Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 9 Kết nối tri thức có đáp án - Đề 05

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

⦁ Thay $x = - 2,y = 4$ vào phương trình $x - 2y = 0$, ta được: $- 2 - 2.4 = - 10 \ne 0.$

Do đó, $\left( { - 2;4} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x - 2y = 0.$

⦁ Thay $x = - 2,y = 4$ vào phương trình $2x + y = 0$, ta được: $2 \cdot \left( { - 2} \right) + 4 = 0.$

Do đó, $\left( { - 2;4} \right)$ là nghiệm của phương trình $2x + y = 0.$

⦁ Thay $x = - 2,y = 4$ vào phương trình $x - y = 2$, ta được: $- 2 - 4 = - 6 \ne 2.$

Do đó, $\left( { - 2;4} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x - y = 2.$

⦁ Thay $x = - 2,y = 4$ vào phương trình $x + 2y + 1 = 0$, ta được: $- 2 + 2.4 + 1 = 7 \ne 0.$

Do đó, $\left( { - 2;4} \right)$ không là nghiệm của phương trình $x + 2y + 1 = 0.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

***Cách 1:* **Sử dụng MTCT để tìm nghiệm của hệ hai phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x - 3y = - 1.\end{array} \right.$

Với MTCT phù hợp, ta bấm lần lượt các phím:

$\boxed{\text{MODE}}\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ 2\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 5\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 3\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ -\ }\ \boxed{\ 1\ }\ \boxed{\ =\ }\ \boxed{\ =\ }$

Trên màn hình hiện kết quả $x = 2$, ta bấm tiếp phím $\boxed{\ =\ }$, màn hình cho kết quả $y = 1.$

Vậy $\left( {2;1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x - 3y = - 1\end{array} \right.$.

Cách 2: Từ phương trình thứ nhất, ta có: $y = 5 - 2x$.

Thế $y = 5 - 2x$ vào phương trình thứ hai, ta được:

$x - 3\left( {5 - 2x} \right) = - 1$ hay $7x = 14$, suy ra $x = 2.$

Thay $x = 2$ vào $y = 5 - 2x$, ta được $y = 5 - 2.2 = 1.$

Vậy $\left( {2;1} \right)$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 5\\x - 3y = - 1\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì $2x + 1 \ne 0$ khi $x \ne - \frac{1}{2}$ và $x - 5 \ne 0$ khi $x \ne 5.$

Do đó, điều kiện xác định của phương trình $\frac{x}{{2x + 1}} + \frac{3}{{x - 5}} = \frac{x}{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)}}$ là $x \ne - \frac{1}{2}$ và $x \ne 5.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $- 3 > - 4$ nên với $m$ bất kì thì $m - 3 > m - 4.$

Tương tự, ta có: $- 3 > - 5$ nên $m - 3 > m - 5;$

$- 3 < - 2$ nên $m - 3 < m - 2;$

$- 3 > - 6$ nên $m - 3 > m - 6.$

Vậy ta chọn phương án A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của $\sqrt {16 - x}$ là $16 - x \ge 0$ hay $x \le 16.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét các đáp án, ta được:

$\sqrt {16} + \sqrt {144} = 4 + 12 = 16.$ Do đó, đáp án A là đúng.

$\sqrt {0{,}64} .\sqrt 9 = 0{,}8.3 = 2{,}4$. Do đó, đáp án B là đúng.

$\sqrt {{{\left( { - 18} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 6} \right)}^2}} = 18.6 = 108.$ Do đó, đáp án C là đúng.

$\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2}} .\sqrt {{7^2}} = 3.7 = 21 \ne - 21.$ Do đó, đáp án D là sai.

Vậy chọn đáp án D.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt {27a} :\sqrt {6a} \cdot 2\sqrt {18a} = \sqrt {\frac{{27a}}{{6a}} \cdot 18a} \cdot 2 = \sqrt {81a} \cdot 2 = 18\sqrt a .$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có: $AC = AB.\cot C.$

Vậy chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:

$AB = BC.\cos \widehat {B\,} = 5.\cos 45^\circ = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}{\rm{ cm}}{\rm{.}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Độ dài cung tròn cần tìm là: $l = \frac{n}{{180}}\pi R = \frac{{30}}{{180}}\pi \cdot 4 = \frac{{2\pi }}{3}{\rm{\;(dm)}}{\rm{.}}$

Do đó độ dài cung tròn cần tìm bằng $\frac{{2\pi }}{3}\,\,{\rm{dm}}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét $\Delta ABC$ có $CO$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AB$ và $CO = \frac{1}{2}AB$ (do $AB$ là đường kính của đường tròn tâm $O)$ nên tam giác $ABC$ là tam giác vuông tại $C$.

Do đó, $\widehat {ACB}$ là góc vuông.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì $MA,MB$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$ nên $MA \bot OA,\,\,MB \bot OB$, do đó $\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = 90^\circ .$

Xét tứ giác $OABM$ có: $\widehat {AOB} + \widehat {MAO} + \widehat {MBO} + \widehat {AMB} = 360^\circ .$

Suy ra $\widehat {AOB} = 360^\circ - \widehat {MAO} - \widehat {MBO} - \widehat {AMB} = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ .$

Mà góc $AOB$ là góc ở tâm chắn cung nhỏ $AB$

Do đó, số đo cung nhỏ $AB$ là $130^\circ .$

Hướng dẫn giải

a) Với $x = \frac{1}{{16}}$ (TMĐK), thay vào vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {\frac{1}{{16}}} + 5}}{{2\sqrt {\frac{1}{{16}}} - 1}} = \frac{{\frac{1}{4} + 5}}{{2.\frac{1}{4} - 1}} = \frac{{\frac{5}{4}}}{{ - \frac{1}{2}}} = - \frac{5}{2}.$

Vậy với giá trị $x = \frac{1}{{16}}$ thì $A = - \frac{5}{2}.$

b) Với $x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2} - \left( {3\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{2x - 2\sqrt x - \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right) - \left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$$= \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.$

Vậy với $x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}$ thì $B = \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}.$

c) Với $x \ge 0;x \ne 1;x \ne \frac{1}{4}$, ta có:

$M = A.B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{2\sqrt x - 1}}.\frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}}.$

Với $x \ge 0$ thì $\sqrt x + 1 \ge 1$, suy ra $\frac{{\sqrt x + 1}}{4} \ge \frac{1}{4}$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 4$.

Do đó, $1 + \frac{4}{{\sqrt x + 1}} \le 5$ hay $M \le 5$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt x = 0$ hay $x = 0$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $M$ bằng $5$ khi $x = 0.$

a) Điều kiện xác định: $x \ne 1$ và $x \ne - 1$.

Ta có: $\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{{x^2} - 1}}$

$\frac{{x - 1}}{{x + 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

$\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - {{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \frac{8}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

${\left( {x - 1} \right)^2} - {\left( {x + 1} \right)^2} = 8$

$\left( {x - 1 + x + 1} \right)\left( {x - 1 - x - 1} \right) = 8$

$2x.\left( { - 2} \right) = 8$

$- 4x = 8$

$x = - 2$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là $x = - 2$.

b) $0{,}5x + 7\left( {x - 2} \right) \le \frac{1}{2}x - 1$

$0{,}5x + 7x - 14 \le 0{,}5x - 1$

$0{,}5x + 7x - 0{,}5x \le 14 - 1$

$7x \le 13$

$x \le \frac{{13}}{7}$.

Vậy nghiệm của bất phương trình là $x \le \frac{{13}}{7}$.

Gọi $x$ là vận tốc của xe tải, $y$ là vận tốc của xe khách ($y > x > 0$, km/h).

Theo đề, mỗi giờ xe khách đi nhanh hơn xe tải là $15$ km nên $y - x = 15.$ (1)

Thời gian xe khách đã đi là: 1 giờ 40 phút + 40 phút = 2 giờ 20 phút = $\frac{7}{3}$ giờ.

Khi hai xe gặp nhau, xe khách đi được quãng đường là: $\frac{7}{3}y$ (km) và xe tải đi được quãng đường là $\frac{2}{3}x$ (km).

Theo bài, quãng đường Thành phố Hồ Chí Minh – Cần Thơ dài 170 km nên ta có phương trình: $\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170$. (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình sau $\left\{ \begin{array}{l}y - x = 15\\\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}y = 170\end{array} \right.$.

Từ phương trình (1), ta có: $y = 15 + x$, thế vào phương trình (2), ta được:

$\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}\left( {15 + x} \right) = 170$

$\frac{2}{3}x + 35 + \frac{7}{3}x = 170$

$3x = 135$

$x = 45$ (thỏa mãn).

Thay $x = 45$ vào phương trình (1), ta được: $y = 15 + 45 = 60$ (thỏa mãn).

Vậy vận tốc của xe tải là $45$km/h, vận tốc của xe khách là $60$ km/h.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác $ADC$ vuông tại $C$, ta có:

$AC = CD \cdot \cot \widehat {DAC} = h \cdot \cot 60^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).$

Xét tam giác $BDC$ vuông tại $C$, ta có:

$BC = CD \cdot \cot \widehat {DBC} = h \cdot \cot 75^\circ {\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right).$

Do $AB = AC - BC$ nên $h \cdot \cot 60^\circ - h \cdot \cot 75^\circ = 101$

Hay $h \cdot \left( {\cot 60^\circ - \cot 75^\circ } \right) = 101$.

Suy ra $h = \frac{{101}}{{\cot 60^\circ - \cot 75^\circ }} \approx 326$ (m).

Vậy tháp Eiffel có độ cao khoảng $326$ (m).

a) Ta có $CA,\,\,CM$ là hai tiếp tuyến của nửa đường tròn $\left( O \right)$ cắt nhau tại $C$ nên $CA = CM$ và $OC$ là tia phân giác của $\widehat {AOM}$, do đó $\widehat {AOC} = \widehat {COM} = \frac{1}{2}\widehat {AOM}.$

Tương tự, ta có $DB = DM$ và $OD$ là tia phân giác của $\widehat {BOM}$, do đó $\widehat {BOD} = \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {BOM}.$

Mà $\widehat {AOM}$ và $\widehat {BOM}$ là hai góc kề bù nên $\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ .$

Khi đó, ta có: $\widehat {COM} + \widehat {MOD} = \frac{1}{2}\widehat {AOM} + \frac{1}{2}\widehat {BOM} = \frac{1}{2}\left( {\widehat {AOM} + \widehat {BOM}} \right) = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ .$

Hay $\widehat {COD} = 90^\circ .$

Vì $CD$ là tiếp tuyến của nửa đường tròn $\left( O \right)$ tại $M$ nên $CD \bot OM.$

Xét $\Delta COM$ và $\Delta ODM$ có:

$\widehat {CMO} = \widehat {OMD} = 90^\circ$ và $\widehat {OCM} = \widehat {DOM}$ (cùng phụ với $\widehat {COM}$)

Do đó $ΔCOM∽ΔODM$ (g.g)

Suy ra $\frac{{CM}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{DM}}$ hay $O{M^2} = CM.DM$.

Mà $AC = CM$ và $BD = MD$ (chứng minh trên)

Do đó, $O{M^2} = CM.DM = AC.BD$ hay ${R^2} = AC \cdot BD$. (1)

Mặt khác, $AB$ là đường kính của nửa đường tròn $\left( O \right)$ nên $AB = 2R,$ suy ra $A{B^2} = 4{R^2}$ nên ${R^2} = \frac{{A{B^2}}}{4}.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AC.BD = \frac{{A{B^2}}}{4}$.

b) Ta có: $AC \bot AB,\,\,BD \bot AB$ nên $AC\,{\rm{//}}\,BD$

Theo hệ quả định lí Thalès, ta có $\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{AC}}{{BD}}$.

Mà $CA = CM$, $BD = DM$ (chứng minh câu a)

Do đó ta có $\frac{{CN}}{{BN}} = \frac{{CM}}{{DM}},$ suy ra $MN\,{\rm{//}}\,BD$ (định lí Thalès đảo).

Lại có $BD \bot AB$ nên $MN \bot AB.$

c) Xét tam giác $MOD$, có: $\cos \widehat {MOD} = \frac{{MO}}{{OD}} = \frac{{MO}}{{2MO}} = \frac{1}{2}$, suy ra $\widehat {MOD} = 60^\circ$.

Theo câu a, $OD$ là tia phân giác của $\widehat {BOM}$ nên $\widehat {BOM} = 2\widehat {MOD} = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ .$

Mà $\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ$ (câu a)

Suy ra $\widehat {AOM} = 180^\circ - \widehat {BOM} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Mà $\widehat {AOM}$ là góc ở tâm chắn cung $AM$ nhỏ nên

Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OM,OA$ và cung nhỏ $MA$ là:

$S = \frac{{60 \cdot \pi \cdot {R^2}}}{{360}} = \frac{{\pi {R^2}}}{6}$ (đơn vị diện tích).

Hướng dẫn giải

Chiều dài của đáy bể là $2x{\rm{\;(m)}}{\rm{.}}$

Diện tích đáy của bể là $2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right).$

Chiều cao của bể là: $\frac{{72}}{{2{x^2}}} = \frac{{36}}{{{x^2}}}{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)$.

Diện tích xung quanh của bể là: $2 \cdot \frac{{36}}{{{x^2}}} \cdot \left( {x + 2x} \right) = \frac{{72 \cdot 3x}}{{{x^2}}} = \frac{{216}}{x}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Diện tích cần xây bằng tổng diện tích xung quanh và diện tích đáy của bể, và bằng:

$\frac{{216}}{x}{\rm{ + }}2{x^2}{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).$

Do $x$ là chiều rộng của bể nên $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$2{x^2} + \frac{{216}}{x} = 2{x^2} + \frac{{108}}{x} + \frac{{108}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2} \cdot \frac{{108}}{x} \cdot \frac{{108}}{x}}}{\rm{ }}$

Suy ra $2{x^2} + \frac{{216}}{x} \ge 3\sqrt[3]{{23\,\,328}} \approx 85{,}72$

Dấu “=” xảy ra khi $2{x^2} = \frac{{108}}{x} = \frac{{108}}{x}$ hay $2{x^3} = 108$, tức là $x = \sqrt[3]{{54}} \approx 3{,}78{\rm{ m}}{\rm{.}}$

Vậy muốn diện tích cần xây là tiết kiệm chi phí nhất thì $x \approx 3{,}78{\rm{ m}}{\rm{.}}$