Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 09

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số tập con có hai phần tử của tập $A$ là: $C_{10}^2$.

Do đó $n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45$.

Số các tập con của tập $A$ có hai phần tử và luôn có phần tử $9$ có: $1.C_9^1 = 9$.

Gọi M là biến cố tập con có hai phần tử luôn có phần tử 9.

$\Rightarrow n\left( M \right) = 9$

$\Rightarrow \frac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{45}} = \frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo nguyên lí xác suất bé, ta có:

Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số cách xếp khác nhau cho $4$ người ngồi vào $6$ chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập $4$ của $6$ phần tử.

Suy ra $n\left( \Omega \right) = A_6^4 = 360$ cách.

Gọi $A$ là biến cố để bạn An luôn ngồi cạnh bạn Nhi.

Vì An luôn ngồi cạnh bạn Nhi nên coi hai bạn này là một phần tử, trong phần tử này có $2!$ cách xếp. Khi đó ta cần xếp $3$ người vào $5$ chỗ có $A_5^3 = 60$ cách.

$\Rightarrow n\left( A \right) = 2!.60 = 120$.

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{120}}{{360}} = \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biến cố đối của $A$ là biến cố $A$ không xảy ra.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Tọa độ của vectơ $\overrightarrow b$ là $\left( {3; - 5} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB}$ là $\left( {0;\,\,3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn số 1,2564 đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn của $l$ là 1,26.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mẫu số liệu trên đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm có $n = 9$ (số liệu).

Do đo, trung vị của mẫu số liệu trên là 5 (giá trị ở chính giữa).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overline x = \frac{{3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 18 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot 2 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 1}}{{40}} = 6{,}1$.

Vậy điểm trung bình của 40 học sinh trên gần nhất với giá trị 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mốt của mẫu số liệu trên là 5 (do nó có tần số xuất hiện lớn nhất là 3 lần).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu thành một dãy không giảm ta có:

13,0; 15,5; 18,8; 27,5; 30,2.

Ta có: $n = 5$

Tứ phân vị thứ hai ${Q_2}$ là: 18,8.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung vị của dãy số liệu: 13,0; 15,5. Tức là: ${Q_1} = \left( {13{,}0 + 15{,}5} \right):2 = 14{,}25$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là trung vị của dãy số liệu: 27,5; 30,2. Tức là: ${Q_3} = \left( {27{,}5 + 30{,}2} \right):2 = 28{,}85$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét mẫu thứ nhất là: $\left\{ {2;3;4;2;1;4;5} \right\}$.

Ta có: ${x_{1\min }} = 1$; ${x_{1max}} = 5$. Khoảng biến thiên là: ${R_1} = 5 - 1 = 4$.

Xét mẫu thứ hai là: $\left\{ {2;0;1;2;1;2;3} \right\}$.

Ta có: ${x_{2\min }} = 0$; ${x_{2max}} = 3$. Khoảng biến thiên là: ${R_2} = 3 - 0 = 3$.

Vì ${R_1} > {R_2}$ nên mẫu số liệu thứ nhất có độ phân tán cao hơn mẫu số liệu thứ hai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

+) Đường thẳng $x + 2y = 9$ có tọa độ vectơ pháp tuyến là $\left( {1;\,2} \right)$. Do đó A sai.

+) Đường thẳng $- 3x - 6y + 7 = 0$ có tọa độ vectơ pháp tuyến là $\left( { - 3;\,\, - 6} \right) = - 3\left( {1;\,2} \right)$. Do đó B sai.

+) Đường thẳng $x - 2y - 19 = 0$ có tọa độ vectơ pháp tuyến là $\left( {1; - 2} \right) \ne \left( {1;\,2} \right)$. Do đó C đúng.

+) Đường thẳng $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\end{array} \right.$ có vectơ chỉ phương là $\left( {2; - 1} \right)$ nên có vectơ pháp tuyến là

$\left( {1;\,2} \right)$. Do đó D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có đường thẳng $d$ đi qua điểm $M\left( {2;1} \right)$ và có vectơ pháp tuyến là$\left( {3; - 4} \right)$ nên vectơ chỉ phương là $\left( {4;\,\,3} \right)$. Do đó phương trình tham số của $d$ là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = 1 + 3t\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi $I$ là trung điểm của $AB$ nên tọa độ điểm $I$ là $\left( {4;\,\, - 2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {10; - 10} \right) = 10\left( {1; - 1} \right)$

Đường thẳng trung trực của đoạn thẳng $AB$ nhận $\left( {1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $I\left( {4;\,\, - 2} \right)$ nên có phương trình: $x - 4 - \left( {y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - 6 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Công thức tính khoảng cách từ điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ đến đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ là:

$d\left( {M;\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tọa độ trọng tâm $G$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{3 + \left( { - 2} \right) + 1}}{3} = \frac{2}{3}\\{y_G} = \frac{{4 + 0 + 7}}{3} = \frac{{11}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{2}{3};\frac{{11}}{3}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng $d:2x - 2y + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2} \right) = 2\left( {1;1} \right)$.

Đường thẳng $d':x - y + 3 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 1} \right)$.

Ta có $\frac{1}{1} \ne \frac{1}{{ - 1}}$ nên ta hai vectơ này không cùng phương.

Do đó hai đường thẳng $d$ và $d'$ cắt nhau.

Ta lại có: $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 1.1 + 1.\left( { - 1} \right) = 0$ nên $d$ và $d'$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng ${\Delta _1}:x + 2y - 6 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2} \right)$.

Đường thẳng ${\Delta _2}:x - 3y + 9 = 0$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 3} \right)$.

Góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ là:

${\rm{cos}}\left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

$\Rightarrow \left( {{\Delta _1};{\Delta _2}} \right) = 45^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có dạng: ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$, với tâm $I\left( {a;b} \right)$ và bán kính $R > 0$.

Ta thấy chỉ có phương trình ở phương án A thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có $R = IB = \sqrt {{{\left( {2 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 4} \right)}^2}} = \sqrt 5$.

Đường tròn có tâm $I\left( {1;\,\,4} \right)$ và đi qua điểm $R = \sqrt 5$ có phương trình là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 5$

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $O\left( {0;0} \right)$, bán kính $R = 3$.

Vì $\Delta$ tiếp xúc với $\left( C \right)$ nên ta có $d\left( {O;\Delta } \right) = R$.

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {4.0 + 3.0 + m} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = 3$

$\Leftrightarrow \left| m \right| = 15$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 15\\m = - 15\end{array} \right.$

Vậy $m = 15$ hoặc $m = - 15$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{144}} + \frac{{{y^2}}}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{{{{12}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} = 1$

$\Rightarrow a = 12,b = \sqrt 2$

$\Rightarrow 2a = 24$.

Điểm $M$ thuộc Elip $\left( E \right)$ khi $M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2.12 = 24$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có tiêu điểm ${F_1}\left( { - \sqrt 3 ;0} \right)$. Suy ra $c = \sqrt 3$.

Khi đó ${c^2} = 3$

Vì vậy ${a^2} - {b^2} = 3$

Do đó ${a^2} = {b^2} + 3$

Phương trình chính tắc của (E) có dạng $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ (a > b > 0).

Ta có $M\left( {1;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) \in \left( E \right)$.

Suy ra $\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}}{{{b^2}}} = 1$

$\Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{3}{{4{b^2}}} = 1$

$\Leftrightarrow 4{b^2} + 3{a^2} = 4{a^2}{b^2}$

$\Leftrightarrow 4{b^2} + 3\left( {{b^2} + 3} \right) = 4\left( {{b^2} + 3} \right){b^2}$

$\Leftrightarrow 4{b^2} + 3{b^2} + 9 = 4{b^4} + 12{b^2}$

$\Leftrightarrow 4{b^4} + 5{b^2} - 9 = 0$

$\Leftrightarrow {b^2} = 1$ hoặc ${b^2} = - \frac{9}{4}$ (vô lí)

$\Leftrightarrow b = 1$ (vì $\left( {b > 0} \right)$

Với $b = 1$, ta có ${a^2} = {1^2} + 3 = 4$.

Vậy phương trình chính tắc của (E): $\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Cách chọn một trang phụ đi dự tổng kết của bạn An gồm $2$ giai đoạn:

Giai đoạn 1: Chọn $1$ áo sơ mi, có $6$ cách chọn;

Giai đoạn 2: Chọn $1$ quần âu, có $7$ cách chọn;

Áp dụng quy tắc cộng, ta được: $6 + 7 = 13$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Cách xếp $5$ bạn gồm $2$nam và $3$ nữ thành một hàng dọc là một hoán vị của $5$ nên ta có: $5!$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách chọn ra $5$ học sinh sao cho có đủ nam, nữ và số nam ít hơn số nữ gồm các phương án sau:

Phương án 1: Chọn $1$ nam và $4$ nữ có $C_{15}^1.C_{20}^4$.

Phương án 2: Chọn $2$ nam và $3$ nữ có $C_{15}^2.C_{20}^3$.

Áp dụng quy tắc cộng, có tất cả $C_{15}^1.C_{20}^4 + C_{15}^2.C_{20}^3 = 192\,\,375$ cách.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\left( {3x + k} \right)^4} = C_4^0.{\left( {3x} \right)^4} + C_4^1.{\left( {3x} \right)^3}.k + C_4^2.{\left( {3x} \right)^2}.{k^2} + C_4^3.\left( {3x} \right).{k^3} + C_4^4.{k^4}$

$= 81{x^4} + 108.{x^3}.k + 54.{x^2}.{k^2} + 12.x.{k^3} + {k^4}$

Suy ra hệ số của $x$ trong khai triển là $12{k^3}$ nên $12{k^3} = 12 \Leftrightarrow {k^3} = 1 \Leftrightarrow k = 1$.

Hướng dẫn giải

Ta có $n\left( \Omega \right) = 5\,\,985$

Gọi $A$ là biến cố trong $4$ đội có ít nhất $2$ đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.

Khi đó $\overline A$ là biến cố trong $4$ đội có nhiều nhất $1$ đội của các Trung tâm y tế cơ sở được chọn.

Các kết quả thuận lợi cho biến cố $\overline A$ được chia làm $2$ phương án:

- Phương án 1: Không có đội của các Trung tâm y tế cơ sở có: $C_6^4$ cách.

- Phương án 2: Có $1$ đội của Trung tâm y tế cơ sở có $C_6^3.C_{15}^1$ cách.

$\Rightarrow n\left( {\overline A } \right) = C_6^4 + C_6^3.C_{15}^1 = 315$

$\Rightarrow P\left( {\overline A } \right) = \frac{{315}}{{5\,\,985}} = \frac{1}{{19}}$.

$\Rightarrow P\left( A \right) = 1 - P\left( {\overline A } \right) = 1 - \frac{1}{{19}} = \frac{{18}}{{19}}$.

Hướng dẫn giải

a) Kết quả trung bình của bạn Mạnh là:

$\overline {{x_1}} = \frac{{2{,}1 + 2{,}5 + 2{,}4 + 2{,}2 + 2{,}3}}{5} = 2{,}3$

Kết quả trung bình của bạn Duy là:

$\overline {{x_2}} = \frac{{2{,}0 + 2{,}8 + 2{,}6 + 2{,}2 + 1{,}9}}{5} = 2{,}3$.

Vậy cả hai bạn có kết quả nhảy trung bình là bằng nhau.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn mạnh là:

$S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2{,}1 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}5 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}4 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}2 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}3 - 2{,}3} \right)}^2}}}{5} = 0{,}02$.

Suy ra độ lệch chuẩn

${s_{{x_1}}} = \sqrt {S_{{x_1}}^2} = \sqrt {0{,}02} \approx 0{,}14$.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy là:

$S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2{,}0 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}8 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}6 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}2 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {1{,}9 - 2{,}3} \right)}^2}}}{5} = 0{,}12$

Suy ra độ lệch chuẩn

${s_{{x_2}}} = \sqrt {S_{{x_2}}^2} = \sqrt {0{,}12} \approx 0{,}35$.

Vì $0{,}35 > 0{,}14$ nên mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy có độ phân tán lớn hơn hay nói cách khác bạn Duy có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow {IA} \left( {8;\,\, - 3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {73}$.

Suy ra bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là $R = \sqrt {73}$.

Khi đó phương trình đường tròn $\left( C \right)$ cần tìm là: ${\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 73$.

b)

Từ điểm $I$ kẻ $IH$ vuông góc với đường thẳng $d\left( {H \in d} \right)$.

Khi đó $H$ là trung điểm của $AB$.

Khoảng cách từ điểm $I$ đến đường thẳng $d$ là: $d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2$.

Diện tích tam giác $IAB$ bằng $4$ nên độ dài cạnh $AB$ bằng: $2.4:2 = 4$.

$\Rightarrow AH = HB = \frac{1}{2}AB = 2$.

Xét tam giác $AIH$, vuông tại $H$ có: $IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$.

Khi đó phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1; - 2} \right)$ và bán kính $IA = 2\sqrt 2$ là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8$.