Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 06

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ là $180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:x - 2y + 1 = 0\\{d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \frac{1}{{ - 3}} = \frac{{ - 2}}{6} \ne \frac{1}{{ - 10}} \Rightarrow {d_1}\,\parallel \,{d_2}$.

Đáp án đúng là: A

Cho các vectơ $\overrightarrow u = \left( {3;6} \right)$; $\overrightarrow v = \left( {1;2} \right)$ nên ta có: $\overrightarrow u = 3\overrightarrow v$.

Vậy $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương cùng hướng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $d$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1; - 3} \right)$ nên vectơ chỉ phương là $\left( {3;1} \right)$.

Vì $d \bot d'$ nên $d'$ nhận $\left( {3;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến và đi qua điểm $A\left( {0;2} \right)$ có phương trình là:

$3\left( {x - 0} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 2 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Phương trình tham số của đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( {A;B} \right)$ nên có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow u = \left( {B; - A} \right)$ và đi qua điểm $M\left( {{x_0};{y_0}} \right)$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = {x_0} + Bt\\y = {y_0} - At\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Tọa độ điểm $C$ là giao điểm của $AC$ và $BC$ nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}7x - y + 2 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 9\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;9} \right)$.

Tọa độ điểm $B$ là giao điểm của $AB$ và $BC$ nên là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}x + y - 1 = 0\\10x + y - 19 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2; - 1} \right)$.

Gọi điểm $M\left( {x;y} \right)$ thuộc đường phân giác tại đỉnh $A$, khi đó ta có:

$d\left( {M;AB} \right) = d\left( {M;AC} \right) \Leftrightarrow \frac{{\left| {x + y - 1} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| {7x - y + 2} \right|}}{{5\sqrt 2 }}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5\left( {x + y - 1} \right) = 7x - y + 2\\5\left( {x + y - 1} \right) = - 7x + y - 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 6y + 7 = 0\\12x + 4y - 3 = 0\end{array} \right.$

+) Xét $f\left( {x;y} \right) = 2x - 6y + 7$

Tại $B\left( {2; - 1} \right)$ có $f\left( {2; - 1} \right) = 2.2 - 6.\left( { - 1} \right) + 7 = 17 > 0$

Tại $C\left( {1;9} \right)$ có $f\left( {1;9} \right) = 2.1 - 6.9 + 7 = - 45 < 0$.

Do đó $B$ và $C$ khác phía với đường thẳng $2x - 6y + 7 = 0$.

+) Xét $f\left( {x;y} \right) = 12x + 4y - 3$

Tại $B\left( {2; - 1} \right)$ có $f\left( {2; - 1} \right) = 12.2 + 4.\left( { - 1} \right) - 3 = 17 > 0$

Tại $C\left( {1;9} \right)$ có $f\left( {1;9} \right) = 12.1 + 4.9 - 3 = 45 > 0$.

Do đó $B$ và $C$ khác phía với đường thẳng $12x + 4y - 3 = 0$.

Vậy phương trình đường phân giác trong tại đỉnh $A$ là $2x - 6y + 7 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Nếu $\overrightarrow u$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ thì $k\overrightarrow u \left( {k \ne 0} \right)$ cũng là vectơ chỉ phương của $\Delta$. Vậy nên có vô số vectơ là vectơ chỉ phương của $\Delta$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( { - 2; - 2} \right)$ nên tiếp tuyến tại $M$ có vectơ pháp tuyến là $\vec n = \overrightarrow {IM} = \left( {4;\,3} \right)$ nên có phương trình $4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x + 3y - 11 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét ${x^2} + {y^2} - 2x + 3y - 5 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + \frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{33}}{4}$

$\Rightarrow R = \frac{{\sqrt {33} }}{2}$.

Vậy $R \in \left( {1;3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${x^2} + {y^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 4y - 1 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \left( {m + 1} \right)\\b = - 2\\c = - 1\end{array} \right.$

Để $\left( * \right)$ là phương trình đường tròn thì ${a^2} + {b^2} - c = {\left( {m + 1} \right)^2} + 4 + 1 = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5 > 0$

(luôn đúng với mọi $m$).

$\Rightarrow {R^2} = {\left( {m + 1} \right)^2} + 5$.

Vì ${\left( {m + 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \in \mathbb{R}$ nên ${\left( {m + 1} \right)^2} + 5 \ge 5\,\,\forall m \in \mathbb{R}$

$\Rightarrow {R_{\min }} = 5 \Leftrightarrow m = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{36}} - \frac{{{y^2}}}{9} = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 6\\b = 3\end{array} \right.$

Nên độ dài trục ảo là: $2.3 = 6$ và độ dài trục thực là: $2.6 = 12$.

Khi đó, tỉ số giữa độ dài trục ảo và độ dài trục thực là $\frac{6}{{12}} = \frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình chính tắc của $\left( P \right)$ có dạng: ${y^2} = 2px\left( {p > 0} \right)$

Vì $\left( P \right)$ có đường chuẩn $\Delta :x + 4 = 0$ nên $\frac{p}{2} = 4 \Leftrightarrow \;p = 8$.

Do đó phương trình chính tắc của $\left( P \right)$ là ${y^2} = 16x$.

Gọi $M\left( {{x_0};\,{y_0}} \right) \in \left( P \right)$, ta có:

$$d\left( {M;\,\Delta } \right) = MF = 5$$

$$\Leftrightarrow \frac{{\left| {{x_0} + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = 5$$

$$\Leftrightarrow \left| {{x_0} + 4} \right| = 5$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} + 4 = 5\\{x_0} + 4 = - 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 9\end{array} \right.$$

+) Với ${x_0} = 1$ có ${y_0}^2 = 16.1 = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{y_0} = - 4}\\{{y_0} = 4}\end{array}} \right.$

+) Với ${x_0} = - 9$ có ${y_0}^2 = 16.\left( {--9} \right) = --144$(vô lí).

Vậy $M\left( {1;\,4} \right)$ hoặc $M\left( {1;\, - 4} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Việc chọn hai học sinh (nam và nữ) phải tiến hành hai hành động liên tiếp:

+) Chọn một học sinh nữ trong số $23$ học sinh nữ nên có $23$ cách chọn

+) Chọn một học sinh nam trong số $17$ học sinh nam nên có $17$ cách chọn

Theo quy tắc nhân, có $23.17 = 391$ cách chọn hai học sinh tham gia hội trại có cả nam và nữ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Tổ hợp chập $k$ của $n$ có tính chất: $C_n^k = C_n^{n - k}$. Vậy nên chọn C.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Có $4$ bì thư khác nhau, chọn $2$ bì thư có $C_4^2$ cách chọn.

Có $6$ con tem khác nhau, chọn $2$ con tem thì có $C_6^2$ cách chọn.

Dán $2$ con tem lên $2$ bì thư có $2!$ cách dán khác nhau.

Theo quy tắc nhân ta có $2!C_4^2.C_6^2$ cách dán $2$ con tem lên $2$ bì thư.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Khai triển nhị thức ta được:

${\left( {x - 2} \right)^5}$$= C_5^0.{x^5}.{\left( { - 2} \right)^0} + C_5^1.{x^4}.{\left( { - 2} \right)^1} + C_5^2.{x^3}.{\left( { - 2} \right)^2} + C_5^3.{x^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{x^1}.{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{x^0}.{\left( { - 2} \right)^5}$

Hệ số hạng thứ $3$ trong khai triển là $C_5^2.{\left( { - 2} \right)^2} = C_5^2{.2^2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Số tập con có hai phần tử của tập $A$ là: $C_{10}^2$.

Do đó $n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45$.

Số các tập con của tập $A$ có hai phần tử và luôn có phần tử $9$ có: $1.C_9^1 = 9$.

Gọi M là biến cố tập con có hai phần tử luôn có phần tử 9.

$\Rightarrow n\left( M \right) = 9$

$\Rightarrow \frac{{n\left( M \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{9}{{45}} = \frac{1}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Theo nguyên lí xác suất bé, ta có:

Nếu một biến cố có xác suất rất bé thì trong một phép thử biến cố đó sẽ không xảy ra.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Số cách xếp khác nhau cho $4$ người ngồi vào $6$ chỗ trên một bàn dài là một chỉnh hợp chập $4$ của $6$ phần tử.

Suy ra $n\left( \Omega \right) = A_6^4 = 360$ cách.

Gọi $A$ là biến cố để bạn An luôn ngồi cạnh bạn Nhi.

Vì An luôn ngồi cạnh bạn Nhi nên coi hai bạn này là một phần tử, trong phần tử này có $2!$ cách xếp. Khi đó ta cần xếp $3$ người vào $5$ chỗ có $A_5^3 = 60$ cách.

$\Rightarrow n\left( A \right) = 2!.60 = 120$.

$\Rightarrow P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{120}}{{360}} = \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Biến cố đối của $A$ là biến cố $A$ không xảy ra.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, ta có vectơ $\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 5\overrightarrow j = 3\overrightarrow i + \left( { - 5} \right)\overrightarrow j$. Vậy $\overrightarrow b = \left( {3; - 5} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm $A\left( {3;\,\,4} \right)$và $B\left( {3;\,\,7} \right)$.

Khi đó, tọa độ vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - 3;7 - 4} \right) = \left( {0;\,\,3} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn số 1,2564 đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn của $l$ là 1,26.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Mẫu số liệu trên đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm có $n = 9$ (số liệu).

Do đo, trung vị của mẫu số liệu trên là 5 (giá trị ở chính giữa).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overline x = \frac{{3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 18 + 7 \cdot 3 + 8 \cdot 2 + 9 \cdot 4 + 10 \cdot 1}}{{40}} = 6{,}1$.

Vậy điểm trung bình của 40 học sinh trên gần nhất với giá trị 6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Mốt của mẫu số liệu trên là 5 (do nó có tần số xuất hiện lớn nhất là 3 lần).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu thành một dãy không giảm ta có:

13,0; 15,5; 18,8; 27,5; 30,2.

Ta có: $n = 5$

Tứ phân vị thứ hai ${Q_2}$ là: 18,8.

Tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung vị của dãy số liệu: 13,0; 15,5. Tức là: ${Q_1} = \left( {13{,}0 + 15{,}5} \right):2 = 14{,}25$.

Tứ phân vị thứ ba ${Q_3}$ là trung vị của dãy số liệu: 27,5; 30,2. Tức là: ${Q_3} = \left( {27{,}5 + 30{,}2} \right):2 = 28{,}85$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét mẫu thứ nhất là: $\left\{ {2;3;4;2;1;4;5} \right\}$.

Ta có: ${x_{1\min }} = 1$; ${x_{1max}} = 5$. Khoảng biến thiên là: ${R_1} = 5 - 1 = 4$.

Xét mẫu thứ hai là: $\left\{ {2;0;1;2;1;2;3} \right\}$.

Ta có: ${x_{2\min }} = 0$; ${x_{2max}} = 3$. Khoảng biến thiên là: ${R_2} = 3 - 0 = 3$.

Vì ${R_1} > {R_2}$ nên mẫu số liệu thứ nhất có độ phân tán cao hơn mẫu số liệu thứ hai.

Hướng dẫn giải

Gọi $I\left( { - 2t + 3;\,t} \right) \in d$ là tâm của đường tròn $\left( C \right)$.

Theo giả thiết, ta có:

$$d\left( {I,\,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2t + 3 + 3t - 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \frac{{\left| {t - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \frac{{2\sqrt {10} }}{5} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 6\\t = - 2\end{array} \right.$$

+) Với $t = 6 \Rightarrow I\left( { - 9;\,6} \right)$, mà $R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}$ nên phương trình đường tròn là $\left( C \right):{\left( {x + 9} \right)^2} + {\left( {y - 6} \right)^2} = \frac{8}{5}$.

+) Với $t = - 2 \Rightarrow I\left( {7;\, - 2} \right)$, mà $R = \frac{{2\sqrt {10} }}{5}$ nên phương trình đường tròn là $\left( C \right):{\left( {x - 7} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = \frac{8}{5}$.

Hướng dẫn giải

Mẫu số liệu có 8 số liệu.

Mẫu số liệu đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Các tứ phân vị là:

Tứ phân vị thứ hai là: ${Q_2} = \left( {14 + 23} \right):2 = 18{,}5$.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy số liệu 6; 7; 8; 14.

Do đó, ${Q_1} = \left( {7 + 8} \right):2 = 7{,}5$.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy số liệu 23; 34; 65; 120.

Do đó, ${Q_3} = \left( {34 + 65} \right):2 = 49{,}5$.

Khoảng tứ phân vị là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 49{,}5 - 7{,}5 = 42$.

Ta có:

${Q_1} - \frac{3}{2}{\Delta _Q} = 7{,}5 - \frac{3}{2}.42 = - 55{,}5$;

${Q_3} + \frac{3}{2}{\Delta _Q} = 49{,}5 + \frac{3}{2}.42 = 112{,}5$.

Vậy giá trị bất thường của mẫu số liệu là 120 (do lớn hơn 112,5).

Hướng dẫn giải

Gọi số có 3 chữ số khác nhau là $\overline {abc} \,\left( {a \ne 0} \right)$.

Chọn $a$ có $6$ cách chọn (vì $a$ chọn tuý ý một trong các số từ $1$ đến $6$).

Chọn $b$ có $5$ cách chọn (vì $b \ne a$ nên $b$ có thể chọn một trong các số từ $1$ đến $6$ nhưng không được chọn số mà $a$ đã chọn).

Chọn $c$ có $4$ cách chọn (vì $c \ne a,\,c \ne b$ nên $c$ có thể chọn một trong các số từ $1$ đến $6$ nhưng không được chọn số mà $a,\,b$ đã chọn).

Áp dụng quy tắc nhân, ta có $6.5.4 = 120$ số có ba chữ số khác nhau được lập từ các số $1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6$.

Vậy số phần tử của không gian mẫu là: $n\left( \Omega \right) = 120$.

Gọi $A$ là biến cố: “chọn được số tự nhiên có ba chữ số khác nhau sao cho số đó nhỏ hơn $323$”.

TH1: $a = 3$, khi đó:

Nếu $b < 2$ thì $b \in \left\{ {0;1} \right\}$ hay $b$ có $2$ cách; $c$ có $5$ cách.

Do đó có: $1.2.5 = 10$ số.

Nếu $b = 2$ thì $b$ có $1$ cách; $c$ phải nhỏ hơn $3$ và khác $b$ nên $c \in \left\{ {0;1} \right\}$ hay $c$ có $2$ cách.

Do đó có: $1.1.2 = 2$ số.

TH2: $a < 3$ nên $a \in \left\{ {1;2} \right\}$ hay $a$ có hai cách chọn, khi đó:

$b$ có $6$ cách chọn, $c$ có $5$ cách chọn.

Do đó có $2.6.5 = 60$ số.

Vậy có $10 + 2 + 60 = 72$ số.