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Chọn một học sinh nữ có $23$ cách;

Chọn một học sinh nam có $17$ cách.

Theo quy tắc cộng có: $23 + 17 = 40$ cách chọn một học sinh tham gia cuộc thi môi trường.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Một chỉnh hợp chập $k$ của $n$ là một cách sắp xếp có thứ tự $k$ phần tử từ một tập hợp $n$ phần tử (với $k,\,n$ là các số tự nhiên, $1 \le k \le n$).

Số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$, kí hiệu là $A_n^k$, được tính bằng công thức: $A_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {n - k} \right)!}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$$T = C_4^0 - \frac{1}{2}C_4^1 + \frac{1}{4}C_4^2 - \frac{1}{8}C_4^3 + \frac{1}{{16}}C_4^4$$

$$= C_4^0{.1^4}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^0} + C_4^1{.1^3}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^1} + C_4^2{.1^2}.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^2} + C_4^3.1.{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^3} + C_4^4{\left( { - \frac{1}{2}} \right)^4}$$

$= {\left( {1 - \frac{1}{2}} \right)^4} = \frac{1}{{16}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khai triển nhị thức ta được: ${\left( {x + 1} \right)^5} = {x^5} + 5{x^4} + 10{x^3} + 10{x^2} + 5x + 1$.

Hệ số của ${x^2}$ là $10$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tổng số mũ của $a$ và $b$ trong mỗi hạng tử khi khai triển ${\left( {a + b} \right)^3}$ bằng $3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Từ phương trình:

$$3C_{n + 1}^2 + n{P_2} = 4A_n^2$$

$$\Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{2\left( {n - 1} \right)!}} + 2n = 4.\frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}$$

$$\Leftrightarrow 3.\frac{{\left( {n + 1} \right).n.\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} + 4n = 8.\frac{{n.\left( {n - 1} \right).\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}}$$

$$\Leftrightarrow 3n.\left( {n + 1} \right) + 4n = 8n.\left( {n - 1} \right)$$

$$\Leftrightarrow 5{n^2} - 15n = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 3\left( {tmdk} \right)\end{array} \right.$$

Với $n = 3$, ta có:

$${\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^{n + 1}} = {\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^4}$$

$$= {\left( {\frac{1}{x}} \right)^4} + 4x{\left( {\frac{1}{x}} \right)^3} + 6{x^2}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^2} + 4{x^3}\left( {\frac{1}{x}} \right) + {x^4}$$

$= \frac{1}{{{x^4}}} + 4.\frac{1}{{{x^2}}} + 6 + 4{x^2} + {x^4}$.

Vậy số hạng chứa ${x^2}$ là: $4{x^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Sơ đồ cây mô tả các phần tử của không gian mẫu là:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Biến cố đối của biến cố $A$ là $\overline A :$”Số được chọn lớn hơn hoặc bằng $432$”.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi số có bốn chữ số cần tìm là: $\overline {abcd}$ (trong đó $a \ne 0$ và $a,b,c,d \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4} \right\}$).

Ta có:

$a$ có $4$ cách chọn;

$b$ có $4$ cách chọn;

$c$ có $4$ cách chọn;

$d$ có $4$ cách chọn;

Áp dụng quy tắc nhân ta được: $4.4.4.4 = {4^4}$ số.

Vậy $n\left( \Omega \right) = 4$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của biến cố là: $n\left( \Omega \right) = 6.6 = 36$.

Gọi $A$: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc không lớn hơn 4”.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ là: $A = \left\{ {\left( {1;1} \right);\,\,\left( {1;2} \right);\,\left( {2;1} \right);\,\,\,\left( {1;3} \right);\,\,\left( {3;1} \right);\,\,\left( {2;2} \right)} \right\}$.

$\Rightarrow n\left( A \right) = 6$

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{6}{{36}} = \frac{1}{6}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: $n\left( \Omega \right) = C_7^2 = 21$.

Gọi $A$ là biến cố “hai bạn được chọn có một bạn là nam và một bạn là nữ”.

Khi đó $n\left( A \right) = C_4^1.C_3^1 = 12$.

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{12}}{{21}} = \frac{4}{7}$.

Hướng dẫn giải

Vì chọn $10$ tấm thẻ trong $30$ tấm thẻ nên số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = \;C_{30}^{10} = 30045015$.

Gọi $A$ là biến cố lấy được $5$ tấm thẻ mang số lẻ và $5$ tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho $10$.

Công đoạn 1, vì có $15$ tấm thẻ đánh số lẻ và chỉ lấy ra $5$ tấm thẻ nên có: $C_{15}^5\; = 3\,\,003$ (cách).

Công đoạn 2, lấy $5$ tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho $10$, trong đó có $3$ tấm thẻ đánh số chia hết cho $10$ và lấy ra một tấm thẻ, có $12$ tấm thẻ còn lại đánh số chẵn và lấy ra $4$ tấm thẻ nên ta có: $C_3^1.C\;_{12}^4 = 1485$ (cách).

Số phần tử của biến cố $A$ là: $3\,\,003.1\,\,485 = 4\,\,459\,\,455$ (cách).

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \;\frac{{4459455}}{{30045015}} = \frac{{99}}{{667}}$.

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tiếp tuyến $\left( \Delta \right)$ song song với đường thẳng $y = 2x - 1$ là $y - 2x + c = 0$.

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1;\,0} \right)$ và bán kính $R = 3$.

Theo giả thiết, ta có: $d\left( {I;\,\Delta } \right) = \frac{{\left| {n - 2} \right|}}{{\sqrt 5 }} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 2 - 3\sqrt 5 \\c = 2 + 3\sqrt 5 \end{array} \right.$

Vậy phương trình tiếp tuyến $\left( \Delta \right)$ là $y - 2x + 2 - 3\sqrt 5 = 0$ hoặc $y - 2x + 2 + 3\sqrt 5 = 0$.

b) Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ nên $M \in \Delta '$.

Đặt: $M\left( {3t; - 2t} \right)$.

$\Rightarrow B\left( {6t - 4; - 4t + 1} \right)$

Mặt khác $B \in \Delta$ nên ta có: $2\left( {6t - 1} \right) - 3\left( { - 4t + 4} \right) = 0$

$\Leftrightarrow 24t - 11 = 0$

$\Leftrightarrow t = \frac{{11}}{{24}}$

$\Rightarrow B\left( { - \frac{5}{4}; - \frac{5}{6}} \right)$.

Đường thẳng $\Delta :2x - 3y = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n \left( {2; - 3} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u \left( {3;2} \right)$.

Vì $\Delta \bot AC$ nên đường thẳng $AC$ nhận $\overrightarrow u \left( {3;2} \right)$ làm một vectơ pháp tuyến và có phương trình là: $3\left( {x - 4} \right) + 2\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 10 = 0$.

Tọa độ điểm $C$ là giao điểm của $AC$ và $\Delta '$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y = 0\\3x + 2y - 10 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = - 4\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {6; - 4} \right)$.

Hướng dẫn giải

Gọi số tạo thành có dạng $x = \overline {abc}$ với $a,\,b,\,c$ đôi một khác nhau và lấy từ $A$.

Chọn một vị trí $a,\,b$ hoặc $c$ cho số $3$ có $3$ cách chọn.

Chọn hai chữ số khác $3$ từ $A$ và sắp xếp vào hai vị trí còn lại của $x$ có $A_4^2$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân có: $3.A_4^2 = 36$ cách chọn.

Mỗi cách sắp xếp như trên cho ta một số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy có $36$ số cần tìm.