Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 08

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án, ta được:

Thay $x = 0,y = 2$ vào phương trình $x + 2y = 3$, ta được: $0 + 2.2 = 4 \ne 3$.

Do đó, $\left( {0;2} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x + 2y = 3$.

Thay $x = 1,y = 1$ vào phương trình $x + 2y = 3$, ta được: $1 + 2.1 = 3$.

Do đó, $\left( {1;1} \right)$ là nghiệm của phương trình $x + 2y = 3$.

Thay $x = 2,y = 0$ vào phương trình $x + 2y = 3$, ta được: $2 + 2.0 = 2 \ne 3$.

Do đó, $\left( {2;0} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x + 2y = 3$.

Thay $x = 0,y = 1$ vào phương trình $x + 2y = 3$, ta được: $0 + 2.1 = 2 \ne 3$.

Do đó, $\left( {0;1} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x + 2y = 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét các đáp án, ta có:

Thay $x = - 2$ vào bất phương trình $- x + 3 < 0$, ta được: $- \left( { - 2} \right) + 3 < 0$ hay $5 < 0$ (vô lí).

Do đó, $x = - 2$ không là nghiệm của bất phương trình $- x + 3 < 0.$

Thay $x = - 2$ vào bất phương trình $2 + 2x < 0$, ta được: $2 + 2\left( { - 2} \right) < 0$ hay $- 2 < 0$ (luôn đúng).

Do đó, $x = - 2$ là nghiệm của bất phương trình $2 + 2x < 0.$

Thay $x = - 2$ vào bất phương trình $- 5x + 3 \le 0$, ta được: $- 5\left( { - 2} \right) + 3 \le 0$ hay $13 \le 0$ (vô lí).

Do đó, $x = - 2$ không là nghiệm của bất phương trình $- 5x + 3 \le 0.$

Thay $x = - 2$ vào bất phương trình $- 2x + 5 < 0$, ta được: $- 2\left( { - 2} \right) + 5 < 0$ hay $9 < 0$ (vô lí).

Do đó, $x = - 2$ không là nghiệm của bất phương trình $- 2x + 5 < 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác vuông $DEF$ vuông tại $E$, ta có: $\tan F = \frac{{DE}}{{EF}}$ nên $DE = EF.\tan F.$

Đáp án đúng là: D

Nhận thấy $4 < 12 - 7$ hay $OO' < R - R'$.

Do đó hai đường tròn đựng nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) S b) Đ c) Đ d) S

a) Điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $\frac{{{a^2}}}{b} \ge 0$ và $\frac{{{a^4}}}{{{b^3}}} \ge 0$.

Với $\frac{{{a^2}}}{b} \ge 0$, do ${a^2} \ge 0$ với mọi $a \in \mathbb{R}$ nên điều kiện xác định là $b > 0.$ (1)

Với $\frac{{{a^4}}}{{{b^3}}} \ge 0$, do ${a^4} \ge 0$ với mọi $a \in \mathbb{R}$ nên điều kiện xác định là ${b^3} > 0$ suy ra $b > 0.$ (2)

Từ (1) và (2) ta có điều kiện xác định của biểu thức là $b > 0$ và $a \in \mathbb{R}$.

b) Thay $a = 0$ và $b > 0$ (thỏa mãn điều kiện), ta được: $A = \sqrt {\frac{{{0^2}}}{b}} \cdot \sqrt {\frac{{{0^4}}}{{{b^3}}}} = 0$.

c) Với $a = 2$ và $b = 1$ (thỏa mãn điều kiện) thì

$$A = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{b}} \cdot \sqrt {\frac{{{a^4}}}{{{b^3}}}} = \sqrt {\frac{{{2^2}}}{1}} \cdot \sqrt {\frac{{{2^4}}}{{{1^3}}}} = \sqrt {{2^2}} \cdot \sqrt {{2^4}} = 2 \cdot {2^2} = 8.$$

d) Ta có: $A = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{b}} \cdot \sqrt {\frac{{{a^4}}}{{{b^3}}}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{b} \cdot \frac{{{a^4}}}{{{b^3}}}} = \sqrt {\frac{{{a^6}}}{{{b^4}}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {{a^3}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{b^2}} \right)}^2}}}} = \frac{{\left| {{a^3}} \right|}}{{{b^2}}}$ (vì $b > 0$ và $a \in \mathbb{R}$).

Vậy $A = \frac{{\left| {{a^3}} \right|}}{{{b^2}}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: $1$

Cách 1: Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\ MODE\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình cho kết quả $x = 2,$ ta bấm tiếp phím $\boxed{\ =\ },$ màn hình cho kết quả $y = 1.$

Vậy cặp số $\left( {2;\,\,1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.$.

Do đó, ta tính được $T = x - y = 2 - 1 = 1.$

Cách 2: Thực hiện cộng đại số hai phương trình, ta được: $5x = 10$ hay $x = 2.$

Thế $x = 2$ vào phương trình thứ nhất, ta được: $2.2 + y = 5$ hay $y = 1$.

Do đó, $x = 2$, $y = 1$.

Suy ra cặp số $\left( {2;\,\,1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\3x - y = 5\end{array} \right.$.

Vậy $T = x - y = 2 - 1 = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án: $3$

Điều kiện xác định của phương trình là: $x \ne - 1,x \ne 2.$

Ta có: $\frac{3}{{x + 1}} + \frac{5}{{x - 2}} = \frac{{5x + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}$

$$\frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{5\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{5x + 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}.$$

$$3\left( {x - 2} \right) + 5\left( {x + 1} \right) = 5x + 8$$

$$3x - 6 + 5x + 5 = 5x + 8$$

$$3x = 9$$

$x = 3$ (TM).

Mà $x = a$ nên $a = 3.$

Hướng dẫn giải

a) Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $P$, ta được:

$P = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16} - 2}} = \frac{{19}}{{4 - 2}} = \frac{{19}}{2}.$

Vậy giá trị của $P = \frac{{19}}{2}$ khi $x = 16.$

b) Với $x > 0;x \ne 4$, ta có:

$Q = \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{5\sqrt x - 2}}{{4 - x}}$

$= \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{{\kern 1pt} \left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{{\kern 1pt} x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{{\kern 1pt} x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

Vậy với $x > 0;x \ne 4$ thì $Q = \frac{{{\kern 1pt} \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}.$

c) Ta có: $\frac{P}{Q} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}.$

Vì $x > 0;x \ne 4$ nên $\sqrt x > 0,\frac{3}{{\sqrt x }} > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm $\sqrt x ,\frac{3}{{\sqrt x }}$ ta được:

$\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }} \ge 2\sqrt {\sqrt x .\frac{3}{{\sqrt x }}} = 2\sqrt 3 .$

Suy ra $\frac{P}{Q} \ge 2\sqrt 3 .$

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = \frac{3}{{\sqrt x }}$ hay $x = 3$ (TMĐK).

Vậy giá trị nhỏ nhất của $\frac{P}{Q} = 2\sqrt 3$ khi $x = 3.$

Hướng dẫn giải

a) $\frac{3}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{6x - {x^2}}}{{{x^2} - 2x}}$

Điều kiện xác định: $x \ne 0,x \ne 2$.

Ta có: $\frac{3}{x} - \frac{x}{{x - 2}} = \frac{{6x - {x^2}}}{{{x^2} - 2x}}$

$$\frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)}} - \frac{{{x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{6x - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}}$$

$$\frac{{3\left( {x - 2} \right) - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{6x - {x^2}}}{{x\left( {x - 2} \right)}}$$

$$3x - 6 - {x^2} = 6x - {x^2}$$

$$3x - 6 - {x^2} - 6x + {x^2} = 0$$

$$- 3x - 6 = 0$$

$$- 3x = 6$$

$x = - 2$(TM).

Vậy $x = - 2$ là nghiệm của phương trình.

b) $\frac{{x + 1}}{3} - \frac{{x - 2}}{2} \ge 4$

$$\frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{6} - \frac{{3\left( {x - 2} \right)}}{6} \ge 4$$

$$\frac{{2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {x - 2} \right)}}{6} \ge 4$$

$$\frac{{2x + 2 - 3x + 6}}{6} \ge 4$$

$$- x + 8 \ge 24$$

$$- x \ge 24 - 8$$

$$- x \ge 16$$

$$x \le 16.$$

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le 16.$

Gọi $x,y$ (nghìn đồng) lần lượt là giá niêm yết của quyển từ điển và món đồ chơi $\left( {x,y > 0} \right).$

Theo đề, tổng số tiền mua một quyển từ điển và một món đồ chơi với tổng số tiền theo giá niêm yết là $750$nghìn đồng nên ta có: $x + y = 750$ (nghìn đồng) (1).

Mà khi Bình mua thì được giảm giá, do đó ta có:

$80\% x + 90\% y = 630$ hay $0{,}8x + 0{,}9y = 630$ (nghìn đồng) (2).

Từ (1) và (2), ta có hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 750\\0{,}8x + 0{,}9y = 630\end{array} \right.$

Từ phương trình thứ nhất, ta có: $x + y = 750$, suy ra $x = 750 - y$.

Thế $x = 750 - y$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$$0{,}8\left( {750 - y} \right) + 0{,}9y = 630$$

$$600 - 0{,}8y + 0{,}9y = 630$$

$$600 + 0{,}1y = 630$$

$$0{,}1y = 30$$

$y = 300$ (TM).

Thay $y = 300$ vào phương trình thứ nhất, ta được $x = 750 - 300 = 450$ (TM).

Vậy giá niêm yết của quyển từ điển là $450$ nghìn đồng, giá niêm yết của món đồ chơi là $300$ nghìn đồng.

Ta có: $\widehat {ABD} = \widehat {BDH} = \widehat {DHA} = 90^\circ$ nên tứ giác $AHDC$ là hình chữ nhật.

Do đó, $AB = DH = 75{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Xét tam giác vuông $DHA$, có: $\tan \widehat {HAD} = \frac{{HD}}{{HA}}$ suy ra $AH = \frac{{HD}}{{\tan \widehat {HAD}}} = \frac{{75}}{{\tan 35^\circ }}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).$

Xét tam giác vuông $AHC$, có: $CH = AH.\tan \widehat {CAH} = \frac{{75}}{{\tan 35^\circ }}.\tan 43^\circ \approx 99{,}88{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Do đó, chiều cao $CD$ là: $CD = AH + CH = 75 + 99{,}88 = 174{,}88{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right){\rm{.}}$

Vậy chiều cao của trạm phát sóng đó khoảng $174{,}88{\rm{ m}}$.

a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $OC$ là tia phân giác của $\widehat {AOM}$, $OD$ là tia phân giác của $\widehat {BOM}$.

Mà $\widehat {AOM}$ và $\widehat {BOM}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {COD} = 90^\circ$.

Suy ra tam giác $COD$ vuông tại $O$ có $OM \bot CD$ ($OM$ là tiếp tuyến).

Xét $\Delta MOC$ và $\Delta MDO$ có:

$\widehat {COM} = \widehat {MOD} = 90^\circ$ (gt) và $\widehat {MCO} = \widehat {MOD}$ (cùng phụ với $\widehat {COM}$)

Do đó, (g.g)

Suy ra $\frac{{MO}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MO}}$, suy ra $O{M^2} = CM.DM$.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $AC = CM$ và $BD = MD$.

Do đó, $O{M^2} = CM.DM = AC.BD$ suy ra ${R^2} = AC.BD$. (1)

Mà ta có: $AB = 2R$ suy ra $A{B^2} = 4{R^2}$ nên ${R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC.BD = \frac{{A{B^2}}}{4}$ (đpcm).

b) Ta có: $\widehat {COD} = 90^\circ$ nên $OC \bot OD$. (3)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau có $DB = DM$, lại có $OM = OB = R$.

Suy ra $OD$ là đường trung trực của $BM$ suy ra $BM \bot OD$. (4)

Từ (3) và (4) suy ra $OC\parallel BM$ (cùng vuông góc với $OD$).

Gọi $I$ là trung điểm của $CD$ ta có $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OCD$ đường kính $CD$.

Theo tính chất tiếp tuyến ta có $AC \bot AB$, $BD \bot AB$ nên $AC\parallel BD$ nên tứ giác $ACDB$ là hình thang vuông.

Mà $I$ là trung điểm $CD$; $O$ là trung điểm $AB$, suy ra $IO$ là đường trung bình của hình thang $ACDB$ nên $OI\parallel AC$.

Mà $AC \bot AB$ nên $OI \bot AB$ tại $O$.

Suy ra $AB$ là tiếp tuyến tại $O$ của đường tròn đường kính $CD.$

Ta có: $AC\parallel BD$ suy ra $\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{AC}}{{BD}}$ mà $CA = CM$; $BD = DM$ nên $\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{CM}}{{DM}}$.

Suy ra $MN\parallel BD$ mà $BD \bot AB$ suy ra $MN \bot AB.$

c) Ta có: $AM = AO = OM = R$ suy ra $\Delta OAM$ đều.

Do đó, $\widehat {AOM} = 60^\circ$.

Mà, ta có: $\widehat {AOM} + \widehat {MOB} = 180^\circ$, suy ra $\widehat {MOB} = 180^\circ - \widehat {AOM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Vậy diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OM,OB$ và cung nhỏ $MB$ là

$$S = \frac{{n\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{120\pi {R^2}}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{3}.$$

d) Ta có: $AC = CM$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau);

$$OA = OM = R$$

Do đó $OC$ là đường trung trực của $AM$, suy ra $OC \bot AM$.

Mà $OD$ là đường trung trực của $BM$, suy ra $BM \bot OD$ (chứng minh phần b).

Xét tứ giác $MEOF$ có: $\widehat {EOF} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {MEO} = 90^\circ \,;\,\,\widehat {MFO} = 90^\circ$.

Suy ra tứ giác $MEOF$ là hình chữ nhật.

Mà $K$ là trung điểm của $EF$.

Suy ra $K$ là trung điểm của $OM$(tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật).

Do đó, $KM = KO = \frac{1}{2}MO = \frac{1}{2}R$.

Vậy $M$ di chuyển trên $\left( O \right)$ thì trung điểm $K$ của $EF$ di chuyển trên đường tròn tâm $O$, bán kính $\frac{1}{2}R$.