Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 01

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Hàm số $f\left( x \right) = {x^2} - x + \frac{3}{2}$ là hàm số bậc hai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tam thức bậc hai $f\left( x \right):{x^2} - 3x + 2$ có $\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.2 = 1 > 0$.

Do đó $f\left( x \right)$ có hai nghiệm phân biệt là:

${x_1} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) - \sqrt 1 }}{{2.1}} = 1;\,\,{x_2} = \frac{{ - \left( { - 3} \right) + \sqrt 1 }}{{2.1}} = 2.$

Ta lại có $a = 1 > 0$.

Do đó ta có:

⦁ $f\left( x \right)$ âm trên khoảng $\left( {1;2} \right)$;

⦁ $f\left( x \right)$ dương trên hai khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$;

⦁ $f\left( x \right) = 0$ khi $x = 1$ hoặc $x = 2$.

Vì vậy bất phương trình ${x^2} - 3x + 2 < 0$ có tập nghiệm là $\left( {1;2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Để hàm số bậc hai $- {x^2} + mx - 4$ thì

$\left\{ \begin{array}{l}a = - 1 < 0\\\Delta = {m^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 4} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| m \right| \le 4 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 4$.

Vậy với $m \in \left[ { - 4;4} \right]$ thì $- {x^2} + mx - 4 \le 0$ với mọi $x$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Bình phương hai vế của phương trình ta được

$2{x^2} + 5 = {x^2} + 4x + 4$

Sau khi thu gọn ta được ${x^2} - 4x + 1 = 0$

Từ đó ta tìm được $x = 2 + \sqrt 3$ hoặc $x = 2 - \sqrt 3$

Thay lần lượt hai giá trị của $x$ vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thoả mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 1; - 5 - 1} \right) = \left( {3; - 6} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow u = 7\overrightarrow i = 7.\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j$ nên $\overrightarrow u \left( {7;0} \right)$. Do đó tung độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{5 + \left( { - 11} \right) + 3}}{3} = - 1\\{y_G} = \frac{{\left( { - 1} \right) + 2 + 9}}{3} = \frac{{10}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( { - 1;\frac{{10}}{3}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{15}}{2};9} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{2}} \right)}^2} + {9^2}} = \frac{{3\sqrt {29} }}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình đường thẳng $x + 2y - 3 = 0$ nhận $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : D

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)$ do đó có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $M(4;2) \in d \Leftrightarrow 4 + 2b + c = 0 \Rightarrow c = - 4 - 2b.$

$d(A,d) = \frac{{\left| {1 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow 10{(1 + c)^2} = 9(1 + {b^2})$(1)

Thay $c = - 4 - 2b$ vào phương trình (1) ta có: $31{b^2} + 120b + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 3\\b = - \frac{{27}}{{31}}\end{array} \right.$

Vì $b$ là số nguyên nên $b = - 3,c = 2 \Rightarrow b + c = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\left( {m - 3} \right)x + 2y + {m^2} - 1 = 0\\{d_2}: - x + my + {m^2} - 2m + 1 = 0\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: $m = 0$ ta có ${d_1}: - 3x + 2y - 1 = 0;\,{d_2}: - x + 1 = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( { - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;0} \right)$ không cùng phương nên ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau.

Vậy với $m = 0$ thoả mãn

Trường hợp 2: $m \ne 0$ thì ${d_1}$ và ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {m - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;m} \right)$ để ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau thì $\frac{{m - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{m} \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2$.

Do đó đường tròn có tâm $I = \left( {1;\,2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 2$.

Do $d$ song song với đường thẳng $\Delta$ nên $d$ có phương trình là $3x + 4y + k = 0$, $\left( {k \ne 1} \right)$.

Ta có:

$d\left( {I;\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + k = 5\sqrt 2 \\11 + k = - 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5\sqrt 2 - 11\\k = - 5\sqrt 2 - 11\end{array} \right.$.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0$, $3x + 4y - 5\sqrt 2 - 11 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Gọi phương trình chính tắc của Hypebol cần tìm là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,b > 0} \right)$

Ta có điểm $M\left( {1;\,0} \right)$ thuộc Hypebol nên thay $x = 1$ và $y = 0$ vào phương trình trên ta được: $\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = 1$ (vì $a > 0$).

Mặt khác ta có $\frac{c}{a} = \sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 .a = \sqrt 5$.

Do đó $b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = \sqrt {5 - 1} = 2$.

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác $ABC$ đều nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 - 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{2\sqrt 3 + 0 + 0}}{3} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {0;\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {GC} \left( {2; - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) \Rightarrow GC = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow R = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Khi đó phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là:

${x^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.

Xét đáp án C: ${x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 3 = 0$ vô lý.

Xét đáp án B: ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$ là phương trình đường tròn tâm $I\left( {2; - 3} \right)$, bán kính $R = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ có $a = 5;\,\,\,b = 4$

$\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{5^2} + {4^2}} = \sqrt {41}$

Vậy tiêu cự $2c = 2\sqrt {41}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có phương trình đường tròn là:

$\left( C \right):{x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$.

Vậy tâm đường tròn là: $I\left( { - 2; - 3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$

Suy ra: $a = 3,b = 2,c = \sqrt 5$

Do đó tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ nên đáp án A đúng

Độ dài trục lớp $2a = 6$nên đáp án B đúng

Độ dài trục nhỏ $2b = 4$ nên đáp án C đúng.

Tiêu cự của $\left( E \right)$ là $2c = 2\sqrt 5$ đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo đề, ta có mỗi tuần có $7$ ngày, mỗi ngày bạn An đi thăm một người bạn (thăm một bạn không quá một lần).

⦁ Có $12$ cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ nhất.

⦁ Có $11$ cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ hai.

⦁ Có $10$ cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ ba.

⦁ Có $9$ cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ tư.

⦁ Có $8$ cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ năm.

⦁ Có $7$ cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ sáu.

⦁ Có $6$ cách chọn một người bạn để đi thăm vào ngày thứ bảy.

Theo quy tắc nhân, ta có số cách lập kế hoạch của bạn An là:

$12.11.10.9.8.7.6 = 3\,\,991\,\,680$.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Các số bé hơn $100$ chính là các số có một chữ số và hai chữ số được hình thành từ tập $A = \left\{ {3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}} \right\}.$ Từ tập $A$ có thể lập được $6$ số có một chữ số.

Gọi số có hai chữ số có dạng $\overline {ab}$ với $\left( {a,b} \right) \in A.$

Trong đó:

$a$ có $6$ cách chọn (vì $a$ có thể chọn một trong các số $3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}$);

$b$ có $6$ cách chọn (vì $b$ có thể chọn một trong các số $3;{\rm{ 4}};{\rm{ 6}};{\rm{ 7}};{\rm{ 8}};{\rm{ 9}}$).

Như vậy, ta có $6.6 = 36$ số có hai chữ số.

Vậy, từ $A$ có thể lập được $36 + 6 = 42$ số tự nhiên bé hơn $100$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Việc chọn thực đơn gồm ba công đoạn:

Công đoạn 1: Chọn một món chính, có $5$ cách chọn.

Công đoạn 2: Chọn một loại quả tráng miệng, có $5$ cách chọn.

Công đoạn 3: chọn một loại nước uống, có $3$ cách chọn.

Theo quy tắc nhân, ta có tất cả $5.5.3 = 75$ cách chọn thực đơn.

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để xếp chỗ ngồi cho $10$ học sinh vào $12$ chỗ là chỉnh hợp chập $10$ của $12$ và bằng $A_{12}^{10}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xếp $6$ học sinh thành một hàng dọc là hoán vị của $6$ và bằng $6! = 720$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Chọn $5$ học sinh bất kỳ từ tổ $11$ học sinh có số cách chọn là: $C_{11}^5$.

Số cách chọn $5$ học sinh mà chỉ toàn nữ hoặc toàn nam là: $C_5^5 + C_6^5$.

Số cách chọn ngẫu nhiên $5$ học sinh của tổ trong đó có cả học sinh nam và học sinh nữ là $C_{11}^5 - \left( {C_5^5 + C_6^5} \right) = 455$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} = {3^4} + {4.3^3}.\sqrt 2 + {6.3^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 4.3.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^4}$

$= 81 + 108\sqrt 2 + 108 + 24\sqrt 2 + 4$

$= 193 + 132\sqrt 2$.

Tương tự ta có: ${\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4} = 193 - 132\sqrt 2$.

Khi đó: ${\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4} = 193 + 132\sqrt 2 + 193 - 132\sqrt 2 = 386$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

${\left( {3x + 4} \right)^5} = C_5^0{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1{\left( {3x} \right)^4}.4 + C_5^2{\left( {3x} \right)^3}{.4^2} + C_5^3{\left( {3x} \right)^2}{.4^3} + C_5^4{\left( {3x} \right)^1}{.4^4} + C_5^5{.4^5}$$= 243{x^5} + 1620{x^4} + 4320{x^3} + 5760{x^2} + 3840x + 1024$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta xét khai triển ${\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4}$ ( với $x \ne 0$) có số hạng tổng quát là

${\left( {\frac{3}{x} + 2x} \right)^4} = C_4^0.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^4} + C_4^1.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^3}.\left( {2x} \right) + C_4^2.{\left( {\frac{3}{x}} \right)^2}.{\left( {2x} \right)^2} + C_4^3.\left( {\frac{3}{x}} \right).{\left( {2x} \right)^3} + C_4^4.{\left( {2x} \right)^4}$

$= \frac{{81}}{{{x^4}}} + \frac{{216}}{{{x^2}}} + 216 + 96{x^2} + 16{x^4}$.

Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $216$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Biến cố không thể được kí hiệu là $\emptyset$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi lần gieo đồng tiền có hai trường hợp có thể xảy ra là sấp hoặc ngửa.

Vậy $n\left( \Omega \right) = 2.2.2 = 8$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mỗi lần gieo đồng tiền có hai trường hợp có thể xảy ra là sấp hoặc ngửa.

Vậy $n\left( \Omega \right) = 2.2.2 = 8$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp $4$ hành khách lên $4$ toa tàu.

Vì chọn mỗi hành khách có $4$ cách chọn toa nên ta có ${4^4}$ cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = {4^4}$.

Gọi biến cố $A$: “$1$ toa có $3$ người, $1$ toa có $1$ người và $2$ toa còn lại không có ai”.

Để tìm số phần tử của biến cố $A$, ta chia thành hai giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Chọn $3$ hành khách trong số $4$ hành khách và chọn $1$ toa trong số $4$ toa.

Sau đó xếp lên toa đó $3$ hành khách vừa chọn.

Khi đó ta có $C_4^3.C_4^1$ cách.

Giai đoạn 2: Chọn $1$ toa trong số $3$ toa còn lại và xếp $1$ hành khách còn lại lên toa đó.

Suy ra có $C_3^1$ cách. Hiển nhiên khi đó $2$ toa còn lại sẽ không có hành khách nào.

Theo quy tắc nhân, ta có $n\left( A \right) = C_4^3.C_4^1.C_3^1$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^3.C_4^1.C_3^1}}{{{4^4}}} = \frac{3}{{16}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45$.

Gọi $A$ là biến cố: “$2$ người được chọn có đúng một người nữ”.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Số phần tử của không gian mẫu:$n\left( \Omega \right) = 6$.

Biến cố xuất hiện mặt chẵn: $A = \left\{ {2;4;6} \right\}$.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = 3$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0{,}5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có ${\left( {n - 3x} \right)^4} = C_4^0.{n^4} - C_4^1.{n^3}.\left( {3x} \right) + C_4^2.{n^2}.{\left( {3x} \right)^2} + C_4^3.n.{\left( {3x} \right)^3} + C_4^4.{\left( {3x} \right)^4}$

$= {n^4} - 12{n^3}x + 54{n^2}{x^2} + 108n{x^3} + 81{x^4}$

Vì hệ số của ${x^2}$ là $108$ nên ta có: $54{n^2} = 108 \Leftrightarrow {n^2} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = \sqrt 2 \\n = - \sqrt 2 \end{array} \right.$.

Vì $n$ không âm nên $n = \sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số vận động viên nam là $n$ (vận động viên) $\left( {n \in {\mathbb{N}^*}} \right)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với nhau là $2.C_n^2 = n(n - 1)$.

Số ván các vận động viên nam chơi với các vận động viên nữ là $C_2^1.C_n^2.2 = 4n$.

Khi đó ta có $n\left( {n - 1} \right) - 4n = 84 \Rightarrow n = 12$ (loại $n = - 7$).

Vậy tổng số ván các vận động viên chơi là $2.C_{14}^2 = 182$.

b) Ta có khai triển của ${\left( {1 - {x^2}} \right)^5}$ là:

${\left( {1 - {x^2}} \right)^5} = C_5^0{1^5} - C_5^1{.1^4}.{x^2} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} - C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} - C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}$

$= 1 - 5{x^2} + 10{x^4} - 10{x^6} + 5{x^8} - {x^{10}}$.

Vậy hệ số của ${x^6}$ trong khai triển là $- 10$.

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \le 28} \right)$.

Suy ra số học sinh nam là $30 - n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì $3$ học sinh từ $30$ học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố Chọn được $2$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ.

+ Chọn $2$ nam trong $30 - n$ nam, có $C_{30 - n}^2$ cách.

+ Chọn $1$ nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left( A \right) = C_{30 - n}^2.C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}}$ .

Theo giả thiết, ta có $P\left( A \right) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{12}}{{29}}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right)\left( {28 - n} \right)!.n}}{{2!.\left( {28 - n} \right)!}} = 1680$

$\Leftrightarrow \left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right).n = 3360 \Leftrightarrow {n^3} - 59{n^2} + 870n - 3360 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \approx 38{,}82\\n = 14\\n \approx 6{,}18\end{array} \right.$

Vì $n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n = 14$

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$ học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2} \right) = 2\left( {2; - 1} \right)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $AB$.

Khi đó phương trình đường thẳng $AB$ nhận $\left( {1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $1\left( {x + 1} \right) + 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0$.

b) Ta có: $A \in {d_1}$ nên $A\left( {3;a} \right)$, $\left( {a < 3} \right)$.

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ mà $ABC$ nội tiếp đường tròn nên $AC$ là đường kính.

Đường thẳng ${d_1}:x = 3$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1;0} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left( {0;1} \right)$.

Đường thẳng ${d_2}:x - y + 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1; - 1} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương là $\left( {1;1} \right)$.

Phương trình đường thẳng $AC$ nhận $\left( {0;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $y = a$.

Phương trình đường thẳng $AB$ nhận $\left( {1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: $\left( {x - 3} \right) + \left( {y - a} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = a + 3$.

Điểm $C$ là giao của đường thẳng $AC$ và ${d_2}$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}y = a\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = a - 3\\y = a\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {a - 3;a} \right)$.

Điểm $B$ là giao của đường thẳng $AB$ và ${d_2}$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y - a - 3 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{a}{2}\\y = \frac{a}{2} + 3\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {\frac{a}{2};\frac{a}{2} + 3} \right)$.

Khi đó $\overrightarrow {AB} \left( {\frac{a}{2} - 3; - \frac{a}{2} + 3} \right) \Rightarrow AB = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|$.

$\overrightarrow {BC} \left( {\frac{a}{2} - 3;\frac{a}{2} - 3} \right) \Rightarrow BC = \left| {\frac{a}{2} - 3} \right|$.

Diện tích tam giác $ABC$ bằng $\frac{1}{2}AB.BC = \frac{1}{2}{\left( {\frac{a}{2} - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{a}{2} - 3 = 2\sqrt 2 \\\frac{a}{2} - 3 = - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 2\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)\\a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)\end{array} \right.$

$\Rightarrow a = 2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy tọa độ điểm $A\left( {3;2\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)} \right)$.