Bộ 10 đề thi cuối kì 2 Toán 10 Cánh diều có đáp án - Đề 01

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Dựa vào sơ đồ cây có $6$ cách đi từ Lạng Sơn vào Đà Lạt.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử $\left( {1 \le k \le n} \right)$.

Ta có: $A_n^k = n\left( {n - 1} \right)...\left( {n - k + 1} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Các đoạn thẳng được lập không phân biệt điểm đầu và điểm cuối (ví dụ đoạn thẳng $AB$ và đoạn thẳng $BA$ là giống nhau).

Vậy cứ hai điểm phân biệt sẽ cho ta một đoạn thẳng.

Số đoạn thẳng có hai đầu mút là hai trong tám điểm nói trên là $C_{10}^2 = 45$ đoạn thẳng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Khai triển với $n = 4$ là:

${\left( {a + b} \right)^4} = C_4^0{a^4} + C_4^1{a^3}{b^1} + C_4^2{a^2}.{b^2} + C_4^3a.{b^3} + C_4^4.{b^4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

⦁ ${\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} = {3^4} + {4.3^3}.\sqrt 2 + {6.3^2}.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} + 4.3.{\left( {\sqrt 2 } \right)^3} + {\left( {\sqrt 2 } \right)^4}$.

⦁ ${\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4} = {3^4} + {4.3^3}.\left( { - \sqrt 2 } \right) + {6.3^2}.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} + 4.3.{\left( { - \sqrt 2 } \right)^3} + {\left( { - \sqrt 2 } \right)^4}$.

Suy ra ${\left( {3 + \sqrt 2 } \right)^4} + {\left( {3 - \sqrt 2 } \right)^4} = 2.\left[ {{3^4} + {{6.3}^2}.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^4}} \right]$

$= 2.\left( {81 + 6.9.2 + 4} \right) = 386$.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hàng của chữ số khác $0$ đầu tiên bên trái của $d = 0{,}01$ là hàng phần trăm.

Quy tròn số $\overline a \approx 54{,}76923077...$đến hàng phần trăm ta được số gần đúng của $\overline a$ là $a = 54{,}77$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hàng của chữ số khác $0$ đầu tiên bên trái của $d = 0{,}002$ là hàng phần nghìn. Do đó ta quy tròn $a$ đến hàng phần trăm được $0{,}10$.

Suy ra sai số tuyệt đối của số quy tròn $\Delta \le 0{,}002$.

Vì số đúng $\overline a$ thỏa mãn $0{,}1031 - 0{,}002 \le \overline a \le 0{,}1031 + 0{,}002 \Leftrightarrow 0{,}1011 \le \overline a \le 0{,}1051$.

Do đó sai số tuyệt đối của số $0{,}10$ là: ${\Delta _{0{,}10}} = \left| {\overline a - 0{,}10} \right| \le 0{,}0051$

Vậy sai số tương đối của số $0{,}10$ là: ${\delta _{0{,}10}} \le \frac{{0{,}0051}}{{0{,}10}} = 5{,}1\%$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp dãy số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

$155;\,\,162;\,\,164;\,\,168;\,\,170;\,\,172;\,\,175;\,\,183$.

Dãy trên có tất cả 8 giá trị. Trung vị là trung bình cộng của giá trị thứ tư và giá trị thứ năm nên ta có: ${Q_2} = \frac{{168 + 170}}{2} = 169\,\,cm$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Năng suất lúa trung bình của các địa phương ở Đồng bằng sông Cửu Long là:

$\overline x = \frac{{78{,}2 + 77{,}9 + 77{,}3 + 76{,}2 + 74{,}7}}{5} = 76{,}86$ (tạ/ha).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có bảng tần số sau:

Mốt của dãy số liệu là giá trị có tần số lớn nhất nên ${M_0} = 8$.

Đáp án đúng là: B

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu bằng căn bậc hai của phương sai mẫu số liệu.

Vậy độ lệch chuẩn cần tìm là $\sqrt 9 = 3$.

Đáp án đúng là: D

Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu là 187, giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu là 162.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là $R = 187--162 = 25$.

Đáp án đúng là: A

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

162; 164; 165; 170; 175; 175; 176; 183; 187.

Mẫu số liệu gồm 9 số liệu nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là số 175 hay ${Q_2} = 175$.

Nửa số liệu bên trái ${Q_2}$ là: 162; 164; 165; 170. Do đó, ${Q_1} = \frac{{164 + 165}}{2} = 164{,}5$.

Nửa số liệu bên phải ${Q_2}$là: 175; 176; 183; 187. Do đó, ${Q_3} = \frac{{183 + 176}}{2} = 179{,}5$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 179{,}5 - 164{,}5 = 15$.

Đáp án đúng là: B

Sử dụng máy tính cầm tay ta tính được $\frac{{23}}{7} = 3,\left( {285714} \right)$.

Sai số tuyệt đối của số gần đúng 3,28 là ${\Delta _a} = \left| {3{,}28 - 3,\left( {285714} \right)} \right| = \frac{1}{{175}} = \frac{{0{,}04}}{7}$.

Đáp án đúng là: B

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được: 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9.

Vì mẫu số liệu gồm 9 số liệu nên trung vị là số ở vị trí thứ 5 và là số 7.

Vậy trung vị của mẫu số liệu đã cho là 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {4 - 1; - 5 - 1} \right) = \left( {3; - 6} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow u = 7\overrightarrow i = 7.\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j$ nên $\overrightarrow u \left( {7;0} \right)$. Do đó tung độ của vectơ $\overrightarrow u$ là $0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ nên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{5 + \left( { - 11} \right) + 3}}{3} = - 1\\{y_G} = \frac{{\left( { - 1} \right) + 2 + 9}}{3} = \frac{{10}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( { - 1;\frac{{10}}{3}} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( {\frac{{15}}{2};9} \right) \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {\frac{{15}}{2}} \right)}^2} + {9^2}} = \frac{{3\sqrt {29} }}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có phương trình đường thẳng $x + 2y - 3 = 0$ nhận $\overrightarrow n \left( {1;2} \right)$ là một vectơ pháp tuyến.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : D

Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {AB} = \left( {0;6} \right)$ do đó có phương trình tham số là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 1 + 6t\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $M(4;2) \in d \Leftrightarrow 4 + 2b + c = 0 \Rightarrow c = - 4 - 2b.$

$d(A,d) = \frac{{\left| {1 + c} \right|}}{{\sqrt {1 + {b^2}} }} = \frac{{3\sqrt {10} }}{{10}} \Leftrightarrow 10{(1 + c)^2} = 9(1 + {b^2})$(1)

Thay $c = - 4 - 2b$ vào phương trình (1) ta có: $31{b^2} + 120b + 81 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = - 3\\b = - \frac{{27}}{{31}}\end{array} \right.$

Vì $b$ là số nguyên nên $b = - 3,c = 2 \Rightarrow b + c = - 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng $\Delta :x + y - 1 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1;1} \right)$ nên có một vectơ chỉ phương $\left( {1; - 1} \right)$. Lấy điểm $\left( {0;1} \right)$ thuộc $\Delta$, khi đó phương trình tham số của $\Delta$ là:

$\left\{ \begin{array}{l}x = t\\x = 1 - t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {t;1 - t} \right)\,\,\left( {t < - 3} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {MN} \left( { - 3 - t;t + 3} \right) \Rightarrow MN = \sqrt 2 \left| {t + 3} \right|$

Mà $MN = \sqrt 2$ nên $\sqrt 2 \left| {t + 3} \right| = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {t + 3} \right| = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t + 3 = 1\\t + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\\t = - 4\end{array} \right.$.

Do đó $t = - 4$ thỏa mãn vậy $M\left( { - 4;5} \right)$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\left\{ \begin{array}{l}{d_1}:\left( {m - 3} \right)x + 2y + {m^2} - 1 = 0\\{d_2}: - x + my + {m^2} - 2m + 1 = 0\end{array} \right.$.

Trường hợp 1: $m = 0$ ta có ${d_1}: - 3x + 2y - 1 = 0;\,{d_2}: - x + 1 = 0$ có hai vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( { - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;0} \right)$ không cùng phương nên ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau.

Vậy với $m = 0$ thoả mãn

Trường hợp 2: $m \ne 0$ thì ${d_1}$ và ${d_2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} \left( {m - 3;2} \right);\overrightarrow {{n_2}} \left( { - 1;m} \right)$ để ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau thì $\frac{{m - 3}}{{ - 1}} \ne \frac{2}{m} \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$\left( C \right):{x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 3 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 2$.

Do đó đường tròn có tâm $I = \left( {1;\,2} \right)$ và bán kính $R = \sqrt 2$.

Do $d$ song song với đường thẳng $\Delta$ nên $d$ có phương trình là $3x + 4y + k = 0$, $\left( {k \ne 1} \right)$.

Ta có:

$d\left( {I;\,d} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {11 + k} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \sqrt 2 \Leftrightarrow \left| {11 + k} \right| = 5\sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}11 + k = 5\sqrt 2 \\11 + k = - 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 5\sqrt 2 - 11\\k = - 5\sqrt 2 - 11\end{array} \right.$.

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là $3x + 4y + 5\sqrt 2 - 11 = 0$, $3x + 4y - 5\sqrt 2 - 11 = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì tam giác $ABC$ đều nên tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{0 - 2 + 2}}{3} = 0\\{y_G} = \frac{{2\sqrt 3 + 0 + 0}}{3} = \frac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {0;\frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)$.

$\Rightarrow \overrightarrow {GC} \left( {2; - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right) \Rightarrow GC = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow R = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}$.

Khi đó phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là:

${x^2} + {\left( {y - \frac{{2\sqrt 3 }}{3}} \right)^2} = \frac{{16}}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

∆1 và ∆2 có vectơ pháp tuyến lần lượt là ${\vec n_1} = \left( {2;2\sqrt 3 } \right),\,\,{\vec n_2} = \left( {0;1} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.0 + 2\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Suy ra (∆1, ∆2) = 30°.

Vậy ta chọn phương án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để là phương trình đường tròn thì điều kiện cần là hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ phải bằng nhau nên loại được đáp án A và D.

Xét đáp án C: ${x^2} + {y^2} - 2x - 8y + 20 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} + 3 = 0$ vô lý.

Xét đáp án B: ${x^2} + {y^2} - 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25$ là phương trình đường tròn tâm $I\left( {2; - 3} \right)$, bán kính $R = 5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Hypebol $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1$ có $a = 5;\,\,\,b = 4$

$\Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{5^2} + {4^2}} = \sqrt {41}$

Vậy tiêu cự $2c = 2\sqrt {41}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là : B

Gọi phương trình chính tắc của Hypebol cần tìm là: $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\left( {a,b > 0} \right)$

Ta có điểm $M\left( {1;\,0} \right)$ thuộc Hypebol nên thay $x = 1$ và $y = 0$ vào phương trình trên ta được: $\frac{{{1^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\, \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = 1 \Leftrightarrow {a^2} = 1 \Leftrightarrow a = 1$ (vì $a > 0$).

Mặt khác ta có $\frac{c}{a} = \sqrt 5 \Rightarrow c = \sqrt 5 .a = \sqrt 5$.

Do đó $b = \sqrt {{c^2} - {a^2}} = \sqrt {5 - 1} = 2$.

Vậy phương trình chính tắc của Hypebol là $\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{1} - \frac{{{y^2}}}{4} = 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$\left( E \right):4{x^2} + 9{y^2} = 36 \Leftrightarrow \frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1$

Suy ra: $a = 3,b = 2,c = \sqrt 5$

Do đó tỉ số $\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}$ nên đáp án A đúng

Độ dài trục lớp $2a = 6$nên đáp án B đúng

Độ dài trục nhỏ $2b = 4$ nên đáp án C đúng.

Tiêu cự của $\left( E \right)$ là $2c = 2\sqrt 5$ đáp án D sai.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có ${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0 \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0$.

Do đó $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ vuông góc.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phép thử là một thí nghiệm hay một hành động không biết trước kết quả trước khi thực hiện phép thử.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Không gian mẫu của phép thử trên là số cách xếp $4$ hành khách lên $4$ toa tàu.

Vì chọn mỗi hành khách có $4$ cách chọn toa nên ta có ${4^4}$ cách xếp.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = {4^4}$.

Gọi biến cố $A$: “$1$ toa có $3$ người, $1$ toa có $1$ người và $2$ toa còn lại không có ai”.

Để tìm số phần tử của biến cố $A$, ta chia thành hai giai đoạn như sau:

Giai đoạn 1: Chọn $3$ hành khách trong số $4$ hành khách và chọn $1$ toa trong số $4$ toa.

Sau đó xếp lên toa đó $3$ hành khách vừa chọn.

Khi đó ta có $C_4^3.C_4^1$ cách.

Giai đoạn 2: Chọn $1$ toa trong số $3$ toa còn lại và xếp $1$ hành khách còn lại lên toa đó.

Suy ra có $C_3^1$ cách. Hiển nhiên khi đó $2$ toa còn lại sẽ không có hành khách nào.

Theo quy tắc nhân, ta có $n\left( A \right) = C_4^3.C_4^1.C_3^1$.

Vậy xác suất của biến cố $A$ là: $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_4^3.C_4^1.C_3^1}}{{{4^4}}} = \frac{3}{{16}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left( \Omega \right) = C_{10}^2 = 45$.

Gọi $A$ là biến cố: “$2$ người được chọn có đúng một người nữ”.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là: $n\left( A \right) = C_3^1.C_7^1 = 21$.

Vậy $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{21}}{{45}} = \frac{7}{{15}}$.

Hướng dẫn giải

Gọi số học sinh nữ của lớp là $n\left( {n \in {\mathbb{N}^*},n \le 28} \right)$.

Suy ra số học sinh nam là $30 - n$.

Không gian mẫu là chọn bất kì $3$ học sinh từ $30$ học sinh.

Suy ra số phần tử của không gian mẫu là $n\left( \Omega \right) = C_{30}^3$.

Gọi $A$ là biến cố Chọn được $2$ học sinh nam và $1$ học sinh nữ.

+ Chọn $2$ nam trong $30 - n$ nam, có $C_{30 - n}^2$ cách.

+ Chọn $1$ nữ trong $n$ nữ, có $C_n^1$ cách.

Suy ra số phần tử của biến cố $A$ là $n\left( A \right) = C_{30 - n}^2.C_n^1$.

Do đó xác suất của biến cố $A$ là $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}}$ .

Theo giả thiết, ta có $P\left( A \right) = \frac{{12}}{{29}} \Leftrightarrow \frac{{C_{30 - n}^2.C_n^1}}{{C_{30}^3}} = \frac{{12}}{{29}}$

$\Leftrightarrow \frac{{\left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right)\left( {28 - n} \right)!.n}}{{2!.\left( {28 - n} \right)!}} = 1680$

$\Leftrightarrow \left( {30 - n} \right)\left( {29 - n} \right).n = 3360 \Leftrightarrow {n^3} - 59{n^2} + 870n - 3360 = 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n \approx 38{,}82\\n = 14\\n \approx 6{,}18\end{array} \right.$

Vì $n \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow n = 14$

Vậy số học sinh nữ của lớp là $14$ học sinh.

Hướng dẫn giải

a) Kết quả trung bình của bạn Mạnh là:

$\overline {{x_1}} = \frac{{2{,}1 + 2{,}5 + 2{,}4 + 2{,}2 + 2{,}3}}{5} = 2{,}3$

Kết quả trung bình của bạn Duy là:

$\overline {{x_2}} = \frac{{2{,}0 + 2{,}8 + 2{,}6 + 2{,}2 + 1{,}9}}{5} = 2{,}3$.

Vậy cả hai bạn có kết quả nhảy trung bình là bằng nhau.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn mạnh là:

$S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2{,}1 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}5 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}4 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}2 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}3 - 2{,}3} \right)}^2}}}{5} = 0{,}02$.

Suy ra độ lệch chuẩn

${s_{{x_1}}} = \sqrt {S_{{x_1}}^2} = \sqrt {0{,}02} \approx 0{,}14$.

Phương sai của mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy là:

$S_{{x_1}}^2 = \frac{{{{\left( {2{,}0 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}8 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}6 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {2{,}2 - 2{,}3} \right)}^2} + {{\left( {1{,}9 - 2{,}3} \right)}^2}}}{5} = 0{,}12$

Suy ra độ lệch chuẩn

${s_{{x_2}}} = \sqrt {S_{{x_2}}^2} = \sqrt {0{,}12} \approx 0{,}35$.

Vì $0{,}35 > 0{,}14$ nên mẫu số liệu thống kê kết quả của bạn Duy có độ phân tán lớn hơn hay nói cách khác bạn Duy có kết quả nhảy xa ổn định hơn.

b) Ta có khai triển của ${\left( {1 - {x^2}} \right)^5}$ là:

${\left( {1 - {x^2}} \right)^5} = C_5^0{1^5} - C_5^1{.1^4}.{x^2} + C_5^2{.1^3}.{\left( {{x^2}} \right)^2} - C_5^3{.1^2}.{\left( {{x^2}} \right)^3} + C_5^4.1.{\left( {{x^2}} \right)^4} - C_5^5.{\left( {{x^2}} \right)^5}$

$= 1 - 5{x^2} + 10{x^4} - 10{x^6} + 5{x^8} - {x^{10}}$.

Vậy hệ số của ${x^6}$ trong khai triển là $- 10$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow {IA} \left( {8;\,\, - 3} \right) \Rightarrow IA = \sqrt {{8^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} = \sqrt {73}$.

Suy ra bán kính đường tròn $\left( C \right)$ là $R = \sqrt {73}$.

Khi đó phương trình đường tròn $\left( C \right)$ cần tìm là: ${\left( {x - 8} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 73$.

b)

Từ điểm $I$ kẻ $IH$ vuông góc với đường thẳng $d\left( {H \in d} \right)$.

Khi đó $H$ là trung điểm của $AB$.

Khoảng cách từ điểm $I$ đến đường thẳng $d$ là: $d\left( {I;d} \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.\left( { - 2} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{10}}{5} = 2$.

Diện tích tam giác $IAB$ bằng $4$ nên độ dài cạnh $AB$ bằng: $2.4:2 = 4$.

$\Rightarrow AH = HB = \frac{1}{2}AB = 2$.

Xét tam giác $AIH$, vuông tại $H$ có: $IA = \sqrt {I{H^2} + A{H^2}} = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2$.

Khi đó phương trình đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I\left( {1; - 2} \right)$ và bán kính $IA = 2\sqrt 2$ là:

${\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 8$.